2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

( ) ( ) 2026年1月辽宁省学考仿真模拟试卷03 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共计 1 2 分） ) ( 13 ． _______________________ 14 ． _______________________ 15 ． _______________________ 16 ． _______________________ 三、解答题（本题共 5 小题，共 52 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 10 分） 19 （ 10 分） ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0. （ 10 分） 21. （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知复数满足（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．命题：“”是命题：“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 8．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 9．已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 10．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（    ） A． B． C． D． 11．在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 12．已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则 ． 14．下表记录了某地区一年内月降水量： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月降水量 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66 则该地区的月降水量的分位数是 . 15．若，则的最小值为 ． 16．对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是 ． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 18．（10分）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）． 上半月：55  70  75  80  80  84  84  85  86  89 91  94  96  99  104 下半月：74  75  83  85  85  87  93  94  97  99 101  102   107   107  117 (1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差； (2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？ 19．（10分）如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 20．（10分）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 21．（12分）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知复数满足（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则先求出，再结合共轭复数的定义及模的公式求解即可. 【详解】由，则， 则，所以. 故选：B. 2．已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用并集、补集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得， 而全集，所以. 故选：D 3．命题：“”是命题：“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义分别验证：命题成立时命题是否一定成立，命题成立时命题是否一定成立. 【详解】当时，不一定成立，故命题不是命题的充分条件； 当时，一定成立，故命题是命题的必要条件. 所以命题是命题必要不充分条件. 故选：B. 4．已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 6．一个棱长为1的正方体顶点都在同一个球上，则该球体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果． 【详解】∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线， ∴球的半径是r， ∴球的表面积是4 故选：A 7．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 【答案】B 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 8．已知函数.下列区间中包含的零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 9．已知为第四象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以，且. 所以. 故选：D 10．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概率公式求解． 【详解】若摸出的球是红球，则参加社区植树， 则该同学参加社区植树的概率为：， 故选：A 11．在中，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：B 12．已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数分别列不等式组，再结合指数函数及幂函数的单调性运算求解. 【详解】因为函数， 则由不等式可得或， 所以或， 所以或. 即得. 故选：C. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得，由平面向量基本定理可得，即可得解. 【详解】由题意画出图形，如图所示： 由题意可得 ， 又，所以， 从而，即. 故答案为：. 14．下表记录了某地区一年内月降水量： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月降水量 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66 则该地区的月降水量的分位数是 . 【答案】61 【分析】应用百分位数的定义求该地区的月降水量的分位数. 【详解】由表格，数据从小到大排列为， 又，故该地区的月降水量的分位数是. 故答案为： 15．若，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将整理为，再根据不等式性质即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 16．对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是 ． 【答案】1 【分析】法1，把函数化成分段函数，再利用单调性求出最大值；法2，在坐标系内作出函数图象，求出最高点的纵坐标值即得. 【详解】法1：令， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，当时，，即，当时，， 因此函数，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取得最大值. 故答案为：1 法2：作函数的图象，依题意，的图象为如图所示的实线部分， 由，得，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，且当时，， 因此点为图象的最高点，所以的最大值为. 故答案为：1 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，解得， 所以 （2）因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 18．（10分）一家水果店的店长为了解本店荔技的日销售情况，安排两位员工分别记录并整理了6月份上、下半月荔枝的日销售量（单位：kg）．结果如下：（已按从小到大的顺序排列）． 上半月：55  70  75  80  80  84  84  85  86  89 91  94  96  99  104 下半月：74  75  83  85  85  87  93  94  97  99 101  102   107   107  117 (1)请计算该水果店6月份荔枝日销量的中位数、极差； (2)一次进货太多，卖不完的荔枝第二天就会不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望在荔枝销售期间，每天的荔枝尽量新鲜，又能有80%的天数可以满足顾客的需求．请问：每天应该进多少千克荔枝？ 【答案】(1)中位数为88，极差为62； (2)100千克 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据中位数和极差公式即可； （2）根据题意直接计算即可. 【详解】（1）将所有数据从小到大排列： ， ， 中位数为第15，16个数的平均数，即， 极差为. （2），数据从小到大排列，第24,25个数据分别为99,101，. 每天应该进100千克荔枝. 19．（10分）如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 20．（10分）已知函数． (1)若，求函数的值域； (2)若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. （2）令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 21．（12分）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【详解】（1），， ，解得， . （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03·参考答案 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D A B D D A 题号 11 12 答案 B C 二、（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13． 14．61 15．3 16．1 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17． 【详解】（1）因为，， 所以，……（2分） 所以，解得， 所以……（5分） （2）因为，则， 又，，……（8分） 所以，解得， 故实数k的值为.……（10分） 18． 【详解】（1）将所有数据从小到大排列： ， ， 中位数为第15，16个数的平均数，即，……（4分） 极差为.……（6分） （2），数据从小到大排列，第24,25个数据分别为99,101，. 每天应该进100千克荔枝.……（10分） 19． 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以，……（2分） 又因为平面，平面， 所以平面.……（5分） （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， ……（7分） 三棱锥的体积.……（10分） 20． 【详解】（1）化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ，……（3分） 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为.……（5分） （2）令，解得， 则或，……（7分） 即或，……（8分） 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为.……（10分） 21． 【详解】（1），， ，解得， .……（分）……（4分） （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且，……（5分） 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减.……（8分） （3）由对任意恒成立得，……（9分） 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，……（10分） ， 所求实数的取值范围为.……（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $