2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 2．已知集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 则 . 故选：B. 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论. 【详解】因为，由，根据传递性可知， 因此“”能推出“”，因此充分性成立； 不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数， 故，即， 故的取值范围是. 故选：B. 5．某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的表面积公式求解. 【详解】依题意，球的表面积为（）. 故选：C 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】直接解一元二次不等式即可求解. 【详解】不等式可化为，则解集为， 故选：A. 7．已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：B 8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项是正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 【答案】C 【分析】由线面的位置关系考虑所有可能情况判断ABD，由直线垂直平面的性质定理及判定推理判断C. 【详解】对于ABD选项，满足条件的直线均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内， 故ABD错误； 对于C选项，由，可得，又，则，故C正确. 故选：C 9．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案. 【详解】因为均为增函数， 所以函数在上单调递增， 且，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：D. 10．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为 . 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 11．2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率. 【详解】设为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为， 中基本事件的个数为，故， 故选：D. 12．设函数，则使成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域、奇偶性和单调性，应用函数的奇偶性和单调性解之即可. 【详解】因为函数定义域是， ，所以函数为偶函数. 当时，由复合函数的单调性可知单调递增. 由偶函数性质可知，函数在上单调递减. 所以等价于， 进而等价于，即， 所以，解之可得或. 故选：B. 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知向量满足，的夹角为，则 . 【答案】 【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可. 【详解】， 故答案为：. 14．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【答案】400 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【点睛】方法点睛：均值不等式常用结论 1、如果，，则，当且仅当时取等号； 推论： ； 2、如果，那么，当且仅当时取等号； 推论： ； 3、 15． ． 【答案】1 【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算得到答案. 【详解】. 故答案为： 16．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 【答案】9 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量，． (1)当时，求向量的坐标； (2)若，求实数x的值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）由特殊角三角函数的计算和平面向量加法的坐标运算可得结果； （2）由向量平行的坐标关系列式求解； （3）先根据向量数量积的坐标公式化简函数，再根据二倍角公式化简，最后根据正弦函数性质可得最值. 【详解】（1）当时，，， 则． （2）若，则，即， 所以，． （3）因为，， 所以． 因为， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，． 18．（10分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用最小正周期公式求得； （2）令，由，可得，可用整体法求得函数的最大值. 【详解】（1）， 故的最小正周期为. （2）令 ，由 得： ， 又因为函数 在 单调递增， 所以. 19．（10分）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥体积公式直接计算； （2）先证平面，从而可得． 【详解】（1）根据直棱柱的性质，平面ABCD， 所以高， ， ． （2）如图，连接OB，．    根据直棱柱的性质，平面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为底面ABCD是菱形，所以． 因为BD，平面，， 所以平面， 又平面，所以． 20．（10分）近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 【答案】(1)；平均数；中位数 (2) (3) 【分析】（1）由频率分布直方图面积和为1即可得到，再由平均数以及中位数的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果； （3）由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得， 解得， 高中生的平均数为， 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为. （2）、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名. （3）由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种， 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则. 21．（12分）已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 【答案】(1)①，②证明见详解； (2). 【分析】（1）①根据代入运算得解；②利用函数单调性定义证明即可； （2）由为偶函数，得，解得，进而得，利用在上单调递增，求出的范围. 【详解】（1）当时，， ①若，则，解得. ②当时，， 任取，且，令， 则， 因为是R单调递增函数，所以，则， 即，即， 又是上的增函数， 则， , ， 所以是R上的减函数. （2）若为偶函数，则， 即， 所以，即， ，则， 因为在上单调递增，且， 所以由，得， 所以的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02·参考答案 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C A B C D A 题号 11 12 答案 D B 二、（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13． 14．400 15．1 16．9 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．(1) (2)， (3)， 【详解】（1）当时，，， 则．……（3分） （2）若，则，即，……（5分） 所以，．……（6分） （3）因为，， 所以．……（8分） 因为， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，．……（10分） 18．(1) (2) 【详解】（1）， 故的最小正周期为.……（4分） （2）令 ，由 得： ，……（6分） 又因为函数 在 单调递增， 所以.……（10分） 19． 【详解】（1）根据直棱柱的性质，平面ABCD， 所以高，……（1分） ，……（3分） ．……（5分） （2）如图，连接OB，．    根据直棱柱的性质，平面ABCD，平面ABCD， 所以．……（7分） 因为底面ABCD是菱形，所以． 因为BD，平面，， 所以平面，……（9分） 又平面，所以．……（10分） 20 【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得， 解得，……（1分） 高中生的平均数为，……（2分） 因为前三组的频率之和为， 所以中位数在组， 设中位数为，则，解得， 所以中位数为.……（4分） （2）、、的频率之比为， 共抽10名，则的学生中应抽取名.……（6分） （3）由（2）可知，抽3人，设人分别为 则抽取人，2人分别为， 设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生， 总情况数有 10种，……（8分） 2名学生来自同一组学生的情况由4种， 则.……（10分） 21． 【详解】（1）当时，， ①若，则，解得.……（2分） ②当时，， 任取，且，令， 则， 因为是R单调递增函数，所以，则， 即，即，……（5分） 又是上的增函数， 则， , ， 所以是R上的减函数.……（7分） （2）若为偶函数，则， 即， 所以，即，……（9分） ，则， 因为在上单调递增，且， 所以由，得， 所以的取值范围为.……（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 考试时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 2．已知集合，则（    ）． A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 7．已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项是正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则. 9．函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 10．函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 11．2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 12．设函数，则使成立的的范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 13．已知向量满足，的夹角为，则 . 14．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 15． ． 16．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（10分）已知向量，． (1)当时，求向量的坐标； (2)若，求实数x的值； (3)求的最大值和最小值． 18．（10分）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 19．（10分）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 20．（10分）近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.    (1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数； (2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？ (3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率. 21．（12分）已知函数且. (1)当时， ①若，求的值； ②当时，用定义证明函数是上的减函数； (2)若为偶函数，且，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2026年1月辽宁省学考仿真模拟试卷02 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学·答题卡 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。 ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 1 0 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 1 2 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共计 1 2 分） ) ( 13 ． _______________________ 14 ． _______________________ 15 ． _______________________ 16 ． _______________________ 三、解答题（本题共 5 小题，共 52 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 10 分） 19 （ 10 分） ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0. （ 10 分） 21. （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $