精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于平面对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得出点坐标，再利用空间向量减法的坐标运算求出向量坐标，再计算模长即可． 【详解】由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称规则可判断A错误，利用向量共线的条件可得，可得B正确，由共面定理可知C错误，再由线面角定义可得D错误. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为， 因为，所以，则，故B正确； 对于C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则，解得，故C错误； 对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°， 则直线l与平面所成的角为，故D错误. 故选：B. 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】方程表示一个圆， 则， ∴ 故答案为A 4. 在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由方向向量求出斜率，即可得出倾斜角. 【详解】因为直线l的方向向量为， 所以直线的斜率， 所以直线l的倾斜角为. 故选：A. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后平方可算出答案. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ ， ∴. 故选：C. 6. 直线与直线平行,且直线过点,则直线和的距离为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本道题结合平行直线，设出直线m的方程，代入，得到m的方程，利用平行直线间距离公式，即可． 【详解】两直线平行满足x,y的系数比例相等，故可以设直线m的方程为 ，代入，解得，故直线m的方程为 利用两直线的距离公式，故选A． 【点睛】本道题考查了平行直线间的关系以及平行直线间距离计算公式，关键利用好直线平行以及过点，得到直线m的方程，属于中档题． 7. 过点的直线与圆相切，则切线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点P到圆心的距离，利用勾股定理即可求得切线长. 【详解】因为点到圆C的圆心的距离为，所以切线长为. 故选：C 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式，属于基础题. 8. 已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆定义计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用面面垂直的向量结论可解；对于B，根据线面平行的向量表示可解；对于C，判定是否不共面可解；对于D,运用投影向量的模长公式计算. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以或，故B错误； 对于C，由选项，解析可知，由的坐标可知不共线， 所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确； 对于D，在上的投影向量的模长为，故D正确． 故选：ACD. 10. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 经过定点的直线都可以用方程表示 C. 直线必过定点 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点且垂直于轴的直线，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错； 对于B选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，B错； 对于C选项，将直线方程变形为， 由可得，故直线过定点，C对； 对于D选项，若直线与直线平行，则，解得， 直线方程可化为， 故两平行直线间的距离为，D对. 故选：CD. 11. （多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 的周长为14 C. 若，则 D. 若，则的面积为7 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质对选项逐一判断计算即可. 【详解】椭圆中，，则，． 因为和都是焦点三角形，周长均为，所以A错误B正确； 由椭圆的定义知， 所以，所以C正确； 在中，，所以是直角三角形，且． 直角三角形中，斜边的中线长等于斜边的一半， 方法一，由得 ①． 由勾股定理得，代入①得， 故． 方法二，由焦点三角形面积公式可得．所以D正确 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】计算，设直线方程为，计算，利用点到直线的距离公式得到答案. 【详解】如图所示：，故，设直线方程为. ，，故，根据相似计算得到， 利用点到直线的距离公式得到：，解得或 当时，直线和圆不相交，舍去，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13. 正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再由平面，得，计算可得点的轨迹方程，再由题意即得点的轨迹长度. 【详解】利用正方体建立如图所示空间直角坐标系， 由题意可知，，，，， 因点是正方形内的动点，可设，， 因 设平面法向量， 则，令，则， 因平面，则，即， 整理得：. 是正方形内的动点，取，得；取，得， 故点的轨迹长度为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用正方体建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求得，结合点的位置即可求得其轨迹长度. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____ . 【答案】## 【解析】 【分析】转化条件设点，，表示出点C坐标后直接代入椭圆方程，利用即可得解. 【详解】解：设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设, 由，得，即有，即， 得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点． （1）求 （2）求直线与所成角的余弦值 （3）求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 在棱长为的正方体中， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由正方体，可得平面， 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 又， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 16. 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由可得直线的斜率，进而可得直线的方程； （2）设直线的斜率分别为，可得，求解可得的值，进一步得到直线与直线的方程，联立得的坐标； （3）设，其中，利用两点间的距离公式可得原点到直线、的距离，变形后利用基本不等式求解． 【详解】解：（1）由已知得，又， 直线的方程； （2）设直线的斜率分别为， 则，得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为，联立得； 故所求为； （3）设，其中， 故 ． 由于（等号成立的条件是）， 故． 【点睛】本题考查直线方程的点斜式及交点坐标，考查点到直线距离公式的运用，训练了利用基本不等式求最值，难度较大，对学生的理解能力要求较高． 17. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面； （2）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）在线段上不存在一点，使平面平面，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，，求出平面、平面的法向量，根据得到方程，解得，即可判断. 【小问1详解】 ，， ， ，，平面， 平面，平面， ， ，，平面， 平面； 【小问2详解】 由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 令， 则， 设，，则，， 设平面的法向量为，则，取， 平面平面， ，解得， ， 在线段上不存在一点，使平面平面． 18. 已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H. (1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程； (2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围． 【答案】(1)x＝3或4x－3y－6＝0.(2)[，). 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求出三角形两边的垂直平分线的方程，解联立方程组求出外心的坐标，再求出半径得出外接圆的方程，根据弦长求出圆心到直线的距离，设出直线方程利用圆心到直线的距离公式列方程求出直线的斜率，写出直线的方程，注意直线斜率不存在的情形；（2）设出点P和点N的坐标，表示出中点M的坐标，M、N满足圆C的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P满足直线BH的方程，解出半径的取值范围. 试题解析： (1)线段AB的垂直平分线方程x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0， ∴外接圆圆心H(0,3)，半径，⊙H的方程x2＋(y－3)2＝10. 设圆心H到直线l的距离为d，∵直线l被⊙H截得的弦长为2，∴d＝＝3. 当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求； 当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k(x－3)，则＝3，解得k＝. 综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.6分 (2)直线BH的方程为3x＋y－3＝0，设P(m，n)(0≤m≤1)，N(x，y)， ∵点M是线段PN的中点，∴M()， 又M，N都在半径为r的⊙C上， ∴ ， 即 ∵此关于x，y的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r为半径的圆与以(6－m,4－n)为圆心，2r为半径的圆有公共点，∴(2r－r)2≤(3－6＋m)2＋(2－4＋n)2≤(r＋2r)2. 又3m＋n－3＝0，∴r2≤10m2－12m＋10≤9r2对所有的m∈[0,1]成立． 而f(m)＝10m2－12m＋10在[0,1]上的值域为[，10]，故r2≤，且10≤9r2. 又线段BH与圆C无公共点，∴(m－3)2＋(3－3m－2)2＞r2对所有的m∈[0,1]成立， 即r2＜.故⊙C的半径r的取值范围为[ ). 【点睛】已知圆上三点的坐标求圆的方程方法有两种：①设圆的一般方程，利用待定系数法，列方程组解方程求解，②求两边的中垂线的方程，求出中垂线的交点就是三角形外接圆的圆心，再求出半径，写出圆的方程. 19. 如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且， （1）求椭圆的方程； （2）设点关于轴的对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程，表示出点的坐标，利用得，结合和关系得到椭圆的方程； （2）先求出​的坐标，设出的坐标，分别求出直线​与轴交点的横坐标表达式，再计算它们的乘积，结合椭圆方程证明其为定值. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ，，， 椭圆方程为； 【小问2详解】 由（1）得，则， 设，则有， 直线的方程为， 令，整理得， 同理可得点的横坐标， 所以点，的横坐标之积， 因为，所以． 故点，的横坐标之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A，B，C，P四点共面，且A，B，C，P中任意三点不共线，若，则 D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为30°，则直线l与平面所成的角为30° 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 6. 直线与直线平行,且直线过点,则直线和的距离为 A. B. C. D. 7. 过点的直线与圆相切，则切线长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，若，则为（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知平面法向量分别是，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为 10. 下列四个命题中真命题有（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 经过定点的直线都可以用方程表示 C. 直线必过定点 D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是 11. （多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为16 B. 的周长为14 C. 若，则 D. 若，则的面积为7 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为_________. 13. 正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为_________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为_____ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点． （1）求 （2）求直线与所成角余弦值 （3）求平面和平面夹角的余弦值． 16. 已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点. （1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程； （2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标； （3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围. 17. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面； （2）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圆为⊙H. (1)若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程； (2)对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围． 19. 如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且， （1）求椭圆的方程； （2）设点关于轴对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $