精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

富锦市2025-2026学年度第一学期期中素养提升检测卷 九年级数学 满分120分，限时120分钟 第一部分：单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分）（每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A B. C. D. 3. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰梯形 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 7. 已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 8. 抛物线与x轴的交点个数是（  ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9. 一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（  ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 10. 若二次函数的图像开口向下，且与y轴交于正半轴，则下列判断正确的是（  ） A B. C. D. 11. 如图，是直径，点C在圆上，，则的度数为（  ） A. B. C. D. 12. 某商品原价200元，经过两次相同百分率的降价后价格为162元，设每次降价的百分率为，则可列方程为（  ） A. B. C. D. 第二部分：填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 方程x2=4x的解 __． 14. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为__________． 15. 如图，是的切线，B为切点，，，则__________． 16. 在一个不透明的盒子中装有3个红球、4个白球和若干个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则黑球有__________个． 第三部分：解答题（共8小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）（用因式分解法） （2）（用公式法） 18 已知二次函数． （1）求其图象的顶点坐标和对称轴； （2）求该图象与x轴的交点坐标． 19. 如图，的顶点坐标分别为， （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到． （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 20. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，，． （1）求的长； （2）求的长． 21. 某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件．设销售单价为元（），每月销售量为件． （1）求与的函数关系式； （2）求每月利润与的函数关系式； （3）当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 23. 如图，四边形是正方形，E是边上一点，连接，将直线绕点D逆时针旋转，交的延长线于点F． 如图1，求证：； 如图2，连接，若D关于直线的对称点为H，连接，过点H作交于点P，求证：E为中点． 如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，连接，，若，，求线段的长 24. 如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 富锦市2025-2026学年度第一学期期中素养提升检测卷 九年级数学 满分120分，限时120分钟 第一部分：单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分）（每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）是解题的关键．根据一元二次方程的定义，依次判断各选项是否满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0的条件． 【详解】解：A. 是整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2，是一元二次方程，故符合题意； B. 中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故不符合题意； C. 中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故不符合题意； D. 不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意， 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 【详解】解：x2-6x=-1， x2-6x+9=8， （x-3）2=8． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由， 根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）， 可知顶点坐标为（-1，3）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 正三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误； C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误． 故选C． 【点睛】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 5. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选D． 6. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 7. 已知圆的半径为，点P到圆心距离为，则点P与圆的位置关系是（ ） A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此解答即可． 【详解】解：∵圆的半径为，点P到圆心的距离为， ∴，即， ∴点P与圆的位置关系是：P在圆内． 故选：C． 8. 抛物线与x轴的交点个数是（  ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系．抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线与x轴的交点个数为2个， 故选：C． 9. 一个不透明的袋子中有红球、白球共10个，除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，记录颜色后放回，重复100次，发现摸到红球60次，则估计袋中红球约有（  ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据概率求数量．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，求出摸到红球的概率，然后根据概率进行计算即可． 【详解】解：∵共试验100次，其中有60次摸到红球， ∴红球所占的比例为：， ∴袋中红球的个数约为：（个）， 故选：C． 10. 若二次函数的图像开口向下，且与y轴交于正半轴，则下列判断正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据二次函数的性质，开口向下则二次项系数；与y轴交于正半轴则常数项，判断即可． 【详解】解：∵ 图像开口向下， ∴ ； ∵ 图像与 y 轴交于正半轴，即当时，， ∴ ． 故选B． 11. 如图，是的直径，点C在圆上，，则的度数为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，利用圆的性质、等腰三角形的性质及三角形的外角定义可求解出的度数． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴， 故选：C． 12. 某商品原价200元，经过两次相同百分率的降价后价格为162元，设每次降价的百分率为，则可列方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——平均增长率（降低率）问题．设每次降价的百分率为x，根据两次降价后价格变化列方程． 【详解】解：∵商品原价200元，每次降价百分率为x， ∴第一次降价后价格为元， 第二次降价后价格为元． ∵最终价格为162元， ∴． 对比选项，B选项方程形式正确． 故选：B． 第二部分：填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 14. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得；再向下平移3个单位，得 ． 故答案为：． 15. 如图，是的切线，B为切点，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质及勾股定理，连接，根据题意可得，由已知条件利用勾股定理求得的长度，再由已知半径长可求得的长度． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，B为切点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴． 故答案为：． 16. 在一个不透明的盒子中装有3个红球、4个白球和若干个黑球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则黑球有__________个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求数量，利用概率公式，摸到红球的概率等于红球数量与总球数量的比值，设黑球数量为未知数，建立方程求解，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为， 根据题意，摸到红球的概率为， 解方程：两边乘以得， 因此， 检验：当时，是所列方程的解且符合题意， 故黑球有5个， 故答案为：5． 第三部分：解答题（共8小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）（用因式分解法） （2）（用公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． （1）直接利用因式分解方法解该一元二次方程即可； （2）直接利用公式法解该一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ，． 18. 已知二次函数． （1）求其图象的顶点坐标和对称轴； （2）求该图象与x轴的交点坐标． 【答案】（1）顶点坐标，对称轴： （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括将一般式化为顶点式求对称轴和顶点坐标以及与x轴的交点问题． （1）将二次函数一般式化为顶点式后即可求得其顶点坐标及对称轴； （2）令后用解一元二次方程的形式求得x的两个解，据此可知该图象与x轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：将二次函数的一般式化为顶点式为：， ∴此时抛物线的顶点坐标为，抛物线对称轴为：． 【小问2详解】 解：令，则， ∴，解得，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，． 19. 如图，的顶点坐标分别为， （1）画出关于y轴的对称图形； （2）将绕原点O顺时针旋转，得到． （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）作图见解析，点P坐标为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点。 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 如图，点即为所求，由图可知：点P坐标为； 20. 如图，是的直径，C是上一点，于点D，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理及利用三角形面积公式求高， （1）根据圆上任意一点与直径构成的三角形为直角三角形这一性质，利用勾股定理求得的距离； （2）利用三角形面积公式求出的距离即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径，C是上一点， ∴， 又∵，， 在中，由勾股定理得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 21. 某超市销售一种商品，每件成本为30元，经调查发现：销售单价为40元时，每月可售出200件；销售单价每上涨1元，每月少售出10件．设销售单价为元（），每月销售量为件． （1）求与的函数关系式； （2）求每月利润与的函数关系式； （3）当销售单价定为多少元时，每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）根据售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，设销售单价为元，即可得月销量（件）； （2）设售价上涨元，则单件利润为，销量为，再根据月利润每件商品的利润每月销售量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，销售单价为元， 所以月销量（件） 【小问2详解】 解：由题意得； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当时，有最大值为， 故当售价定为45元时，月销售利润最大，最大利润是2250元． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 由题意，， ∴， 解得或． 23. 如图，四边形是正方形，E是边上一点，连接，将直线绕点D逆时针旋转，交的延长线于点F． 如图1，求证：； 如图2，连接，若D关于直线的对称点为H，连接，过点H作交于点P，求证：E为中点． 如图3，在（2）的条件下，连接交于点G，连接，，若，，求线段的长 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】此题考查图形的旋转，三角形全等的证明，勾股定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． （1）由旋转证得，得； （2）通过证明，推出，利用全等的性质得，进而得到即可； （3）通过证明推出，借助于（2）中，得，又，得，是等腰直角三角形，由勾股定理求得的长． 【详解】解：（1）∵旋转， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴E为中点； （3）过点E作，交于点k， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， 设，则，， ∴， ∴（舍去） ∴， ∴； 连接， ∴ ∴在等腰直角中，， 过点H作，， ∴， ∵， ∴， ∵（2）中，∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 设， ∴， ∴中， ∴ ∴． 24 如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； （3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：． （2）P（2，）． （3）存在点N的坐标为（4，），（，）或（，） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣； （2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣， ∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2， 连接BC，如图1所示， ∵B（5，0），C（0，） ∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴，解得， ∴直线BC解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣ ∴P（2，﹣）； （3）存在．如图2所示， ①当点N在x轴下方时， ∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣） ∴N1（4，﹣）； ②当点N在x轴上方时，如图2， 过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中， ∴△AN2D≌△M2CO（ASA） ∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为． ∴x2﹣2x﹣=， 解得x=2+或x=2﹣， ∴N2（2+，），N3（2﹣，） 综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $