第四章 实数（复习课件）数学鲁教版五四制2024七年级上册

单元复习课件 第四章 实数 鲁教版·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.系统梳理实数的概念与性质，建立清晰的知识脉络。 3.深化数形结合思想，体会实数与数轴的一一对应关系，提升数学素养。 2.熟练进行实数的运算与估算，解决相关的数学问题。。 单元学习目标 定义 实数 性质 分类 负数的立方根是负数 实数 按定义分 概念 立方根 0的立方根是0 平方根 运算 概念 0的平方根是0 正数的立方根是正数 正数有两个平方根 实数与数轴 实数的运算 按符号分 运算 负数没有平方根 性质 单元知识图谱 考点一、 无理数与有理数 无限不循环小数称为 ________。 2.有理数总可以用 ________ 小数或 ___________ 小数表示。 3.圆周率 π 是一个著名的 ________ 数。 4. 所有 ________ 和 ________ 统称为实数。 无理数 有限 无限循环 无理 有理数 无理数 考点串讲 考点二、 平方根与算术平方根 1.如果一个正数 𝑥 的平方等于 𝑎，即 =𝑎， 那么这个正数 𝑥 就叫作 𝑎 的 ________________，记作 ________。 2. 一个正数有 ________ 个平方根，它们互为 ________； 负数 ________ 平方根。 3. 求一个数 𝑎 的平方根的运算，叫作 ________。 4. 当 𝑎≥0 时，= ________；= ________。 算术平方根 2 相反数 没有 开平方 a a 考点串讲 考点三、立方根 立方根 1.如果一个数 𝑥 的立方等于 𝑎，即 =𝑎， 那么这个数 𝑥 就叫作 𝑎 的 ________，记作 ________。 2. 正数的立方根是 ________ 数，0的立方根是 ________， 负数的立方根是 ________ 数。 3.求一个数 𝑎 的立方根的运算叫作 ________。 正 0 负 开立方 考点串讲 考点四、 实数的分类与运算 1. 实数可以分为 ________、零和 ________。 2. 正实数包括 ________ 和 ________； 负实数包括 ________ 和 _________。 3. 有理数的运算法则与运算律对实数 ________ 适用。 （填“仍然”或“不”） 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 仍然 考点串讲 例1：  题型一、无理数 D 解析：根据勾股定理,得 = +=42+52=41,不存在平方 等于41的有理数,因此AB的长为无理数. 　 已知在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,则斜边AB的长是  (　    ) A.整数　　     B.分数 C.有理数　　    D.无理数 题型剖析 题型一、无理数 判断一个数是否是无理数 牢记定义：无限不循环小数； 典型例子：π、开不尽的根号。 题型剖析 变式： 题型一、无理数 3 如图,9个正方形的面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中边长是有理数的正方形有__________个,边长是无理数的正方形有___________个. 6 解析:面积为1,4,9的正方形的边长为有理数,面积为2,3,5,6, 7,8的正方形的边长为无理数. 题型剖析 题型二、估算数值的大小(夹逼法) 例2： 2 一个正方体的体积为25,估计这个正方体的棱长在整数     　　    (小)和　　　    (大)之间.   3 解析:设这个正方体的棱长为x, ∵这个正方体的体积为25, ∴x3=25,∵23<25<33,∴2<x<3. 题型剖析 题型二、估算数值的大小(夹逼法) 估算数值的大小（尤其是无理数） 使用夹逼法是一种常见且有效的方法。 夹逼法通过找到两个连续的有理数， 使目标值被“夹”在中间，从而逐步逼近其近似值 题型剖析 题型二、估算数值的大小(夹逼法) 一个面积为41π的圆形彩色桌布,它的半径在两个相邻整数 之间,则这两个整数的和是　　    . 13 解析:设圆的半径为r,根据圆的面积公式,得πr2=41π, 所以r2=41,因为62<41<72,所以r在整数6和7之间, 所以这两个整数的和为13. 变式： 题型剖析 题型三、算术平方根 例3： B a的算术平方根是4,那么a的值是 (　    ) A.8　　    B.16　　    C.2　　    D.±2 解析:因为4的平方等于16,所以16的算术平方根是4,即a=16. 题型剖析 题型三、算术平方根 直接法: 被开方数是完全平方数 记忆平方数:直接写出结果 分解化简法: 被开方数含有平方因子 质因数分解，配对后移出根号 估算夹逼法 :需要无理数的数值近似 确定范围，逐步逼近 计算器法 :快速得到高精度数值 正确使用计算器功能 题型剖析 变式： 题型三、算术平方根 若|a-2|+ =0,则ab=　　　    . 解析　∵|a-2|+ =0,∴a-2=0,a+b=0,解得a=2,b=-2, ∴ab=2×(-2)=-4. -4 题型剖析 题型四、平方根 例4： 若 的平方根为±4,则a=______　　　    .  256 解析　∵ 的平方根是±4, ∴ =16, ∴a=256. 题型剖析 题型四、平方根 算术平方根 ：结果是非负数的平方根。 平方根 ：包括正负两个结果（0除外） 在实数范围内，负数没有平方根。 0的平方根是0。 题型剖析 题型四、平方根 变式： 4 若2m-4与3m-1是同一个数的两个不相等的平方根,则这个数是　　　    . 解析:由题意可知2m-4+3m-1=0,解得m=1, ∴2m-4=-2,∴这个数是4,故答案为4. 题型剖析 例5： 题型五、立方根 若一个数的立方根是-3,则该数为(　    ) A.- 　　    B.-27　　    C.± 　　    D.±27 解析:因为 =-27,所以这个数是-27. B 题型剖析 题型五、立方根 立方根运算和立方运算是互逆运算： =𝑎 且 =𝑎。 在实数范围内，任何实数都有且只有一个立方根。 题型剖析 题型五、立方根 变式： 下列语句正确的是 (　    ) A.4是16的算术平方根,即± =4 B.-3是27的立方根 C. 的立方根是2 D.1的立方根是-1 C 解析:     =8, 8的立方根是2,故选项C正确. 题型剖析 题型六、立方根的性质 例6： 解析:　立方根等于它本身的数有3个,分别是1,0,-1. 如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是 (　    ) A.1　　    B.±1　　    C.0,1　　    D.±1或0 D 题型剖析 题型六、立方根的性质 与平方根不同，立方根的结果只有一个。 ◦ 正数的立方根是正数。 ◦ 负数的立方根是负数。 ◦ 0的立方根是0。 题型剖析 题型六、立方根的性质 变式： D 下列说法错误的是 (　    ) A.任何一个有理数都有立方根,而且只有一个立方根 B.开立方与立方互为逆运算 C.- 不一定是负数 D.  一定是负数 解析:若a是负数,则-a为正数,正数的立方根是正数.故选项D错误. 题型剖析 题型七、开立方 例7： 一个正方体集装箱的体积为343m3,现准备将其体积扩大(扩大后仍为正方体),以放置更多货物,若要使这个正方体集装箱的体积达到512 m3,则它的棱长应增加多少米? 解析:设棱长增加x m,可使这个正方体集装箱的体积达到512m3. 由题意,得( +x)3=512,解得x=1.故它的棱长应增加1m. 题型剖析 题型七、开立方 直接法 完全立方数 记忆立方数表 分解化简法 含立方因子的数 质因数分解， 估算夹逼法 需要无理数的近似值 确定范围，逐步逼近 计算器法 快速得到高精度数值 正确使用计算器功能 题型剖析 题型七、开立方 变式： 若x2=(-5)2,( )3=-5,则x+y的值为(　    ) A.0　　     B.-10 C.0或-10　　     D.0或-10或10 C 解析:因为x2=(-5)2=25,所以x=± =±5. 因为( )3=-5,所以y=-5. 当x=5,y=-5时,x+y=0; 当x=-5,y=-5时,x+y=-10, 所以x+y=0或x+y=-10. 题型剖析 题型八、用估算法确定无理数的大小 例8： 已知a= ,b=2,c= ,则a、b、c的大小关系是 (　    ) A.b>a>c　　    B.a>c>b　　    C.a>b>c　　    D.b>c>a 解析　∵3<4<5,∴ < < , 即 <2< ,∴a>b>c,故选C. C 题型剖析 题型八、用估算法确定无理数的大小 估算法基于一个简单但强大的思想： 任何无理数都可以被两个有理数无限逼近。 核心公式：如果 m² < a < n²，那么 m < < n 题型剖析 题型八、用估算法确定无理数的大小 变式： 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”,兵马俑的 眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为  , 下列估算正确的是(　    ) A.0< < 　　    B. < <  C. < <1　　    D. >1 C 解析    ∵4<5<9,∴2< <3,∴1< -1<2, ∴ < <1.故选C. 题型剖析 题型九、实数与数轴 例9： 实数a、b在数轴上的对应点的位置 如图所示,下列结论正确的是 (　    )   A.a<-2　　    B.b<2　　    C.a>b　　    D.-a<b D 解析　由数轴得-2<a<-1,2<b<3,所以a<b,-a<b,故选项D符合 题意.故选D. 题型剖析 题型九、实数与数轴 数轴上右边的数总是大于左边的数 每个实数对应数轴上唯一一个点 数轴上每个点对应唯一一个实数 题型剖析 题型九、实数与数轴 变式： 已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如 图所示,则 + 的值是 (　    )   A.-2　　    B.-1　　    C.0　　    D.2 C 解析　∵a<0,b>0,∴原式=-1+1=0.故选C. 题型剖析 题型十、实数的性质 例10： 若实数a的绝对值是3,则实数a等于 (　    ) A.-3　　    B.±3　　     C.- 　　    D.  B 解析　∵|±3|=3,∴a=±3.故选B. 题型剖析 实数 = 有理数 + 无理数 只有符号不同的两个数互为相反数 |a| = a (当 a ≥ 0) |a| = -a (当 a < 0) 题型十、实数的性质 题型剖析 变式： 题型十、实数的性质 下列各组数中互为相反数的是 (　    ) A.5和 　　     B.-|-5|和-(-5) C.-5和 　　    D.-5和  B 解析    A. =5,故选项A错误; B.-|-5|=-5,-(-5)=5,故选项B正确; C. =-5,故选项C错误; D.-5不是  的相反数,故选项D错误.故选B. 题型剖析 题型十一、实数的运算 例10： 如图,手工制作时,需要在长方形纸上 粘贴两个相邻的正方形,并在正方形外部涂色,若两个正方形 的面积分别为16和4,则涂色部分的面积为　　　    . 4 解析　解法一:涂色部分的面积= ×( - )=2×(4-2)=4. 解法二:涂色部分的面积= × -4=2×4-4=4. 题型剖析 题型十一、实数的运算 步骤： 1. 先乘方开方，再乘除，最后加减。 2. 遇根式，先化简。将根号内能开方的因数开出来。 3. 遇分母含根号，必有理化。 4. 寻找同类项，合并最简。 5. 检查结果：确保根式为最简，分母为有理数。 题型剖析 题型十一、实数的运算 变式： 计算:-12 024×(π-3.14)0- = 　    . -10 解析　-12 024×(π-3.14)0- =-1×1-9=-1-9=-10,故答案为-10. 题型剖析 1．   的算术平方根是(　    ) A.4　　    B.2　　    C.±4　　    D.±2 B 解析　∵ =4,4的算术平方根是2,∴ 的算术平方根是2, 故选B. 针对训练 2． 若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m-6, 则m的值是 (　    ) A.-7　　    B.-4　　    C.1　　    D.16 C 解析　∵一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m-6, ∴3m+1+2m-6=0,∴m=1.故选C. 针对训练 3． 若a< <b,且a、b是两个连续的整数,则(-b)a的值为　        . -7 776 解析　∵25<29<36,∴5< <6, ∴a=5,b=6,∴(-b)a=(-6)5=-7 776. 针对训练 4． 如图,在数轴上点D表示的实数为　　　    .   1- 解析　∵AB=2-1=1,AC=2, ∴BC= = ,∴点D表示的数为1- . 针对训练 5． 如图,数轴上点C所表示的数是　　　    .   解析　因为OA⊥AB,OA=3,AB=2, 所以由勾股定理可得OB= = . ∴OC=OB= .故答案为 . 针对训练 6． 计算: (1) - - . (2)(1- )0-|- |+ - . (3)-14+|1- |-(π-3.14)0. 解析    (1)原式=3-6+3=0. (2)原式=1- +4+2=7- . (3)原式=-1+( -1)-1=-1+ -1-1= -3. 针对训练 7． 甲同学用图1所示的方法作出表示  的点C,在△OAB中,∠OAB=90°, OA=2,AB=3,且点O,A,C都在数轴上,OB=OC. (1)请说明甲同学的作法. (2)仿照甲同学的作法,在图2所示的数轴上描出表示-  的点D,并说明理由. 针对训练 7． 解析    (1)在Rt△AOB中,OB=  =  =  , ∵OB=OC,∴OC=  .∴点C表示的数为  . (2)如图所示.   取OE=5,作EF⊥OE,取EF=2, 在Rt△OEF中,由勾股定理得OF=  =  = , ∴OD=OF=  ,∴点D表示的数为- . 针对训练 8． 在一次活动课中,虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3∶1, 面积为75 cm2的长方形. (1)求长方形的长和宽. (2)她用另一根绳子围成一个正方形,且正方形的面积等于原 来围成的长方形面积,她说:“围成的正方形的边长与原来长 方形的宽之差大于3 cm”,请你判断她的说法是否正确,并说明理由. 针对训练 8． 解析    (1)根据题意设长方形的长为3x cm,宽为x cm, 则3x·x=75,即x2=25, ∵x>0,∴x=5,∴3x=15. 答:长方形的长为15 cm,宽为5 cm. (2)正确.理由:设围成的正方形的边长为y cm, 根据题意可得y2=75, ∵y>0,∴y=  , ∵原来长方形的宽为5 cm, 针对训练 8． ∴正方形的边长与长方形的宽之差为( -5)cm, ∵ < < , ∴8< <9, ∴3< -5<4, ∴她的说法正确. 针对训练 9． 如图,用两个面积为200 cm2的小正方形拼成一个大的正方形. (1)求大正方形的边长. (2)若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形,能否使裁出的 长方形的长宽之比为4∶3,且面积为360 cm2?   针对训练 9． 解析    (1)大正方形的边长是 =  =20(cm). (2)设裁出的长方形的长为4x cm,宽为3x cm, 则4x·3x=360,解得x= . 所以4x=4 >20,所以沿此大正方形边的方向裁出一个长方 形,不能使裁出的长方形的长宽之比为4∶3,且面积为360 cm2. 针对训练 ✅ 知识构建：勾股定理 实数与数轴 平方根和算术平方根 立方根 实数的运算 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 数形结合思想 这是实数部分最重要、最核心的思想，实现了“数”与“形”的相互转化。 分类讨论思想：实数的分类、绝对值的化简、平方根和立方根，需要根据数的正负性、是否为0等情况进行分类讨论。 转化与化归思想：将复杂问题转化为已知或易解决的问题。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $