6.2黄金分割（题型专练）数学苏科版九年级下册

6.2 黄金分割 题型一 黄金分割有关的概念辨析 1．（2023·靖江市·期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（　　） A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割 【详解】解：∵0.618是黄金分割数， ∴体现了黄金分割． 故选：D． 2．（2025·邗江区·校级月考）大自然是美的设计师，既使是一片小小的银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，若A、P、B三点共线，点P为AB的黄金分割点（AP＞BP），下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵点P为AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴AP2＝BP•AB，即． 故选：B． 3．（2025·姑苏区·校级月考）如图，点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．AC2＝AB2+BC2 B．BC2＝AC•AB C． D． 【详解】解：∵点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC）， ∴ABAC． 故选：C． 4．（2024·江苏·校级期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数n和n+1之间，则n的值是　　． 【详解】解：∵， ∴， ∴n＝1． 故答案为：1． 题型二 根据黄金分割求线段长 1．（2025·工业园区·校级月考）若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（　　） A． B．3 C． D．或3 【详解】解：当AC＜BC时，BCAB1； 当AC＞BC时，BC＝2﹣（1）＝3． 故选：D． 2．（2025·扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为（　　） A．6.18 B．3.82 C．6.28 D．4.82 【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴APAB10≈6.18， ∴PB＝AB﹣PA＝10﹣6.18＝3.82（cm）． 故选：B． 3．（2025·淮安·期末）我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像AB分为上下两部分，其中C为AB的黄金分割点，已知AB长为2米，则BC的长是　　米． 【详解】解：∵0.618，AB＝2米， ∴BC≈1.236米． 故答案为：1.236． 4．（2025·沭阳县·校级模拟）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2cm，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE，则BE的长为　　cm．（结果保留根号） 【详解】解：由勾股定理可得：（cm）， ∵点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE， ∴，即，解得：cm． 故答案为：（）． 5．（2024·沭阳县·校级月考）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为　　米．（提示：黄金分割比） 【详解】解：∵汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长AB约为5米， ∴BCAB5（米）， ∴AC＝AB﹣BC＝5（米）， ∴车头A与后视镜C的水平距离约为米． 故答案为：． 6．（2022·丹阳市·期中）已知线段l的长度为8cm，点A、B为线段l上两个不同的黄金分割点，则AB＝　　． 【详解】解：如图， ∵点A是线段CD的黄金分割点，且AD＞AC， ∴ADCD8＝4（1）＝（44）cm， ∵点B是线段CD的黄金分割点，且BC＞BD， ∴BCCD， ∴BC＝AD， ∴AB＝BC+AD﹣CD＝2AD﹣CD＝2（44）﹣8＝88﹣8＝（816）cm． 故答案为：（816）cm． 题型三 根据黄金分割求面积 1．（2025·昆山市·月考）如图，正方形ABDE中，点C是线段AB的黄金分割点即，S1表示以AC为边的正方形的面积，S2表示矩形CBDF面积，则S1与S2的大小关系（　　） A．无法确定 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．S1＝S2 【详解】解：∵， ∴AC2＝BC•AB， ∵正方形ABDE中，AB＝BD， ∴S2＝BC•BD＝BC•AB， ∵S1＝AC2， ∴S1＝S2． 故选：D． 2．（2024·鼓楼区·校级三模）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若以AC为边的正方形ACDE的面积为100，则长为AB，宽为CB的矩形的面积为　　． 【详解】解：∵， ∴AC2＝AB•BC． ∵正方形ACDE的面积为100， ∴AC2＝100， ∴AB•BC＝100， ∴S矩形CBGF＝100． 故答案为：100． 题型四 黄金分割点的形成与应用 1．（2024·玄武区·校级月考）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，点C就是线段AB的黄金分割点．若AB＝2，则BC＝（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵AB＝2，BD， ∴BD＝1， ∵BD⊥AB， ∴AD， ∵DE＝BD＝1， ∴AE， ∴AC＝AE， ∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（）＝3． 故选：C． 2．（2024·扬州·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 【详解】解：∵H是AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH⋅AB， ∵，S2＝BH⋅BC＝BH⋅AB， ∴S1＝S2，即． 故选：D． 题型一 黄金三角形 1．（2023·姑苏区·校级期末）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BC＝BD， ∴△BDC是“黄金三角形”， ∴， ∵BC＝2， ∴DC1． 故选：A． 2．（2024·邗江区·校级三模）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝　　． 【详解】解：∵△ABC是黄金三角形，AB＝8， ∴BCAB8＝44， ∵△BDC是黄金三角形， ∴DCBC（44）＝12﹣4， ∵△DEC是黄金三角形， ∴DE＝DC＝12﹣4． 故答案为：12﹣4． 3．（2024·扬州·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为　　． 【详解】解：如图，作△ABC的中线CM， ∵△ABC是“精准三角形”， ∴， ∵AB＝2， ∴CM1， ∵M是AB中点， ∴AM＝MBAB＝1， 令DM＝x，则AD＝x+1， ∵CD2＝CM2﹣MD2＝AC2﹣AD2， ∴x2＝22﹣（x+1）2， ∴x， ∴DM， ∴BD＝MB﹣DM． 故答案为：． 题型二 黄金矩形 1．（2024·宜兴市·期中）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【详解】解：∵PB⊥PC， ∴点P在以BC为直径的圆上， 如图， ∵四边形ABCD是黄金矩形， ∴令AB＝CD＝（）a，AD＝BC＝2a， ∴⊙M的半径为a， ∵0， ∴AD边与⊙M相离， ∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0． 故选：D． 2．（2024·沭阳县·校级月考）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，且∠PBC＝45°，则（　　） A． B． C． D．1 【详解】解：如图， 设AB＝a， ∵宽与长的比是， ∴， ∴， ∵∠PBC＝45°，∠A＝90°，AB∥CD， ∴∠ABP＝∠APB＝45°， ∴AP＝AB＝a， ∵PD＝AD﹣AP，而， ∴，又DC＝AB＝a， ∴． 故选：A． 3．（2024·沭阳县·校级模拟）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝　　． 【详解】解：设AB＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝x， ∵CE＝4， ∴BE＝BC+CE＝x+4， ∵四边形ABEF是黄金矩形， ∴， ∴，解得：x＝22， 经检验：x＝22是原方程的根， ∴AB＝22． 故答案为：22． 4．（2022·邗江区·月考）再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝　　（保留根号）； （2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【详解】解：（1）∵四边形MNCB是正方形， ∴NC＝MN＝2， 由折叠的性质可得：ACNC＝1， 在Rt△ABC中，AB， 故答案为； （2）四边形BADQ是菱形，理由如下： 由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ， ∵BQ∥AD， ∴∠AQB＝∠DAQ， ∴∠AQB＝∠BAQ， ∴AB＝BQ， ∴AD＝AB＝BQ＝BD， ∴四边形BADQ为菱形； （3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE，理由如下： ∵AD＝AB，AN＝AC＝1， ∴CD，ND， ∴，， ∴矩形BCDE是黄金矩形，矩形MNDE是黄金矩形． 题型三 黄金五角星 1．（2024·高新区·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点．则　　． 【详解】解：如图，连接AE， ∵将⊙O的圆周分成五等份， ∴， ∴∠AEB＝∠DAE， ∴MA＝ME， ∵点M是NE的黄金分割点， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·沭阳县·校级二模）人们把叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若BE＝4，则MN＝　　． 【详解】解：∵， ∴BMBE4＝22， ∴BNBM（22）＝6﹣2， ∴MN＝BM﹣BN＝22﹣（6﹣2）＝48． 故答案为：48． 1．（2024·邗江区·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得ab＝1，记（n取正整数），则的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：Sn ， ∵ab＝1， ∴anbn＝1， ∴Sn ＝n（n+1）， ∴，，...，， ∴ ． 故选：D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 黄金分割 题型一 黄金分割有关的概念辨析 1．（2023·靖江市·期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（　　） A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割 2．（2025·邗江区·校级月考）大自然是美的设计师，既使是一片小小的银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，若A、P、B三点共线，点P为AB的黄金分割点（AP＞BP），下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·姑苏区·校级月考）如图，点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），则下列结论中正确的是（　　） A．AC2＝AB2+BC2 B．BC2＝AC•AB C． D． 4．（2024·江苏·校级期中）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中介于整数n和n+1之间，则n的值是　　． 题型二 根据黄金分割求线段长 1．（2025·工业园区·校级月考）若线段AB＝2，且点C是AB的黄金分割点，则BC等于（　　） A． B．3 C． D．或3 2．（2025·扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为（　　） A．6.18 B．3.82 C．6.28 D．4.82 3．（2025·淮安·期末）我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像AB分为上下两部分，其中C为AB的黄金分割点，已知AB长为2米，则BC的长是　　米． 4．（2025·沭阳县·校级模拟）如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形ABCD的边长为2cm，笔画横钩“一”与正方形对角线交于E点，点E为线段BD的黄金分割点，BE＞DE，则BE的长为　　cm．（结果保留根号） 5．（2024·沭阳县·校级月考）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为　　米．（提示：黄金分割比） 6．（2022·丹阳市·期中）已知线段l的长度为8cm，点A、B为线段l上两个不同的黄金分割点，则AB＝　　． 题型三 根据黄金分割求面积 1．（2025·昆山市·月考）如图，正方形ABDE中，点C是线段AB的黄金分割点即，S1表示以AC为边的正方形的面积，S2表示矩形CBDF面积，则S1与S2的大小关系（　　） A．无法确定 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．S1＝S2 2．（2024·鼓楼区·校级三模）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即，若以AC为边的正方形ACDE的面积为100，则长为AB，宽为CB的矩形的面积为　　． 题型四 黄金分割点的形成与应用 1．（2024·玄武区·校级月考）采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB，使，连接DA，在DA上截取DE＝DB；在AB截取AC＝AE，点C就是线段AB的黄金分割点．若AB＝2，则BC＝（　　） A． B． C． D． 2．（2024·扬州·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 题型一 黄金三角形 1．（2023·姑苏区·校级期末）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·邗江区·校级三模）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝8，则DE＝　　． 3．（2024·扬州·期末）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为　　． 题型二 黄金矩形 1．（2024·宜兴市·期中）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2024·沭阳县·校级月考）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，且∠PBC＝45°，则（　　） A． B． C． D．1 3．（2024·沭阳县·校级模拟）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝　　． 4．（2022·邗江区·月考）再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝　　（保留根号）； （2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 题型三 黄金五角星 1．（2024·高新区·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点．则　　． 2．（2024·沭阳县·校级二模）人们把叫做黄金分割数．五角星是常见的图案，如图，在五角星中存在黄金分割数，，若BE＝4，则MN＝　　． 1．（2024·邗江区·一模）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得ab＝1，记（n取正整数），则的值为（　　） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $