第15章 轴对称图形与等腰三角形（运算抢分宝）-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（沪科版2024）

数学·八年级·上册HK 7.26°8.2或6 （思路二)，∠2是△ABD的外角， 9.解：：∠AFD=152°，∴.∠DFC=28°， .∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°， ∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB, :∠1是△CDP的外角， ∴.∠EDB=∠DFC=28°， ∴.∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°. .∠EDF=180°-∠FDC-∠EDB=180°-90°- 第14章全等三角形 28°=62° 突破点1全等三角形的性质(1) 10.解：AD⊥BC,∴.∠ABD+∠BAD=90°， 1.602.48°3.85°4.70°5.180°6.97.2 :∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAD=90°， 8.29.210.6 ∴.∠ABD=∠CAD=36°，BE平分∠ABC, 突破点2全等三角形的性质(2) ∴LABE=7∠ABc=189 1.182.133.124.245.186.127.6 8.解：(1)：△ABC≌△CDE,.AC=CE=13, 突破点6三角形的外角 ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=5+12+13=30, 1.解：(1)x=40+70=110. 即△ABC的周长为30. (2)x+70=x+(x+10),解得x=60. (2):△ABC≌△CDE,∴.AC=CE=13,∠ACB= 2.解：根据题意得∠C的外角=∠A+∠B, ∠CED,∠D=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°， 即x+72°=x+2x+18°，解得x=27°， ∴.∠ACB+∠DCE=90°，.∠ACE=90°， .∠A=27°，∠B=2x+18°=2×27°+18°=72°， .∠C=180°-∠A-∠B=180°-27°-72°=81°. 之×1B×13:1,即△4CE的面积 3.解：BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线， :∠DBC=∠BC,∠BCD=7LBCR, 为 第15章轴对称图形与等腰三角形 :∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+ 突破点1轴对称 ∠A,∠DBC+∠BCD=90+3LA, 1.50°2.100° 3.34.2.85.156.77.3 .∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD)=180°- 8.8 (90+7LA）=90-7∠A,∠B0G=80 突破点2线段的垂直平分线 1.60243.74105196871083 .∠A=20°. 4.解：如图，延长BC与AD相D 突破点3等腰三角形的性质 交于点E, 1.108°2.108°3.40°4.605.110°6.177.5 ∠1是△ABE的外角， 8.299.2710.14 ∠A=90°，∠B=20°， 突破点4等边三角形的性质 ∴.∠1=∠B+∠A=20°+A 1.15°2.120°3.5cm4.15.56.47.6 90°=110°， 8.39.510.5 同理，∠BCD=∠1+∠D=110°+30°=140° 突破点5含30°角的直角三角形 :李师傅量得∠BCD=142°，不是140°， 1.30°或60°2.63.34.55.36.67.6 这个零件不合格。 8.259.5 5.解：(1)∠1∠2∠A (2)(思路一)在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+ 突破点6角平分线 ∠PCB+∠4=180°，.∠PBC+∠PCB=180°-∠A 1.32.33.34.75.426.17.308.12 -∠3-∠4=180°-67°-25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， .∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48 =132°. 30数学·八年级·上册HK 第15章 轴对称图形与等腰三角形 突破点1轴对称 （时间：30分钟满分120分) 类型1求角度（每题15分，共30分）】 1.如图，在△ABC中，∠B=∠C,∠C=75°，△AB'C'与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°， 则∠CAB'的度数为 E P2. D B---- 1题图 2题图 3题图 4题图 2.如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B,C均落于边BC上一点G处，线 段MN,EF为折痕.若∠A=100°，则∠MGE= 类型2求边长（每题15分，共30分】 3.如图，直线BD是四边形ABCD的对称轴，∠ADB>90°，点E、F分别是AD、CD上一点，且BE =BF,若AE=2,CD=5,则DF= 4.如图，两条直线AB,CD相交于点O,夹角∠AOC=30°，点P为这两条直线外一点，且OP= 2.8.若点P关于直线AB,CD的对称点分别是点P1,P2,则PP2的长是 类型3求周长（每题15分，共30分】 5.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P,P2,连接PP2交 OA于M,交OB于N,P1P2=15,则△PMN的周长为 NB 5题图 6题图 7题图 8题图 6.如图，在△ABC中，AB=9,AC=7,BC=5,D,E分别是边AB和BC上的点，若△ACE和△ADE 关于直线AE对称，CD交AE于点F,则△BDE的周长为 类型4求面积（每题15分，共30分） 7.如图，AD是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD=2,AD=3,则图中阴影部分的面 积是 8.如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=6,△OMN的面积为12，P是直线MW 上的动点，点P关于OA对称的点为P1,点P关于OB对称的点为P2,当点P在直线NM上运 动时，△OPP2的面积最小值为 21 数学·八年级·上册HK 突破点2线段的垂直平分线 （时间：30分钟满分120分) 类型1求角度（每题15分，共30分） 1.如图，在△ABC中，CD垂直平分AB,延长BC至点E,∠B=33°，则∠ACE= D B E 1题图 2题图 3题图 2.如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F,且AB=CD,∠ABD=116°， ∠CDB=28°，则∠OBD= 0 类型2求边长（每题15分，共30分） 3.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC=7,则ED的长为 4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC 于点F,G,连接AE,AG.若△AEG的周长为10，则线段BC的长为 D G E G 4题图 5题图 6题图 类型3求周长（每题15分，共30分） 5.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周 长为 cm. 6.如图，在△ABC中，DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线，分别交BC于E,G两点，连接AE, AG,若BC=8,则△AEG的周长为 类型4求面积（每题15分，共30分） (可选做)提示：直角三角形中，a,b为直角边长，c为斜边长，有a2+b2=c2. 7.如图，已知在△ABC中，AB=5,BC=11,且∠B=2LC.分别以A,C为圆心，大于AC的长为 半径，画弧相交于M,N,过M,N作直线交BC于点D,连接AD,则△ACD的面积为 M 7题图 8题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=2,AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D,连 接CE,则△BCE的面积为 22 数学·八年级·上册HK 突破点3等腰三角形的性质 （时间：30分钟满分120分) 类型1求角度（每题12分，共48分） 1.如图是学校屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知AB=AC,∠B=36°，则∠BAC的度数 是 36° B D C 1题图 4题图 5题图 2.若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多36°，则这个等腰三角形顶角的度数为 3.若等腰三角形的一个外角等于80°，则它的底角度数为 4.如图，已知在△ABC中，AB=AC,AD=DE,∠BAD=30°，∠EDC=15°，则∠DAE的度数是 度 类型2求边长（每题12分，共36分）】 5.如图，在△ABC中，∠A=∠BCA,D为AC的中点，连接BD,延长BC至点E,使CE=CD,连接 DE,∠E=20°，则∠BDE的大小为 6.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,DE是AB的垂直平分线，若△BCE的周长为30，BC=13,则 AB的长为 6题图 7题图 10题图 7.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E.已知△BCE的周长 为8，AC-BC=2,则AB的长是 类型3求周长（每题12分，共36分） 8.等腰三角形的一边长等于5，另一边长等于12，则它的周长是 9.已知a、b为等腰△ABC的边长，且满足Ia-51+(b-11)2=0,则△ABC的周长是 10.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AC上一点，且E点 在AD的垂直平分线上，连接DE,则△CDE的周长为」 23 数学·八年级·上册HK 突破点4等边三角形的性质 （时间：30分钟满分120分) 提示：直角三角形中，a,b为直角边，c为斜边，有a2+b2=c 类型1求角度（每题12分，共24分） 1.如图，在等边三角形ABC中，D为边BC的中点，以点A为圆心，AD为半径画弧，与AC边的交 点为E,则∠CDE的度数为 1题图 2题图 5题图 2.如图，等边三角形ABC中，BD是角平分线，点E在BC边的延长线上，且CD=CE,则∠BDE 的度数是 类型2求边长（每题12分，共48分） 3.在△ABC中，AB=AC=5cm,∠B=60°，则BC= 4.等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB=2,则BD= 5.如图，若点P在边长为2等边三角形ABC的边AC上移动，则BP的最小值是 6.如图，等边三角形ABC中，BC=6,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN经过点O,且与AB,AC 相交于点M,N,MN∥BC,则MN= D 6题图 8题图 10题图 类型3求周长（每题12分，共24分】 7.已知等边三角形的边长为2，则该等边三角形的周长为 8.如图所示，在等边△ABC中，AB=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点，过O作OE∥AB, OF∥AC,交BC于点E,F,则△OEF的周长为 类型4求面积（每题12分，共24分） 9.边长为2cm的等边三角形的面积为 cm2. 10.如图，在四边形ABCD中，BC=11,∠B+∠C=60°，E为BC上一点，且△AED为等边三角 形，若BE=4,则图中阴影部分面积之和为 24 数学·八年级·上册HK 突破点5含30°角的直角三角形 （时间：30分钟满分120分) 类型1求角度（每题12分，共12分） 1在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30,D是直线AB上的一点，且满足BD=2AB,则LCDB的 度数为 类型2求边长（每题12分，共60分） 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3,则AB的长为 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,垂足为E,DE=1, 则BC= 0460/ MN—B D 3题图 4题图 5题图 6题图 4.如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为点E,直线DE 与CA的延长线相交于点F.若BD=4cm,AF=3cm,则EC的长为 cm. 5.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在边OB上，PM=PN.若MN=2,则 OM的长是 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D,与AB交于点 E,连接BD.若AD=12,则BC的长为 类型3求周长（每题16分，共16分】 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作BC的垂直平分线EF交BC于点F,交AB于 点E,连接CE.若EF=1,则△ACE的周长为 E D D 7题图 8题图 9题图 类型4求面积（每题16分，共32分） 提示：直角三角形中，a,b为直角边，c为斜边，有a2+b2+c2 8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线分别交BC,AB于点D,F,AE⊥DF 交DF的延长线于点E,若DF=1,则四边形ACDE的面积是 9.如图，等腰△ABC中，AB=AC=3,∠BAC=120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A 的对应点A满足A'=了4D,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 25 数学·八年级·上册HK 突破点6角平分线 （时间：30分钟满分120分) 类型1求边长（每题15分，共60分） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC,CD=3,D到AB的距离是 D 1题图 2题图 3题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若AB=8,△ABD的面积是12，则CD的长 为 3.如图，B0平分∠ABC,OD⊥BC于点D,点E为射线BA上一动点，若OD=3,则OE的最小值 为 4.如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的平分线上的一点，PM⊥OB于点M,PN∥OB交OA于点N, 若PM=3.5,则PN的长为 M B D 4题图 5题图 6题图 类型2求面积（每题15分，共60分） 5.如图，已知△ABC的周长是21，B0,C0分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4, △ABC的面积是 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△An= 7.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形 ABCD的面积是 D B 7题图 8题图 8.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,AB=2,BC=4,△ABE的面积是3，则△ABC的面积 为 26