第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（运算抢分宝）-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（沪科版2024）

数学·八年级·上册HK 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 突破点1三角形三边关系 （时间：30分钟满分120分) 类型1求边长取值范围（每题8分，共24分） 1.若三角形的三边长分别为3,1+2m,8,则m的取值范围是 2.如果三角形两条边分别为3和5，则周长L的取值范围是 3.若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为2和5，则第三边的长可以为」 (写出 一个即可) 类型2求边长（每题8分，共24分） 4.已知三角形的三边长分别为2，x,3,且x为奇数，则x= 5.在△ABC中，a=2.5,b=1,c为偶数，则c= 6.如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小奇在池塘一侧选取 了一点P.分别测得PA=7m,PB=5m,若A、B间的距离长度为偶 数（单位：m),那么A、B间的最大距离是 m. 类型3求周长（每题8分，共32分】 7.若一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为奇数，则这个三 角形周长的最大值为 8.如果一个三角形的两边长分别是5和7，第三边长为偶数，则这个三角形周长的最大值 是 9.已知三角形的两边长分别是2cm和5cm,选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长 是 10.一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长是偶数，则这个三角形的周长是 类型4利用边长取值范围化简（每题8分，共16分） 11.已知△ABC的三边长分别为3、5、a,化简1a-91+Ia-21= 12.若a,b,c为三角形三边长，且a,b满足1a-3|+(b-2)2=0,则第三边长c可能 是 类型5利用三边关系化简（每题12分，共24分）】 13.a、b、c是△ABC三边长，化简：lc+b-al-Ib-c-al+|a+b+cl. 14.已知a,b,c是△ABC三边的长.化简Ia+b-cl+|a-b-cl+Ic-a-b1+Ib-a-cl. 13 数学·八年级·上册HK 突破点2三角形的中线 （时间：30分钟满分120分) 类型1求边长（每题24分，共48分）】 1.如图，在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60cm和 40cm两部分，求边AC和AB的长.（提示：设CD=xcm) 2.如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，若△ABC的周长是acm.求AE+CD+BF的值. D 类型2求周长（每题24分，共24分） 3.如图，在△ABC中，CD是中线，已知BC-AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的 周长 D B 类型3求面积（每题24分，共48分】 4.如图，在△ABC中，已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S AABC=4cm2,则阴影部分的 面积是多少？ 5.如图，点A、B、C分别是BD、CE、AF的中点，且SA4Bc=4,求图中阴影部分的面积. 14 数学·八年级·上册HK 突破点3 三角形的高、中线、角平分线 （时间：30分钟满分120分) 1.(30分)如图，在△ABC中，AF是中线，AD是角平分线，AE是高.请完成以下填空： (1)BF= .1 二21 1 (2)∠BAD= 2 (3)∠AEB= =90°； D (4)SAABC= 2.(40分)如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB=50°，∠BAD =65°. (1)求∠AEC的度数； (2)若△BCF与△BAF的周长差为3，AB=7,则BC= 3.(50分)如图，AD,AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线. (1)若∠BED=60°，∠BAD=40°，求∠BAF的度数 (2)若AB=8,AC=6,求中线AD长的取值范围.请完成下列 求解过程 解：如图，延长AD至K,使DK=AD.连接CK E AD是△ABC的中线， .'∠ADB=∠KDC,∴.△ADB≌△KDC(SAS) D F ∴.AB=CK=8 ,在△ACK中，CK-AC<AK<CK+AC,AC=6, w <AK< 15 数学·八年级·上册HK 突破点4三角形内角和定理 （时间：30分钟满分120分) 1.(24分)在△ABC中，∠B=∠A+20°，∠C=∠B+41°，求∠A的度数 2.(24分)在△ABC中，∠A-∠B=20°，∠C=2∠B,求∠A、∠B、∠C的度数 3.(24分)如图，在△ABC中，∠A=2∠B,∠C-∠B=80°，求∠A的度数. B 4.(24分)求出下列图形中的x值. 72 x△ 139 ，108☑ 图1 图2 图3 5.(24分)如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100°，求x的值. A 1009 xo 30 40 16 数学·八年级·上册HK 突破点5直角三角形锐角互余 (时间：30分钟满分120分) 一、选择题（每题10分，共80分） 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠B=65°，则∠A的度数是 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=10°，则∠A= 3.直角三角形的两个锐角的差为10°，则较小的锐角度数为 4.一个直角三角形的两个锐角的度数比为2：3，则这个直角三角形的最小锐角度数 是 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=3∠A,则∠A= 5题图 7题图 6.在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B,则∠B= 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,若∠ACD=26°，则∠B= 8.在Rt△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:m:4,则m的值是 二、解答题（每题20分，共40分） 9.如图，△ABC中，∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=152°，求∠EDF的度数 E D 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F.若 ∠CAD=36°，求∠AEF的度数. 17 数学·八年级·上册HK 突破点6三角形的外角 （时间：30分钟满分120分) 类型1三角形内角和定理推论3（每题24分，共96分）】 1.求出下列图形中x的值. 409 x° 670° x+10)° (x+70)° 2.在△ABC中，∠A=x,∠B=2x+18°，∠C的外角=x+72°，求△ABC的各内角度数 3.如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，∠BDC=80°， 求∠A的度数 4.一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B,∠D应分别是20°和30°，李师傅量得 ∠DCB=142°，就判断这个零件不合格，试用三角形的有关知识说明这种判断的理由. 类型2三角形内角和定理推论4（每题24，共24分） 5.如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D,连接PC (1)∠1、∠2、∠A的大小关系是： > > (2)若∠3=25°，∠A=67°，∠4=40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种 帮助嘉嘉完成求解. 思路 思路二 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度 先利用三角形外角求出∠2的度数.再利用三角形外角 数，再利用三角形内角和求出∠1的度数 求出∠1的度数， 18数学·八年级·上册HK 突破点6由面积求坐标 11. ∫x=1 12.(2,7) 1.解：存在点C,使三角形ABC的面积是6， [y=4 因为(a+4)2+1b-21=0,所以a+4=0,b-2=0, 突破点3一次函数与不等式 所以a=-4,b=2. 5.x<1 1.x<22.x≤-23.x>14.x>-2 所以A(-4,0),B(2,0),所以AB=6,设点C的坐标 为(0，c),因为点C在y轴上，三角形ABC的面积是 6-1≤k≤2且07.-1<x<-分 6,所以×cl=6,解得c=±2， 2 82 所以点C的坐标为(0,2)或(0，-2). 突破点4点的坐标与函数解析式 2.解：因为点B坐标为(0,6)，所以0B=6, 1.32.-23.14.95.-26.27.38.10 因为三角形0AB的面积为24，所以2×AB×0B= 9.510.(3,0) 1(-2,0）12.113.1 24,所以AB=8,所以点A(-8,6). 14.<15.> 3.解：因为1a+21+(b-4)2=0,所以a+2=0,b-4= 0,所以a=-2,b=4,所以点A(-2,0),点B(4,0), 突破点5待定系数法求函数解析式 1.解：设y与x之间的函数关系式为y=k(2x+1), 设点M的坐标为(x,0),则AM=|x-（-2)1=|x+ 把x=-2,y=6代入得k[2×(-2)+1]=6, 21,又因为S=am=分5c,所以3×A1,0C 解得k=-2,所以y=-2(2x+1),即y=-4x-2. =号×2×[4-(-2)1×3=3，所以1x+21×3= 2.解：由条件可知-k+4=2,所以k=2, 所以一次函数的解析式为y=2x+4. 6,所以1x+2|=2,即x+2=±2，解得x=0或x= 3.解：因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点 -4,所以点M的坐标为(0,0)或(-4,0). 4.解：如图，作DE⊥x轴于E,CF⊥x轴于F, （-1,0),(0,2),所以2所以/=2， lb=2. 1b=2. 所以该一次函数的表达式为y=2x+2. 4.解：依题意将A(3,2)与B(1,6)代入y=kx+b, 得3张+62解得=2， 1k+b=6, b=8, 所以一次函数的解析式为y=-2x+8. 5.解：因为一次函数y=kx+b,当x=1时，y=5; 因为A(-4,0),B(6,0),C(2,4),D(-3,2), 当x=-1时，y=1,所以 +65,解得=2， 所以AE=1,EF=5,BF=4,AB=10,DE=2,CF=4, -k+b=1, 1b=3, 所以S网边形ABcD=S三角形ADB+S四边形CDEr+S三角形BCF 所以一次函数的解析式为y=2x+3. =号×1x2+2×2+4)x5+分x4x4=24, 突破点6利用图象变换求函数解析式 1.y=2x-12.y=2x3.y=2x+44.y=2x+3 因为Sm=子×ABx0p=子×24，所以0P= 5y=-2x+76y=-3x-97y=-3+5 2.4,所以P点坐标为(0,2.4)或(0，-2.4) 第12章函数与一次函数 8-1951071.12.2 突破点1自变量x的取值范围与函数值 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 1.x≠22.x≥-73.x>-14.x≥-2且x≠1 突破点1三角形三边关系 5.x≥-16.-17.128.1589.210.4211.2 1.2<m<52.10<L<163.6(或4或5) 突破点2一次函数与一次方程 4.35.26.107.158.229.12cm 1.x=-22.x=03.20244.(2,0)5.(1,0) 10.9或11或1311.712.2(1<c<5范围内均可) 6.x=17.48.x=29.-110.x=2 13.解：a、b、c是△ABC三边长，.c+b>a,a+c>b, 28 一数学·八年级·上册HK a+b+c>0,∴.c+b-a>0,b-c-a<0, 突破点3三角形的高、中线、角平分线 .Ic+b-al-1b-c-al +la+b+cl 1.解：(1)CFBC =c+b-a-[-(b-c-a)]+(a+b+c) (2)∠CAD∠BAG =c+b-a+b-c-a+a+b+c (3)∠AEC =3b+c-a. 14.解：由三角形的三边关系可知：a+b>c,b+c>a,a (4)2BG.B +c>b,..a+b-c>0,a-b-c<0,c-a-b<0,b 2.解：(1)：AD是△ABC的高，∴.∠ADB=90°， -a-c<0, ∠BAD=65°，.∠ABD=90°-65°=25°， .la+b-cl +la-b-cl +lc-a-bl +lb-a-cl :CE是△ACB的角平分线，∠ACB=50°， =a+b-c-a+b+c-c+a+b-b+a+c ∠BCB=7LACB=-25, =2a+2b. ·.∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50. 突破点2三角形的中线 (2)10 1.解：AD是BC边上的中线，AC=2BC,BD=CD, 3.解：(1)∠BED=∠ABE+∠BAE,∠BED=60°， 设BD=CD=x,AB=y,则AC=4x,:AC>AB,.AC ∠BAD=40°，∴.∠ABE=60°-40°=20°， +CD=60,AB+BD=40,即4x+x=60,x+y=40,解 :BE平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABE=40°， 得x=12,y=28,即AC=4x=48cm,AB=28cm. 2.解：AD,BE,CF是△ABC的三条中线， :AF为高，.∠AFB=90°， .∠BAF=90°-∠ABF=90°-40°=50°. AE-2AC,CD-BG.BF-AB, (2)BD=CD2141<AD<7 AE+CD+BF=(AC+BC+AB),而△ABC的周 突破点4三角形内角和定理 1.解：∠B=∠A+20°，∠C=∠B+41°， 长是acm,AE+CD+BF=号m .∠C=∠A+20°+41°=∠A+61°， :∠A+∠B+∠C=180°， 3.解：CD是中线，∴AD=BD,.△DBC的周长- .∠A+∠A+20°+∠A+61°=180°，解得∠A △ADC的周长=(BC+BD+CD)-(AC+AD+CD) =33 =BC-AC,:BC-AC=5cm,△DBC的周长为 2.解：∠A-∠B=20°，∴.∠A=∠B+20°， 25cm,∴.25-△ADC的周长=5，∴.△ADC的周长= :∠A+∠B+∠C=180°，∠C=2∠B, 20 cm. .∠B+20°+∠B+2∠B=180°，∴.∠B=40°， 1 4.解：点D为BC的中点，S△Mm=Sac=2S△Ac .∠A=60°，∠C=80°. =2,点E为AD的中点，.S△EBD=SAEDC= 3.解：.∠C-∠B=80°，∠A=2∠B,.∠C=∠B+ 75aw=l15am=Sasm+Saac=2. 80°，∠A+∠B+∠C=180°，∴.2∠B+∠B+∠B+ 80°=180°，∴.∠B=25°，.∠A=50° “点F为BC的中点S%=宁5%am=1, 4.解：图1,2x+72=180,解得x=54: 图2，x+39+108=180,解得x=33; 即阴影部分的面积为1cm2. 图3，x+x+x=180,解得x=60. 5.解：如图，连接AE,BF,CD, 5.解：∠A=100°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 点A、B、C分别是BD、 80°，即∠1+∠2+∠3+∠4=80°， CE、AF的中点， ∠1=∠2，∠3=∠4，.2∠2+2∠4=80°， ∴.AD=AB,BC=BE,CA ∴.∠2+∠4=40°， =CF,.SAABC=S△ABE= B ∴.x°=180°-（∠2+∠4）=180°-40°=140° SAAED =4,.SABDE E≌ ..x=140. 2S△ABc=8,同理可得SADE=S△CEr=S△ADr=8, 突破点5直角三角形锐角互余 .阴影部分的面积为3×8=24. 1.25°2.50°3.40°4.36°5.22.5°6.45° 29 数学·八年级·上册HK 7.26°8.2或6 （思路二)，∠2是△ABD的外角， 9.解：：∠AFD=152°，∴.∠DFC=28°， .∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°， ∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB, :∠1是△CDP的外角， ∴.∠EDB=∠DFC=28°， ∴.∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°. .∠EDF=180°-∠FDC-∠EDB=180°-90°- 第14章全等三角形 28°=62° 突破点1全等三角形的性质(1) 10.解：AD⊥BC,∴.∠ABD+∠BAD=90°， 1.602.48°3.85°4.70°5.180°6.97.2 :∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAD=90°， 8.29.210.6 ∴.∠ABD=∠CAD=36°，BE平分∠ABC, 突破点2全等三角形的性质(2) ∴LABE=7∠ABc=189 1.182.133.124.245.186.127.6 8.解：(1)：△ABC≌△CDE,.AC=CE=13, 突破点6三角形的外角 ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=5+12+13=30, 1.解：(1)x=40+70=110. 即△ABC的周长为30. (2)x+70=x+(x+10),解得x=60. (2):△ABC≌△CDE,∴.AC=CE=13,∠ACB= 2.解：根据题意得∠C的外角=∠A+∠B, ∠CED,∠D=90°，∴.∠CED+∠DCE=90°， 即x+72°=x+2x+18°，解得x=27°， ∴.∠ACB+∠DCE=90°，.∠ACE=90°， .∠A=27°，∠B=2x+18°=2×27°+18°=72°， .∠C=180°-∠A-∠B=180°-27°-72°=81°. 之×1B×13:1,即△4CE的面积 3.解：BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线， :∠DBC=∠BC,∠BCD=7LBCR, 为 第15章轴对称图形与等腰三角形 :∠CBE+∠BCF=360°-(180°-∠A)=180°+ 突破点1轴对称 ∠A,∠DBC+∠BCD=90+3LA, 1.50°2.100° 3.34.2.85.156.77.3 .∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD)=180°- 8.8 (90+7LA）=90-7∠A,∠B0G=80 突破点2线段的垂直平分线 1.60243.74105196871083 .∠A=20°. 4.解：如图，延长BC与AD相D 突破点3等腰三角形的性质 交于点E, 1.108°2.108°3.40°4.605.110°6.177.5 ∠1是△ABE的外角， 8.299.2710.14 ∠A=90°，∠B=20°， 突破点4等边三角形的性质 ∴.∠1=∠B+∠A=20°+A 1.15°2.120°3.5cm4.15.56.47.6 90°=110°， 8.39.510.5 同理，∠BCD=∠1+∠D=110°+30°=140° 突破点5含30°角的直角三角形 :李师傅量得∠BCD=142°，不是140°， 1.30°或60°2.63.34.55.36.67.6 这个零件不合格。 8.259.5 5.解：(1)∠1∠2∠A (2)(思路一)在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+ 突破点6角平分线 ∠PCB+∠4=180°，.∠PBC+∠PCB=180°-∠A 1.32.33.34.75.426.17.308.12 -∠3-∠4=180°-67°-25°-40°=48°. 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB=180°， .∠1=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-48 =132°. 30