第15章 轴对称图形与等腰三角形-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（沪科版2024）

满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 第15章 轴对称图形与等腰三角形 核心知识训练1轴对称图形 一、知识梳理（每空8分，共24分） 1.如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ,那么这个图形叫作 ,这条直线叫作 二、知识巩固（第2-7题，每题10分；8题36分.共96分）】 2.下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是( A B D 3.由正方形和圆组成的轴对称图形如图所示，该图形的对称轴是() A.直线l B.直线l2 C.直线l3 D.直线4 @®回 4◇0◇ 0◇⊙ 3题图 5题图 6题图 4.【教材P121-1变式】以下图形中对称轴的数量小于3条的是() X B 5.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD, 则∠A'DB的度数为 6.如图，正方形ABCD的面积为4cm,则图中阴影部分的面积为 cm2. 7.已知△ABC是轴对称图形，∠A=70°，则∠B的度数为 8.在图1补充2个小方块，在图2、3、4中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形 图1 图2 图3 图4 8题图 71 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练2 轴对称 一、知识梳理（每空6分，共48分） 1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ,那么称这两个图形关 于这条直线 ,这条直线就是 ,折叠后重合的两点叫作 (也称对 称点) 2.经过线段的 并且 这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，又叫作线段 的中垂线。 3.图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连 线段的 ·成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴 二、知识巩固（第4-7题，每题8分；第8-9题，每题20分.共72分） 4.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面各种组合中的两个字母“E”不能关于某条 直线成轴对称的是( LL山LL E E3 B C 5.关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴， 其中，正确的说法有( A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 6.【教材PI23-思考变式】如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称， M P为MN上任意一点，下列说法不正确的是() A.AP=A'P B.MN垂直平分AA',CC' C.这两个三角形面积相等 D.直线AB、A'B'的交点不一定在MN上 7.已知△ABC和△DEF关于直线I对称，若△ABC的周长为40cm,则 △DEF的周长为 6题图 8.【教材P124-4变式】如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线：l、m、n、p为对 称轴的轴对称图形. 图1 图2 图3 图4 8题图 9.如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度 △ABC的三个顶点就是小正方形的格点.将△ABC沿直线L作轴 对称变换得到△A'B'C (1)请在方格纸中画出变换后的△A'B'C'; (2)求△ABC的面积. 9题图 72 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练3平面直角坐标系中的轴对称 一、知识梳理（每空3分，共6分）】 1.点P的坐标为P(x,y),则它关于x轴对称的点的坐标为P1 ;它关于y轴对称的点 的坐标为P2 二、知识巩固（第2-9题，每题3分；第10-15题，每空5分；第16-17题，每题15分；18题25 分.共114分】 2.点A(-3,2)关于x轴的对称点A'的坐标为( ) A.(-3,-2) B.（-3,2) C.(3,2) D.(3,-2) 3.已知点A(-2,4),则点A关于y轴对称的点的坐标为( A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4) 4.将△ABC的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘-1，则所得图形() A.与原图形关于x轴对称 B.与原图形关于y轴对称 C.与原图形关于原点对称 D.向y轴的负方向平移了一个单位 5.已知点P(1,a)与Q(b,2)关于x轴成轴对称，又有点Q(b,2)与点M(m,n)关于y轴成轴对 称，则m-n的值为() A.3 B.-3 C.1 D.-1 6.已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是( ) A.a<-1 B-1<a< c.是<a1 3 D.a>2 7.已知M(0,2)关于x轴对称的点为N,线段MN的中点坐标是( A.(0,-2) B.(0,0) C.(-2,0) D.(0,4) 8.若点P(a,b)关于y轴的对称点在第四象限，则点P到x轴的距离是() A.a B.b C.-a D.-6 9.若点P(a,b)在第二象限，则点Q(a-1,-b)关于y轴的对称点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.在平面直角坐标系中，如果点A沿x轴翻折后能够与点B(-1,2)重合，那么A、B两点之间 的距离等于 11.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，-3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A',再作点 A'关于y轴的对称点，得到点A”,则点A"的坐标是 12.若点P(-2,y)与Q(x,3)关于y轴对称，则x= 13.已知点P(x,x+y)与点Q(y+5,x-7)关于x轴对称，则点Q坐标为 14.若1a-41+(b-3)2=0,则A(a,b)关于y轴对称点的坐标为 15.已知点M(3a-b,5),N(9,2a+3b)关于x轴对称，则b= 73 16.【教材P128-6变式】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示 (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1; (2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标； (3)观察△AB,C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对 称轴. 本y B: C -3-2-01234:567 16题图 17.某兴趣小组在平面直角坐标系中探究点关于某条直线对称的点的坐标关系. (1)结合图表，写出B C2 已知点 A(2,-3) B(3,0) C(-2,2) 关于直线x=a(a=l)的对称点 A(0,-3) C1(4,2) 关于直线y=b(b=-2)的对称点 A2(2,-1) B2(3,-4) (2)结合上述探究规律填空： ①点P(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为 5 4 ②点P(x,y)关于直线y=b的对称点的坐标为 3 (3)若点M(2024,2025)与点N(-2023,2025)关于一条直线 -12 对称，直接写出M,N两点的对称轴所在直线。 543210i2345x 士a --4 17题图 18.【数材P131-探究变式】如图，在平面直角坐标系中，直线1是第一、三象限的角平分线. (1)由图观察易知A(0,2)关于直线1的对称点A'的坐标 Y -1--r-T-7- 为(2,0)，请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于 直线l的对称点B'、C的位置，并写出他们的坐标： B' 、C' A B (2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平 面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的 Oi A 对称点P'的坐标为（不必证明)； (3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-5),试在直线1上确定 一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小. D 18题图 74 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练4线段的垂直平分线 一、知识梳理（每空6分，共18分） 1.定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 2.定理到线段两个端点 的点在线段的 二、知识巩固（第3-11题，每题6分；12题20分，13题28分.共102分） 3.点P是△ABC的边AB的垂直平分线上的点，则一定有() A.PA=PC B.PA=PB C.PB=BC D.点P到∠ACB两边的距离相等 4.如图，AC=AD,BC=BD,则有() A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB B E 4题图 6题图 7题图 5.三角形中，到三个顶点距离相等的点是( A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 6.如图，△ABC中，BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,若∠A=60°， ∠ACF=48°，则∠ABC的度数为() A.48° B.36° C.30° D.24° 7.如图，△ABC中，AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是 () A.8 B.9 C.10 D.11 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB,且∠CAD:∠BAD=5:2,则 ∠BAC的度数是( A.60° B.70 C.80° D.90° D 8题图 9题图 10题图 9.如图，在△ABC中，ED垂直平分BC,CD=5,△BCE的周长为22，则BE= 10.如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB、AC和DB、DC,始终有AB=AC,DB= DC,请大家考虑一下伞杆AD所在的直线是B、C两点的连线BC的 线。 75 11.已知C、D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB=40°，∠ADB=68°，则∠CAD 12.【教材P135-例变式】如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线L1交BC于点D,AC边的垂直 平分线I2交BC于点E,L1与l2相交于点P,连接PB,PC (1)判断点P是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； (2)若∠BAC=100°，求∠DAE的度数. 12题图 13.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平 分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【自主研究】 (1)如图1，直线1是线段AB的垂直平分线，点P在直线I的左侧，经测量，PA<PB,请证明 这个结论； 【迁移研究】 (2)如图2，直线1是线段AB的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线1的同侧，点 D是直线I上的任意一点，连接AD,BC,CD,试判断BC和AD+CD之间的大小关系，并 说明理由， 图 图2 13题图 76 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练5垂直平分线、角的平分线、垂线的作法 一、知识梳理（每空5分，共40分】 1.用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线. 作法：如图，(1)分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，交于 点E,F (2)过点E,F作直线.直线EF是线段AB的垂直平分线： 2.已知∠AOB,求作∠AOB的平分线. 1题图 作法：如图，(1)以点0为圆心，任意长为半径作孤，分别交OA,OB于点M,N; 、MA (2)分别以点M,N为圆心，以大于 长为半径在角的 作孤，两弧交于点C; (3)作射线OC,则OC为所求作的∠AOB的平分线. IN B 3.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 2题图 如图，直线AB和AB上一点C.求作直线FC,使FC⊥AB. 作法：如图，（1)以 为圆心，任意长为半径作弧，交直线AB于点 头 D,E; E (2)分别以点D和点E为圆心，大于 长为半径作 弧，两弧交于点F; (3)作直线CF,直线CF就是所求作的垂线， 3题图 4.经过已知直线外一点作这条直线的垂线， C 如图，直线AB和AB外一点C.求作直线CF,使CF⊥AB. 作法：如图，(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁； (2)以 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D,E; E B (3)分别以点D和点E为圆心，大于 长为半径作弧， 两弧交于点F； 4题图 (4)作直线CF,直线CF就是所求作的垂线. 二、知识巩固（第5-7题，每题3分；第8-10题，每题9分；第11-14题，每题11分.共80分） 5.如图，用尺规作已知角的平分线的理论依据是() A A.SAS B.AAS C.SSS D.ASA M B 6.过直线1外一点P作直线1的垂线PQ.下列尺规作图错误的是() 5题图 I D 米Q A B 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是( A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B C.DE=DC D.AE=AC 7题图 77 8.如图，∠ABC=100°. (1)用尺规作出∠B的平分线BM和线段BC的垂直平分线GH(不写作法，保留作图痕迹)； (2)按下面要求画出图形：BM和GH交于点D,GH交BC于点E,连接CD并延长，交AB于 点F; (3)求证：FD=2DE.（提示：直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半) A 8题图 9.如图，直角△ACB中，∠ACB=90° (1)请在AC边上截取线段CD,使得CD=BC,过点D作直线AB的垂线，垂足为点E,交BC 的延长线于点F(要求：使用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若BC=2.5cm,AD=3cm,求BF的长. B C 9题图 10.尺规作图：如图，在Rt△ABC中，∠C=90° (1)作∠BAC的平分线AD,交BC于点P; (2)作点P到AB的垂线段PE.(保留作图痕迹，不写作法) a D 1 B 10题图 11题图 12题图 11.如图，已知∠1和线段a,使用直尺和圆规作直角三角形，使得∠1为其中的一个锐角，a为直 角三角形的斜边.（保留作图痕迹，不写作法) 12.如图，∠AOB=50°.点D在边OA上请在∠A0B的内部求作点C,使∠OCD=25°.（要求：保 留作图痕迹，不写作法，标明字母) 13.【教材P135-2变式】如图所示，A,B两村在公路1的两旁，现需在公路上修建一个汽车站， 使车站到两村的距离相等，你能在公路1上确定这个车站的位置吗？（尺规作图作出P点的 位置，不写作法，保留作图痕迹，写出结论) ,B村 A· 公路l A村~ B· 13题图 14题图 14.【教材P136-3变式】公路1同侧有A、B两村，镇政府要在公路边修建一个帮扶站C,使帮扶 站到A、B两村距离之和最短，请你确定帮扶站C的位置（不写作法，保留作图痕迹）. 78 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练6 角平分线的性质 一、知识梳理（每空6分，共30分） 1.定理：角平分线上的点到角两边的距离 2.证明：如图，OP平分∠AOB,∴ 点P在射线OP上，PC⊥OA于C,PD⊥OB于D, OP=OP,.'. 二、知识巩固（第3-11题，每题5分：第12-14题，每题25分.共90分） 2颗图 3.如图，∠1=∠2，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,下列结论错误的是() A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD D M 4 了2 D C N 3题图 4题图 5题图 6题图 7题图 4.如图，已知AP、CP分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD,PN⊥BE,垂足分 别为M、N,那么PM与PN的大小关系是() A.PM>PN B.PM=PN C.PM<PN D.无法确定 5.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为 50和39，则△EDF的面积为( A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 6.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB= 10cm,则△DEB的周长是 cm. 7.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=5cm,AC=3cm,则S△ABD:S△AcD= 8.如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点，若PA=3,则PQ的最小 值为 M A B P 8题图 9题图 10题图 11题图 9.如图，已知AB∥CD,O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC交AC于点E,且OE=2,则 两平行线AB、CD之间的距离是 10.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,SAABC=99cm2,AB=18cm,BC= 15cm,则DE的长是 11.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边 上一动点，则DP长的最小值为 79 12.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E,PF⊥ CD于F,求证：PE=PF. D 12题图 13.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证：BE=CF, B 13题图 14.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E,EF⊥AB于F,EG⊥ AC交AC的延长线于G.求证：BF=CG B-0 D C E 14题图 80△A0B≌△D0C,.D0=A0=3,C0=B0=4, 9.解：(1)如图，△A'B'C即为所求； D(0,3),C(4,0); (2)AB=CD,∠ABD=∠DCO, △ABD≌△DCP时，CP=BD=4-3=1, ∴.OP=C0-CP=4-1=3, .2t=3,t=2 3 (3):5ac=25m=2x号x(4-3)x3=3, B xP0PGx33PG-2 当P在0C上时，2t=0C-CP=4-2=2,解得t=1, 当P在0C延长线上时，2t=0C+CP=4+2=6,解 (2)5m=3x4-7×2x2-2×1x4- -×2× 2 得t=3, 3=12-2-2-3=5. 综上，t=1或t=3时，S6Ppc=2S△Dg: 核心知识训练3平面直角坐标系中的轴对称 第15章轴对称图形与等腰三角形 1.(x,-y）(-x,y) 核心知识训练1轴对称图形 2.A3.C4.A5.B6.B7.B8.D9.D 1.完全重合轴对称图形对称轴 10.411.（-2,3)12.23 2.C3.D4.D 13.(4,-3)14.(-4,3)15.9 5.10°6.27.70°或55°或40 16.解：(1)如图所示； 8.解：作轴对称图形如下（答案不唯一）： (2)如图所示，A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1); (3)△A,B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴 为图中直线1：x=3. ◆y 图1 图2 B C 32-01234567x 图3 图4 17.解：(1)(-1,0)(-2，-6) 核心知识训练2轴对称 (2)①(2a-x,y）②(x,2b-y) 1.重合（成轴）对称对称轴对应点 (3)点M(2024,2025)与点N(-2023,2025)关于 2.中点垂直于3.垂直平分线垂直平分 直线x=2024+(-2023)1 2 2 4.A5.B6.D 7.40cm ·M,N两点的对称轴所在直线为x=2 8.解： 18.解：(1)(3,5)(5，-2) m 图1 图2 图3 图4 118 (2)(b,a) .'.AD+CD≥BC. (3)如图，作点D关于直线1的对称点D',连接ED' 交直线1于点Q,连接QD,点Q即为所求. M 易得D(1,-3)关于直线1的对称点D'(-3,1), 设直线ED'的解析式为y=kc+b,则 -k+b=-5, -3k+b=1, 6 图1 图2 核心知识训练5垂直平分线、角的平分线、 .直线ED'的解析式为y=-3x-8, 垂线的作法 由三，。解得=-2， 1点A,点B 1y=-3x-8, ly=-2, .Q(-2,-2), 2(2)2MN内部 .满足条件的点Q的坐标为(-2，-2) 核心知识训练4线段的垂直平分线 3.(1)点C(2)2DE 1.相等2.距离相等垂直平分线上 3.B4.A5.D6.A7.C8.B 4(2)点C(3)2DE 9.610.垂直平分11.126°或14° 5.C6.C7.B 12.解：(1)点P在BC的垂直平分线上，理由如下： 8.解：(1)如图，射线BM,直线GH即为所求； 如图，连接AP, (2)如图，线段DF即为所求； B P M .L1是AB边的垂直平分线，∴.PA=PB, (3)证明：过点D作DT⊥AB于点T. 2是AC边的垂直平分线，∴PA=PC, :BM平分∠ABC, ∴.PB=PC, .∠ABM=∠CBM=50° .点P在BC的垂直平分线上； :DE垂直平分线段BC, (2)∠BAC=100°， ∴.DB=DC ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-100°=80°， .∠C=∠DBC=50°， :(是AB边的垂直平分线，2是AC边的垂直平分线， .∠BFC=180°-100°-50°=30°， .∴.DA=DB,EA=EC :∠DTF=90, ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB, .DF =2DT, ∴.∠BAD+∠EAC=80°， DT⊥BA,DE⊥BC,BM平分∠ABC, .∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°- 易证△BDT≌△BDE(AAS). 80°=20°， .DT=DE, ∴.∠DAE的度数为20 .DF =2DE. 13.(1)证明：如图1，连接PA,PB,PB交直线l于M,连 9.解：(1)点D,点E,点F即为所作； 接AM. ·:直线L是线段AB的垂直平分线，∴.AM=BM, .PB=PM+MB=PM+AM, .PM+AM>PA,∴.PA<PB; (2)解：AD+CD≥BC,理由如下： 如图2，当D不在线段BC上时，连接BD, 直线I是线段AB的垂直平分线，∴.AD=BD, (2)由题意知，∠CFD+∠CDF=90°=∠A+ .·BD+CD>BC,∴.AD+CD>BC, ∠ADE,.∠CFD=∠A, 当D在线段BC上时，AD+CD=BC, 又·∠FCD=90°=∠ACB,CD=BC, 119 ∴.△FCD≌△ACB(AAS), 2.∠P0C=∠POD∠OCP=∠ODP=90° .'CF=AC=CD+AD=5.5 cm, △OPC≌△OPD PC=PD ∴.BF=BC+CF=8cm, 3.D4.B5.B ,BF的长为8cm. 6.107.5:38.39.410.6cm11.3 10.解：(1)如图所示，角平分线AD和点P即为所求； AB=AD. 12.证明：在△ABC和△ADC中，CB=CD, LAC=AC, .△ABC≌△ADC(SSS), ∴.∠BCA=∠DCA,即CA为∠BCD的平分线， (2)如图所示，PE即为所求， :PE⊥BC,PF⊥CD,P为∠BCD的平分线上的一点， ∴.PE=PF 13.证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF,∠E=∠DFC=90°， BD=CD,∴.Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),.BE=CF. 14.证明：如图，连接BE,CE, ·D为BC中点，DE⊥BC, 11.解：如图，Rt△ABC即为所求. ∴.BE=CE, 又：AE平分∠BAG且EF⊥ AB,EG⊥AC, .EF=EG,∠EFB=∠G =90°， ∴.Rt△EFB≌Rt△EGC(HL), ∴.BF=CG 12.解：如图所示，点C即为所求 核心知识训练7角平分线的判定 4 1.相等 E 2.△OPC=△OPD(HL)OP平分∠AOB -F 3.相等 4.D5.D6.A7.C 13.解：如图所示，点P即为所求. 8.559.9010.2711.150°12.30°13.4 Ap 14.解：(1)AP是∠BAC的平分线.理由如下： 公路1 在△ADF和△AEF中，DF=EF,AF=AE, TAD=AE, B ∴.△ADF≌△AEF(SSS), 14.解：如图所示，点C为所求. .∠DAF=∠EMF, ,B村 ·.AP是∠BAC的平分线； (2)如图3，过P作PH⊥AC于H. A村 A米(O) D 图3 核心知识训练6角平分线的性质 PQ⊥AB于点Q,AP平分∠BAC, 1.相等 ∴.PH=PQ=6, 120 S△ABc=S△ABP+SAACP, A Sa既=2AB.PQ+2AC,P阴=7(AB+AC) ·PQ=号×(I0+8)x6=54. 15.解：(1)AM平分∠BAD.证明： 29 过点M作ME⊥AD,垂足为E,如图 所示. E M ∴.CD=ME,DE=DM+ME,∴.DE=AD+DC. .DM平分∠ADC,MC⊥CD,ME⊥AD 核心知识训练9等腰三角形的判定 .ME MC. 4 B 1.相等等角对等边 :M是BC的中点， 2.C3.C4.B5.A6.A7.D ∴.MC=MB,∴.ME=MB. 8.79.70°10.311.0.5cm2 又.·MB⊥AB,ME⊥AD 12.解：B0,C0分别是∠ABC,∠ACB的平分线， ∴.点M在∠BAD的平分线上，即AM平分∠BAD; ∴.∠OBA=∠OBD,∠OCA=∠OCE. (2)AM⊥DM.理由如下： ·OD∥AB,OE∥AC, :∠B=∠C=90°，.CD∥AB, ∴.∠BOD=∠OBA,∠COE=∠OCA, ∴.∠CDA+∠DAB=180°. .DO=DB,EO=EC. 又：L1=7LCA,∠3=7LDB, .△ODE的周长=DO+EO+DE=DB+EC+DE ∴.2∠1+2∠3=180°，∴.∠1+∠3=90°， BC=16 cm. 13.解：(1)：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, ∴.∠AMD=90°，即AM⊥DM. 核心知识训练8等腰三角形的性质定理1和定理2 :∠BDC是△ADC的一个外角， ∴.∠BDC=∠A+∠ACD, 1.相等顶角平分线底边上的中线底边上的高 ∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A, 三线合一 ∴.∠BDC=∠ACB,∴.∠ABC=∠BDC.∴.CD=CB; 2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.A (2)①.BE⊥AC,∴∠BEC=90°， 920°10.20°1.120或20012号<<51B.8 ∴.∠CBE+∠ACB=90°， 14.解：AE∥BD,∴.∠CBD=∠E=35 设∠CBE=a,则LACB=90°-a&, .BD平分∠ABC,∴.∠ABC=70°. .∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a, AB=AC,.∠C=∠ABC=70. .∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°- 在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠C=40°. a)-(90°-a)=2a, 15.(1)解：DB=DC,∠DCB=30°， ∴.∠BCD=2∠CBE; ∴.∠DBC=30°， ②：∠BFD是△CBF的一个外角， ∴.∠BFD=∠CBE+∠BCD=a+2a=3a, AB=AC,.∠ABC=∠ACB, 分三种情况： ∠BAC=30°，∴.∠ABC=75°，∴.∠ABD=45°， 当BD=BF时，∴∠BDC=∠BFD=3a, AB=AC,DB=DC,AD=AD, ∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-a, ∴.△ABD=△ACD. .90°-=3a,∴.=22.5°， ∴.∠BAD=∠CAD=15° .∠A=∠BCD=2a=45°； ∴.∠ADE=∠BAD+∠ABD=15°+45°=60°； 当DB=DF时，∴.∠DBE=∠BFD=3a, (2)证明：如图，在DE上截取DM=AD,连接AM. ∠ADE=60°，DM=AD,∴.△ADM是等边三角形， ∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-a-a=90°-2a, ∴.AD=AM,∠AMD=60. .90°-2a=3a,.=18° ∴.∠ADB=∠AME=120°，∴.∠ADC=120° ∴.∠A=∠BCD=2a=36°； :AB=AE,.∠ABE=∠E, 当FB=FD时，.∠DBE=∠BDF, .∠ACD=LE,∴.△ADC≌△AME(AAS), ,∠BDF=∠ABC>∠DBF,∴.不存在FB=FD. 121 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数 (2)如图，在FP上截取FG=FA,连接AG、BG.则 为45°或36°. △AFG为等边三角形. 核心知识训练10等边三角形的性质和判定 1.(1)轴3条(2)相等相等60° 2.（1)相等(2)等腰三角形(3)相等 G 3.C4.C5.D6.A7.C8.C 9.等边三角形10.211.6 12.证明：△ABC是等边三角形， ∴.AG=AF,∠GAF=∠BAC=60°， ∴.∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， .∠GAB=∠FAC,:AB=AC, ∠FGE=∠1+∠ABG,∠1=∠2， .△AGB≌△AFC, ∴.∠FGE=∠2+∠ABG=∠ABC=60°、 .∠AFC=∠AGB=120°，CF=BG, 同理可得∠GFE=∠BAC=60°，∠FEG=∠ACB ∠AGF=60°，.∠BGC=60°， =60°， ·∠BGC=∠P+∠GBP,∠P=30°， ∴.△FEG为等边三角形 ∴.∠GBP=∠P=30°，∴.BG=PG, 13.(1)证明：如图1，在AC上截取CM=CD,连接DM. :△ABC是等边三角形， =号m, ∴.∠ACB=60°，∴.△CDM是等边三角形， PG=CF=2k,..CP=9k,..PF=7k, ∴.MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°， .PG+GF=PF,..GF=AF=5k, .∠AMD=120°， ∠ADE=60°，∴.∠ADE=∠MDC, 器好 C ∴.∠ADM=∠EDC, 14.解：(1)∠PAB=15°，∠PBC=30°， ∴.∠PAB=∠APB, DE与∠ACB的外角平分线交于点E, ∴.PB=AB=15×3=45(海里). .∠ACE=60°，∴.∠DCE=120°=∠AMD 答：此时轮船距小岛45海里； ∴.△ADM≌△EDC(ASA),∴.AM=EC, (2)如图所示，过P点作PD⊥BC于D, ∴.CA=CM+AM=CD+CE; 在Rt△PBD中， (2)CA=CE CD. ∠PBD=30°，PB=45海里， 提示：如图2，在AC的延长线上截取CM=CD,连接DM. E PD=之PB=25海里 22.5>20 ∴轮船继续向前航行，不会有触礁危险。 考点小专题1平面直角坐标系中点的对称 1.D2.B3.(-2,-3)4.（-3,2) 5.B6.B7.(-1,-2)8.(-2,3) 图1 图2 9.B10.-611.012.-113.-514.25 核心知识训练11含30°角的直角三角形 考点小专题2等腰三角形的分类讨论 1.一半 1.100°或40°2.50°或65°3.36°或90 2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.C9.D 4.44°或80°或140°5.11或136.30°或150° 10.311.512.15°或45°或75° 7.9或218.30°或150°9.30°或150° 13.解：(1)：△ABC是等边三角形， 10.40°或140°11.75°或120°或90°12.108°或72° ∴.AC=BC,∠B=∠ACB=60°， 13.4 BE=CD,∴.△BCE≌△CAD, 考点小专题3最短路径问题 .∴.∠BCE=∠CAD, 1.240 2.30°3.64.9.65.86.80 ∴.∠AFE=∠FCA+∠CAD=∠FCA+∠BCE=6O°， 13 .∠AFC=120°； 7.100°8.3 122 考点小专题4正方形网格作图 (2)如图所示，点P即为所求作； 1.解：(1) VA (3)如图所示，点Q即为所求作 2.解：如图所示，分别以直线OX、OY为对称轴，作点P 的对应点P1与P2,连接P1P2交OX于M,交OY于 N,则PM+MN+NP最短. E 42 M -Y N P 3.解：作A关于直线L的对称点A',连接A'B交直线l (2)(1,0) 于P,连接AP.PA+PB=PA'+PB='B最短. 2.解：(1)A1(1,3)B1(-2,-4)C,(6,1) (2) E 4.解：如图所示. B 3.解：答案不唯一如图所示，△ABC1、△DEF、△ABC、 5.解：作点A关于直线l的对称点A',连接A'B并延长 △MBN即为所求作 交直线I于P.IPA-PB|=IPA'-PBI=A'B. D B 考点小专题62倍角问题 1.(1)证明：AB=AD,∴.∠B=∠ADB, :∠ADB=∠DAC+∠C,∠B=2∠C, ∠DAC=∠C,∴，AD=DC,∴.AB=DC; (2)证明：如图2，在DC上截取DE=DB,连接AE B :AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADE=90°， :AD=AD,∴.△ABD≌△AED .AB=AE,∠ABE=∠AEB, M '.∠AEB=∠EAC+∠C,∠ABE=2∠C, 考点小专题5最值作图 ∠EAC=∠C,∴.EA=EC,.AB=EC, 1.解：(1)如图所示，△ABC,即为所求作； DC=DE +EC,..DC=AB BD; D C A B D E D 图2 图3 (3)解：AC=AB+BD.证明如下： 如图3，在AC上截取AE=AB,连接DE. :AD平分∠BAC,∴.LBAD=∠EAD, 123 又：AD=AD,AE=AB,.△ABD≌△AED(SAS), ∴.BD=DE,∠B=∠AED, ∠BDE=∠BED=7(180-∠B)=65, :∠B=2∠C,∠AED=∠EDC+∠C, 点D是BC的中点，ADLBC,.∠ADB=90°， ∴.∠EDC=∠C,∴.ED=EC, .∠ADE=∠ADB-∠BDE=25°. .AC=AE +EC,..AC=AB+BD. 4.(1)证明：∠ACB=90°，∠B=30°， 2.（1)证明：：BD平分∠ABC, 4C=24B,LA=60, LABD=∠CBD=文∠ABC, :∠ACB=90,D是AB的中点AD=7AB, :∠C=2∠DBC,∴.∠ABC=∠ACB,∴.AB=AC, AC=AD,.△ACD是等边三角形，∴.AC=CD, :∠A=60°，∴.△ABC为等边三角形； (2)解：如图2，在BC上截BE=BA,连接DE. CE⊥AB于点E,∴AE=ED; 易证△ABD≌△EBD,∴.AD=DE,∠A=∠DEB, (2)解：DE=AB=4G=1 ∠DEB=∠EDC+∠C,∠A=2∠C, 考点小专题8用方程思想求角度 ∴.∠EDC=∠C,∴.DE=EC=AD, 1.解：设∠A=x.AD=BD,∠ABD=∠A=x, BC=BE CE,..BC =AB +AD, :BD=BC,∴.∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x, .AD=BC-AB=8-4.8=3.2; :AB=AC,∴.∠ABC=∠BCD=2x, (3)解；如图3，作∠DBC的平分线交OC于点F,交 x+2x+2x=180°，x=36°， DC于点E, .∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72° BD平分∠ABC,.∠ABC=2∠ABD=2∠DBC, 2.解：AB=AC,.设∠B=∠C=x :∠ABC=2∠ACB,∴，∠ABD=∠DBC=∠BCD, BD=AD,∴∠BAD=∠B=x, CO平分∠BCD,BE平分∠DBC, .DC=AC,∴.∠CAD=∠CDA=2x. .∠1=∠2，.△OBC≌△ECB(ASA), .x+x+2x+x=180°，解得x=36° ∴.BE=OC=BA, .∠B=36. :∠ABE=3∠1，∠AEB=∠1+∠DCB=3∠1， 3.解：BE=DE,.设∠EBD=∠EDB=x ∴.∠ABE=∠AEB, DA=DE,∴.∠A=∠DEA=2x. ∴.AB=AE=BE,∴.∠A=60° BD=BC,.∠C=∠BDC=3x. 'AB=AC,∴.∠ABC=∠C=3x. D ∴.2x+3x+3x=180°，解得x=22.5° .∠C=3x=67.5° 4.解：(1)AB的垂直平分线交AC于D, ∴.DA=DB,∴.∠DAB=∠DBA, E 图1 图2 AD=BC,∴.BC=DB, 考点小专题7巧用“三线合一”解题 ∴.∠BDC=∠BCD, 1.证明：作CH⊥AB于H. AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, CA=CB,CH⊥AB,.AH=HB, 设∠BAC=x,则∠ABC=∠ACB=2x,则x+2x+2x CD=CE,CH⊥AB,∴.DH=HE,.AD=EB. =180°，解得x=36°，即∠BAC为36°； (2)连接DE,CE=CD, 2.证明：连接CD,∴.Rt△ECD≌Rt△FCD, .∠CDF=∠CDE,CA=CB,D是AB的中点， ∠CDE=LCBD=3∠ACB=36,DB=DE, ∴.CD⊥AB,∴.∠CDA=∠CDB=90°， ∴.∠ADF=∠BDE. 又：DA=DB,DA=DE,LCME=7∠CDE=I8C 3.解：AB=AC,∠BAC=80°， 考点小专题9构造等边三角形技巧 ∠B=LC=2(180°-∠BMC)=50, 1.证明：：△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴.∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°（等腰三角形 BD BE, 三线合一) 124 CE=CD,∴.∠CDE=∠CED. ∠ACE=60°， 又.·∠BCD=∠CDE+∠CED, ∴.LDAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC, ∠c0E=∠cED=分LBCD=30 即∠DAC=∠BAE, .△DAC≌△BAE(SAS),∴.DC=BE; ∴，∠DBC=∠DEC.∴.DB=DE(等角对等边). (2)解：△DAC≌△BAE,.∠ADF=∠ABF, 2.证明：在CE上截取CF=CD,连接DF :△ABC是等边三角形， :∠AGD=∠FGB,∴.∠BFG=∠DAG=60°， .AC=BC,∠ACB=60°，∴.∠DCF=∠ACB=60°， .∠DFE=120°； :,△CDF是等边三角形， (3)证明：如图，过点A作AP⊥DC于P,AQ⊥BE于Q .CD=DF,∠DCF=∠DFC=60°， .·△DAC≌△BAE, ∴.∠BCD=∠EFD, CE =AD,CD=CF,..CE-CF AD-CD, .DGAPAQ, 即EF=AC,∴.EF=BC, DC=BE,∴.AP=AQ, ∴.△BCD≌△EFD(SAS),∴.DB=DE. AP⊥DC,AQ⊥BE,∴.FA平分∠DFE; 3.证明：延长DC到F,使CF=BD,连接AF. D AB=AC,.∠ABC=∠ACB,∴.∠ABD=∠ACF, △ABD≌△ACF(SAS),.AD=AF, 又：∠ADB=60°，∴.△ADF是等边三角形， .AD =DF, 又：DE=DB,且∠ADB=60°， .△DEB是等边三角形. (4)证明：如图，在DF上截取DM=BF,连接AM. ∴.DE=BE=DB=CF, .△ADM≌△ABF(SAS), AD=AE DE,DF DB+BC+CF, ∴.AE=FB=CF+BC, .AM=AF,∠DAM=∠BAF, ∴.AE=BE+BC ∠DAB=60°，∴.∠DAM+∠MAG=60°， 4.(1)证明：过点D作DG∥BC交AC于点G. ∴.∠BAF+∠MAG=60°，即∠MAF=60°， .∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∠FDG=∠E, .△AMF是等边三角形，∴.MF=AF, :△ABC是等边三角形， .'DF MF DM =AF BF. .AB=AC,∠B=∠ACB=∠A=60°， 2.(1)证明：：∠ACB=∠DCE=a,∴.∠ACD=∠BCE, .∠A=∠ADG=∠AGD=60°， 又，'CA=CB,CD=CE,∴，△ACD≌△BCE(SAS); △ADG是等边三角形，∴.DG=AD, (2)证明：过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N, .AD=CE,.∴.DG=CE, B 又.'∠DFG=∠EFC,∴.△DFG≌△EFC(AAS), ∴.DF=EF; (2)解：△ADG是等边三角形，AD=DG,DH⊥AC, .AH -HG-AC, 又：△DPG≌△BFC,G=PC=CC, :△ACD≌△BCE,∴.∠CAM=∠CBN, .MF-MG+GF-AG+CC-AC .△ACM≌△BCN(AAS),∴.CM=CN, 阳分 .HC平分∠AHE; (3)解：·△ACD≌△BCE,·.∠CAD=∠CBE, 考点小专题10共顶点的等腰三角形 .∠AHB=∠ACB=a,.∠AHE=180°-a, 1.(1)证明：△ABD和△ACE是等边三角形， ∴.AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=∠AEC= Lc=7∠AE=0-20 125