第13章 三角形中的边角关系、命题与证明-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（沪科版2024）

满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名：」 得分： 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 核心知识训练1三角形中边的关系 一、知识梳理（每空2分，共38分） 1.由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的封闭图形叫作三角形.“三角形”用 符号“ ”表示，把顶点为A,B,C的三角形记作“ ”,读作“ 2.三角形中，三条边 的三角形叫作不等边三角形，有两条边 的三角形叫作等 腰三角形，三条边 的三角形叫作等边三角形，又叫作正三角形 3.在等腰三角形中，相等的两边叫作 ,剩余的一边叫作 两腰的夹角叫作 ,腰与底边的夹角叫作 4.等边三角形是特殊的等腰三角形，即 和 相等的等腰三角形， 5.三角形按边分类：三角形 6.三角形中任意 大于第三边，任意 小于第三边： 二、知识巩固（第7-10题，每题2分；第11-12题，每空2分；第13-14题，每题15分；15题 30分.共82分) 7.下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是( 8.【教材66-2变式】下列长度的三条线段能组成三角形的是() A.1,2,3 B.2,2,4 C.3,4,5 D.3,4,8 9.已知一个三角形的两边长分别是2cm和9cm,且第三边长为奇数，则第三边长为( A.5 cm B.8 cm C.9 cm D.11 cm 10.等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为( A.25 B.25或32 C.32 D.19 11.【教村P66-1变式】图中有 个三角形，用符号表示这些三角形，分别是 ;AB是△ABC中∠ 的对边，又是△ABE中∠ 的 对边；以AD为边的三角形有 ;以E为顶点的三角形有 11题图 39 12.两根木棒的长分别是8cm,10cm,要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的 长x的取值范围是 13.已知a、b、c是△ABC的三边长，化简Ia-b-cl+Ib-c-al+Ic-a-b1. 14.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足1c-61+(b-8)2+√a2-64=0. 求△ABC的周长，试判断△ABC的形状， 15.如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP,并延长交AC于点D. (1)试探究AB+BC+CA与2BD的大小关系； (2)试探究AB+AC与PB+PC的大小关系； (3)如图2，点D、E是△ABC内部两点，试探究AB+AC与BD+DE+CE的大小关系. B B 图1 图2 15题图 40 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练2三角形中角的关系 一、知识梳理（每空2分，共18分） 1.三角形的内角和等于 2.三角形中，三个角都是 的三角形叫作锐角三角形，有一个角是 的三角形叫 作直角三角形，有一个角是 的三角形叫作钝角三角形 3.直角三角形可以用符号 表示，直角三角形ABC可以记作“ ” 三角形 4.三角形按角的大小分类： 三角形 三角形 二、知识巩固（第5-11题，每题5分；第12-13题，每空5分；14题7分：第15-17题，每题 10分.共102分) 5.一个三角形的两个内角分别是50°和70°，则第三个内角的度数是( ） A.40° B.50° C.60° D.70° 6.【教材P68-1(2)变式】在△ABC中，∠A=75°，∠B-∠C=15°，则∠C的度数为( A.30° B.45° C.50 D.10° 7.已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( A.40° B.60° C.80° D.90° 8.在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 9.【教村71-2变式】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A=LB=24C C.∠A=90°-∠B D.∠A-∠B=90° 10.下列说法错误的是() A.一个三角形中至少有一个角不大于60°B.锐角三角形中任意两个角的和小于直角 C.一个三角形中至多有一个角是钝角 D.一个三角形中至多有一个角是直角 11.如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC,∠B=60°，∠AED=40°， 则∠A的度数为( A.100° B.90° C.80° 11题图 D.70° 12.三角形的三个内角中，最多有 个锐角，最少有」 个锐角.锐角三角形中，最大 角α的取值范围是 13.【教材P68-1(1）变式】在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=一，∠B= ,∠C= 41 14.【教村P68-3变式】如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD⊥AC于D,求∠DBC的 度数 14题图 15.【教村P68-2变式】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，写出图中的直角三 角形，并指出图中所有相等的锐角. 15题图 16.在△ABC中，∠A:∠B=1:2,设∠A的度数为x,∠C的度数为y. (1)求y与x的函数表达式； (2)若△ABC是锐角三角形，请确定x的取值范围. 17.当三角形中的一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“二倍角三角形”，其 中α称为“二倍角”，如果一个“二倍角三角形”的一个内角为40°，求此三角形的二倍角的度 数是多少度. 42 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练3三角形中几条重要的线段 一、知识梳理（每空2分，共16分） 1.从三角形的一个顶点到它对边所在直线的 叫作三角形的高线.锐角三角形的三条高 交于三角形 。 直角三角形的三条高相交于三角形 钝角三角形的三条高所 在直线相交于三角形 2.三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交， 与 之间的线段叫作三角形 的角平分线， 3.三角形中，连接一个顶点与它 的线段叫作三角形的中线.三角形三条中线交于一点， 这个交点叫作三角形的 二、知识巩固（第4-6题，每题6分；第7-10题，每空2分；第11-12题，每题10分；13题30 分.共104分) 4.【教材P70-2变式】分别作出下列三角形三边上的高. 5.【教材70-3变式】分别作出下列三角形的角平分线。 B 6.【教材70-4变式】分别作出下列三角形三边上的中线. B B 7.如图所示，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H, (1)△ABH的三条高是 ,这三条高所在直线相交于点 (2)点A到点B的距离是 的长度，点A到BH的距离是 的 长度； D (3)S△Bc=2BC· ·BF= 7题图 43 8.如图所示，在△ABC中，已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，且SAARG=4cm2,则S△BBr D D 8题图 9题图 10题图 9.如图所示，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，若AF=a,则AB= 一；若BC=b,则BD= ;若△ABC的周长为C,则AE+CD+BF= 10.如图所示，AD、AE、AF分别是△ABC的高、中线、角平分线，则 =90°， ,BE= 1 21 11.【教村P72-4变式】在△ABC中，AB=AC,AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和 30cm的两个部分，求三角形的三边长， 12.如图所示，是一块三角形菜地. (1)把这块菜地分成面积相等的四块，应怎样分？ (2)现要求将这块菜地分成面积比为2：3：4的三块，且图中的A处是这三块菜地的公共水 源，应怎样分？ C B 12题图 13.在△ABC中，AD是角平分线，∠B<∠C, (1)如图1，AE是高，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数； (2)如图2，点E在AD上，EF⊥BC于F,试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的 结论； (3)如图3，点E在AD的延长线上.EF⊥BC于F,试探究∠DEF与∠B、∠C的关系是 (直接写出结论，不需证明) DE C D 图1 图2 图3 13题图 44 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练4命题 定理 演绎推理 一、知识梳理（每空3分，共51分） 1.能明确界定某个对象含义的语句叫作 2.可以判断 或 的陈述句叫作命题 3.经判断是 的命题叫作真命题，经判断是 的命题叫作假命题 4.“如果p,那么q”或“若p,则q”的命题，p是这个命题的 ,9是这个命题的 5.将命题“如果p,那么g”中的条件与结论互换，得到一个新命题“如果q,那么p”,这两个命题 称为 其中一个叫作 ,另一个叫作原命题的 6.符合 ,但不满足 的例子，称为反例： 7.从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这 样的真命题叫作 8.从 出发，依据 ,并按照逻辑规则，推导出结论，这一方 法称为演绎推理， 二、知识巩固（第9-11题，每题3分；第12-14题，每空3分；第15-17题，每题16分.共69分） 9.下列命题是假命题的是() A.如果a>b,b>c,那么a>c B.负数没有平方根 C.相等的角是对顶角 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10.下列叙述错误的是( ) A.所有的命题都有条件和结论 B.所有的命题都是定理 C.所有的定理都是命题 D.所有的基本事实都是真命题 11.要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是( A.1+3=4 B.-1+3=2 C.0+3=3 D.-1+(-3)=-4 12.【教材P75-2变式】把“等角的余角相等”写成“如果…那么…”的形式是 13.【教材76-4变式】“正方形的四个角都是直角”的逆命题可以写成 该逆命题是命题（选填“真”或“假”）. 14.用一组a,b的值说明命题“若1al>Ib1,则a>b”是假命题.若a取值为-2，则b可以取值 为 15.【教材P75-3变式】给出命题p:“如果两个角是同位角，那么这两个角相等.” (1)写出命题p的题设和结论； (2)直接判断命题p是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例.（只举例，不必详 细说明理由) 45 16.图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比 (1)如图1，EF∥CD,数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关 于角的条件，使得∠BEF=∠CDG,并给出证明过程. 小丽添加的条件：∠B+∠BDG=180°. 请你帮小丽将下面的证明过程补充完整. E 证明：，EF∥CD(已知)， 16题图1 ∴.∠BEF= ·∠B+∠BDG=180°（已知）， .BC∥ ∴.∠CDG= ∴.∠BEF=∠CDG(等量代换) (2)拓展：如图2，请你从三个选项①DG∥BC,②DG平分∠ADC,③∠B=∠BCD中任选出两 个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明. 条件： ,结论： (填序号) 证明： G 16题图2 17.已知a与b互为相反数，m,n互为倒数，lcl=2,求3a+3b+m”的值： 解：a与b互为相反数， .a+b= m,n互为倒数， .'.mn= Icl =2, .C= ..3a+36+mn=3(a+b)+mn= c (1)数学离不开推理，请把上面推理的空白部分补充完整； (2)请用推理的方式解决下面的问题：已知x,y,z是三个有理数，若x<y,x+y=0,且xyz> 0,试判断x+z的符号并且说明理由. 46 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册HK班级： 姓名： 得分： 核心知识训练5三角形内角和定理推论1和推论2 一、知识梳理（每空5分，共10分） 1.推论1：直角三角形的两锐角 2.推论2：有两个角 的三角形是直角三角形 二、知识巩固（第3-9题，每题5分；10题30分；11题45分.共110分） 3.在一个直角三角形中，若一个锐角是50°，则另一个锐角是( A.50° B.40° C.30 D.20° 4.直角三角形的一个锐角是另一个内角的4倍，则这个锐角的度数为() A.72° B.22.5° C.90% D.18 5.将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是() A.60° B.50° C.40° D.30° B C D 5题图 6题图 9题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.下列结论中，不一定成立的是() A.∠A与∠1互余 B.∠B与∠2互余 C.∠A=∠2 D.∠1=∠2 7.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=3:7:4;③∠A=90°-∠B;④∠A=∠B =分∠C中，能疏定△ABC是直角三角形的条件有( A.①③ B.①④ C.①②③ D.①②③④ 8.在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是 (选填“直角三角形”“钝角三角 形”或“锐角三角形”). 9.如图，直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C=90°，若∠1=20°，∠2=70°，则∠B= 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在AC,AB上 (1)如图1，∠ADE=∠B,证明：△ADE是直角三角形； (2)如图2，连接BD,BD平分∠ABC,∠A=40°，求∠ADB的度数 0 图1 图2 10题图 47 11.【教材P80-1,2变式】问题解决 问题 三角形内角和为什么等于180° 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想；然而实验会存在误 差，不符合数学的严谨性.是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于180呢？ 问题提出 1 图1 思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？ 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于180°， 要求如下： 1.用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线； 2.用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述. 思考尝试 图2 图3 逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由. 小华同学通过思考，发现在△ABC边AB上任意取一点P(不与点A重合)，如图4，添加合适 的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”， 触类旁通 B 图4 (1)完成“思考尝试”中的操作与描述； (2)写出“逻辑说理”中的说理过程； (3)写出“触类旁通”中的说理过程. 48件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是 BC+CD>BD.两式相加可以得到AB+AD+CD+ 1800元 BC>2BD,AB+BC+CA>2BD; 考点小专题4一次函数的应用—分段 (2)在△ABD中，AB+AD>BP+PD.在△PDC中， 解：(1)534 PD+CD>PC,两式相加得到AB+AD+PD+CD> (2)根据题意得y=400×2.67+(1200-400)×3.15 PB+PD PC,AB+AC PB PC; +3.63(x-1200)=3.63x-768. (3)如图，延长BD,交CE的延长 所以y与x的函数表达式为y=3.63x-768(x>1200); 线于G,交AC于F,在△ABF中， (3)因为400×2.67+(1200-400)×3.15=3588< AB+AF>BD+DG+GF①.在 3855, △GFC中，GF+AC-AF>GE+ 所以甲户该年的用气量达到了第三阶梯， CE②.在△DGE中，DG+GE>DE 由(2)知，当y=3855时，3.63x-768=3855, ③.①+②+③，可得AB+AC>BD+DE+CE. 解得x≈1273.6， 核心知识训练2三角形中角的关系 因为2.67×(100+400)+3.15×(1200+200-500) 1.180°2.锐角直角钝角3.Rt△ Rt△ABC =4170>3855,且2.67×(100+400)=1335<3855， 4.锐角直角钝角 所以乙户该年的用气量达到第二阶梯，但未达到第三 5.C6.B7.A8.D9.D10.B11.C 阶梯， 12.3260°≤a<90° 13.40°60°809 设乙户年用气量为am3,则有2.67×500+3.15(a- 14.解：因为∠C=∠ABC=2∠A, 500)=3855,解得a=1300, 1300-1273.6=26.4≈26m3, 所以∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， 所以∠A=36°. 答：该年乙户比甲户多用约26m3的燃气. 所以∠C=∠ABC=2∠A=72°. 第13章三角形中的边角关系、 因为BD⊥AC,所以∠BDC=90°， 命题与证明 所以∠DBC=180°-∠BDC-∠C=18° 15.解：因为∠ACB=90°， 核心知识训练1三角形中边的关系 所以△ABC为直角三角形， 1.首尾顺次△△ABC三角形ABC 因为CD⊥AB, 2.互不相等相等都相等 所以△ADC、△BDC为直角三角形， 3.腰底边顶角底角 所以图中直角三角形有△ABC、△ADC、△BDC, 4.底边腰 因为∠ACB=90°， ,不等边三角形 所以∠A+∠B=90°， 5. 底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 因为∠CDB=∠ADC=90°， 1等边三角形 所以∠BCD+∠B=90°，∠ACD+∠A=90°， 6.两边的和两边的差 所以∠BCD=∠A,∠B=LACD, 7.C8.c9.C10.C 16.解：(1)因为在△ABC中，∠A:∠B=1:2,∠A的度 11.6△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AECC 数为x,LC的度数为y, AEB△ABD,△ADE,△ADC△ACE,△ABE,△ADE 所以∠B的度数为2x,所以x+2x+y=180°， 12.2cm<x<18cm 所以y=180°-x-2x=180°-3x: 13.解：因为a、b、c是△ABC的三边长，所以b+c>a,a (2)因为△ABC是锐角三角形， +c>b,a+b>c,所以la-b-cl+Ib-c-al+1c r2x<90°， -a-bl=-a+b+c-b+c+a-c+a+b=a+b 所以 180°-3x<90 。解得30°<x<45°， +c. 所以x的取值范围为30°<x<45°. 14.解：易得a=8,b=8,c=6,所以周长为8+8+6= 17.解：由题知， 22,是等腰三角形. 因为2×20°=40°，且20°+40°+120°=180°， 15.解：(1)在△ABD中，AB+AD>BD.在△BCD中， 所以三角形的二倍角可以是40°. 109 因为40°×2=80°，且40°+80°+60°=180°， 所以∠DAE=∠CAD-∠CAE 所以三角形的二倍角可以是80° 因为180-40°=140，且140°×号=(29 =74B4c-(0-40 =2(180-∠B-40)-(90°-∠c) 所以三角形的二倍角可以是( =34c-B 综上所述，三角形的二倍角是40°或80°或 核心知识训练3三角形中几条重要的线段 =2(LC-∠B, 1.垂线段内部直角顶点外部 因为∠B=30°，∠C=60°， 2.顶点交点3.对边中点重心 所以∠DA5=7×(60°-30)=15： 4.作图略5.作图略6.作图略 7.(1)HF,AE,BDC(2)线段AB线段AE (2)结论：LDEF=(LC-∠B). (3)HD CH BH CE 理由：如图，过A作AG⊥BC于G, 8.1cm2 92a号 2 1O.∠ADB∠ADC∠CAF∠BAC CE BC B DFG C 11.解：设AB=AC=acm,当AB+AD=24cm,即a+2 因为EF⊥BC,所以AG∥EF, 所以∠DAG=∠DEF, =24时，a=16,30-分4=2所以△48C的三边长 由(1)可得，∠DAG=之(LC-∠B), 分别为16cm,16cm,22cm;当AB+AD=30cm,即 a+号=30时，a=20,24-7a=14,所以△48C的 所以∠DEF=(∠C-∠B); 三边长分别为20cm,20cm,14cm. (3)LDEF=(LC-∠B) 12.解：(1)有多种分法，以下几种供参考： 核心知识训练4命题定理演绎推理 ①如图1所示，作△ABC的BC边上的中线AD,再 1.定义2.正确不正确3.正确错误 分别取AB、AC的中点E、F,连接DE、DF,则SAED 4.条件结论5.互逆命题原命题逆命题 =S△ABD=S△DFc=S△AFD; 6.命题条件命题结论7.定理 8.已知条件定义基本事实定理 9.C10.B11.D F D 12.如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等 图1 图2 图3 13.四个角都是直角的四边形是正方形假 ②如图2所示，取△ABC的BC边的四等分点E、D、F, 14.-1(-2<b<2) 连接AE、ADAF,则S△ABE=S△ABD=S△ADF=S△AFC; 15.解：(1)题设为：两个角是同位角，结论为：这两个 (2)如图3所示，量出BC的长度，将BC九等分，然 角相等； 后在BC上依次截取BD、DE、EC,使得BD:DE:EC =2:3:4.由于△ABD、△ADE、△AEC共高，故S△ABD (2)命题p是假命题，举反例说明如下： 如图所示，∠1与∠2是同位角，但是∠1>∠2. :S△ADE:S△ABc=2:3:4. 13.解：(1)因为AD平分∠BAC, 所以∠CMD=2LBAC, 因为AE⊥BC,所以∠CAE=90°-∠C, 110 16.解：(1)∠BCD两直线平行，同位角相等DG AQ∥BC, 同旁内角互补，两直线平行∠BCD两直线平 .∠PAQ=∠B,∠QAC=∠C, 行，内错角相等 ∠PAQ+∠BAC+∠QAC=180°， (2)①③② .∠B+∠BAC+∠C=180°. 证明：DG∥BC, (3)如图4，过点P作PD∥BC,PE∥AC,交AC,BC ∴.∠ADG=∠B,∠CDG=∠BCD, 于点D,E. ∠B=∠BCD, PD∥BC ∴.∠ADG=∠CDG,即DG平分∠ADC. ∴.∠APD=∠B,∠DPE=∠PEB, 1n.解：1)01±2±分 PE∥AC, .∠PEB=∠C,∠BPE=∠A, (2)x+z的符号为负，理由如下： ∠BPE+∠APD+∠DPE=180°， x+y=0, .∠A+∠B+∠C=180. x与y互为相反数，x<y, x为负数，y为正数，∴.xy<0, 又xyz>0,.z<0, x+z的符号为负 核心知识训练5三角形内角和定理 推论1和推论2 图4E 1.互余2.互余 核心知识训练6三角形内角和定理 3.B4.A5.C6.D7.D8.直角三角形9.40° 推论3和推论4 10.(1)证明：∠C=90°， 1.外角2.等于大于3.360 ∴.∠A+∠B=90°， 4.D5.C6.B7.A8.C ∠ADE=∠B, 9.360°10.180°11.25° ∴.∠A+∠ADE=90°， 12.解：∠C=90°， ∴.△ADE是直角三角形； .∠ABC+∠BAC=90°， (2)解：：∠C=90°，∠A=40°， ∴2(LBAC+∠ABC)=45 .∠ABC=∠C-∠A=90°-40°=50°， ·BD平分∠ABC,AP平分LBAC, :BD是∠ABC的平分线， LABD=2∠ABC=25, LBAP+∠ABP=分∠BMC+分LABC= ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-40°-25° (BC+AC)=45" =115°. ∴.∠APD=∠BAP+∠ABP=45. 11.解：(1)第一种方法：如图2，过点A作直线MN13.解：∠DAC=∠B+∠ACB,∠ACF=∠B+∠BAC, ∥BC, ∴.LDAC+∠ACF=2∠B+∠ACB+∠BAC=∠B 第二种方法：如图3，延长BA到P,过点A作AQ +180°，：AE平分∠DAC,CE平分∠ACF,.∠EAC ∥BC; =7∠DAC,∠ACE=∠AC,LEAC+LACE M------ =分∠DAC+3LACF=2∠B+0∠E 180°-∠BAC-LACE=180-(3∠B+90）= 图2 图3 90°-7∠B=90°-7×47°=6,50 (2)若选第一种方法： 14.解：(1)BA1平分∠ABC,CA1平分LACD, .·MN∥BC, ∴.∠MAB=∠B,∠NAC=∠C, ∠ABC=∠ABC,LAcD=7LACD, .∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°， :∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A,BC+∠A1, ∴.∠B+∠BAC+∠C=180°. 若选第二种方法： ∠ABC+∠A=(∠A+∠ABC)=7∠A+ 111 2LABC=号+LA,BC∠A=号： :CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线， .CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， (2)(（1)可知，∠A=72A=号， ·.∠ACF=2∠ECF, :BE平分∠ABC, 同理：∠儿=方A=分×号克·0， ∴.∠ABC=2∠EBC, :∠ECF=∠EBC+∠E, 4=分=分×空0=宁0… ∴.2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+ 4=分24=克0 2∠E, 又，：∠ACF=∠ABC+∠A, 考点小专题1双角平分线 .∠A=2∠E. 1解：（∠D=90°+分∠4，证明如下： LEBQ-LEC+LCBQ=LABC*LMBC- 由题意可得LCBD=子LABC,∠BCD= 2∠ACB, 之(LABc+∠MaG)=90 ∴.∠D=180°-（∠CBD+∠BCD) 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的 =180-(3ABc+2∠Ac8) 4倍，那么分四种情况： ①∠EBQ=4∠E=90°，则∠E=22.5°，∴.∠A=2∠E =180-之（∠ABC+∠ACB) =45°； ②∠EBQ=4∠Q=90°，则LQ=22.5°，∠E=67.5°， =180°-2(180-L0 ∴.∠A=2∠E=135°； ③∠Q=4∠E,则5∠E=90°，.∠E=18°， =90+7L4 .∠A=2∠E=36°； (2)∠D=90-7∠A ④∠E=4∠Q,则∠E=72°，∴.∠A=2∠E=144°. 综上所述，∠A的度数是45°或135°或36°或144°. (3)∠D=7∠A 2.解：(1)70 (2)在△ABC中，根据三角形内角和定理，得 (4)LP=(LA+∠D) ∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°， :BP是∠ABC的邻AB三分线，CP是∠ACB的邻 2.獬：∠3+∠4=∠A+∠1+∠2，∠1=∠2，∠3=∠4， AC三分线， ∠A=0,24=2(90+2z2)=450+∠2 a∠PBC=号∠AC,∠PGB-号LACB, ∠4=∠D+∠2，.45°+∠2=∠D+∠2， .∠D=45°. ∠PBC+LPCB=号(LABC+LACB)=号× 3.解：∠B=90°，∠1=∠2，∠3=∠4， 135°=90°， ∠2=之(LB+∠ACB),L3=之(LB+∠BMC, ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-90°=90°； (3)·∠ACD是△ABC的外角， ∠2+∠3=7(LB+LACB+LB+∠BAC)= .∠ACD=∠A+∠ABC=m°+n°， 由于CP是∠ACD的邻CD三分线， 2(180+90)=1350,在△4CD中，∠D=180 LPCDLACD -(∠2+∠3)=180°-135°=45. 3 考点小专题2特殊的双角平分线 BP是∠ABC的三分线，有两种情况： 1.如图，延长BC至F, 情况一：当BP是邻BC三分线时， ∠PBC=号LABc=S 根据三角形外角性质，得∠P=∠PCD-∠PBC= m”胥罗 3 情况二：当BP是邻AB三分线时， 112 LPBC=子LABC=29 4.证明：如图，延长BD交AC于点E, 3) :∠BDC是△CDE的外角， 根据三角形外角性质，得 ∴∠BDC=∠CED+∠2， ∠P=∠PCD-∠PBC=m°+n_2n°=m°-n 3 3 3, :∠CED是△ABE的外角， .∠CED=∠1+∠A, 综上，∠P的度数为写或”g ∴.∠BDC=∠1+∠A+∠2. 考点小专题3三角形边角关系 1.证明：如图，延长CD交AB于点E, A D 、D 考点小专题4特殊的内角、外角和 1.解：(1)如图1，∠AMN是△CEM的外角， B C ∴.∠C+∠E=∠AMN 在△ACE中，DC+DE<AC+AE①， :∠ANM是△BDN的外角， 在△BDE中，DB<BE+DE②， ∴.∠B+∠D=∠ANM. ①+②得DC+DE+DB<AC+AE+BE+DE, :∠A+∠AMW+∠ANM=180°， 即DC+DB<AB+AC, ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°； 即AB+AC>DB+DC. 2.证明：如图，延长AP交BC于D, 图1 图2 图3 D (2)如图2，.∠AMB是△BDM的外角， 由三角形三边关系定理得到PA+PD<AC+CD,PB .'.∠DBM+∠D=∠AMB. <PD+BD. ∠ABM是△BCE的外角， .'PA PD+PB<AC+CD PD+BD, ·∠C+∠E=∠ABM. ∴.PA+PB<AC+BC, 同理PB+PC<AB+AC,PC+PA<AB+BC, :∠A+∠ABM+∠AMB=180°， ..2 (PA+PB+PC)<2(AB+BC+AC), ,∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°； .PA+PB+PC<AB+BC+AC, (3)如图3，延长EB交AC于点N, 由三角形三边关系定理得到PA+PB>AB,PB+PC :∠AMN是△BDM的外角， BC,PA+PC>AC. .∠DBE+∠D=∠AMN. ..2(PA +PB+PC)>AB+BC+AC, .∠ANWM是△CNE的外角， PA+PB+PC>(AB+BG+AC). .∠C+∠E=∠ANM, :∠A+∠ANM+∠AMN=180°， (BGAC)AGBG .∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180. 2.解：(1)如图1，连接BC,则∠FBC+∠ECB=∠E+∠F, +AC. 3.证明：如图，延长CD交AB于E. ∴.∠A+∠ABF+∠ECD+∠D+∠E+∠F=∠A+ :∠BDC是△DEB的一个外角， ∠D+∠ABF+∠FBC+∠ECB+∠ECD=∠A+∠D ∴.∠BDC>∠ABD. +∠ABC+∠DCB=360°； (2)360 (3)540° (4)720°解：如图4，连接BH、DE, D :由对顶角三角形可知∠EBH+∠BHD=∠HDE +∠BED ∴.∠A+∠ABE+∠C+∠CDH+LBEF+∠F+∠G 113 +∠AHD=五边形CDEFG的内角和+△ABH的内 ∠A0B=∠C0D=90°， 角和=540°+180°=720°. ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, (5)1080°解：如图5，连接ND、NE,GH. 即∠AOC=∠BOD :'由对顶角三角形可知∠1+∠2=∠NGH+∠EHG, OA=OB ∴.∠A+∠B+∠C+LADE+∠DEH+∠F+∠FGN 在△AOC和△BOD中，{∠AOC=∠BOD, +∠EHM+∠M+∠ANG=六边形BCFGHM的内角 LOC=OD 和+△AND的内角和+△NDE的内角和=(6-2) ∴.△AOC≌△B0OD(SAS),∴.AC=BD. ×180°+180°+180°=1080°. 核心知识训练3判定两个三角形全等一ASA 1.夹边2.∠DDF∠FASA 3.B4.B5.C 6.(1)BC=EF(或BE=CF)(2)∠A=∠D 7.ASA8.139.35°120°10.16m E 11.证明：AD⊥BC,CE⊥AB,∴.∠AEH=∠BEC= 图1 图4 图5 90°，∠AEH=∠CDH=90°， 第14章全等三角形 又.∠AHE=∠CHD,∴.∠EAH=∠ECB, 核心知识训练1全等三角形及其性质 在△AEH和△CEB中， 1.完全重合2.完全重合 LAEH=∠BEC, 3.对应顶点对应边对应角 AE=CE, 4.△ABC≌△DEF D E F DE EF DF ∠D L∠EAH=∠ECB, ∠E∠F .△AEH≌△CEB(ASA). 5.相等相等相等相等 AC=EC, 6.D7.A8.D9.B 12.(1)证明：在△ACB和△ECD中， ∠ACB=∠ECD, 10.平行11.6812.(-2,0) BC=DC, 13.AB=ADBC=DE∠C=∠E∠BAC=∠DAE ∴，△ACB≌△ECD(SAS),∴.∠A=∠E, 14.解：(1)：△AEC≌△ADB, ∴.AB∥DE; ∴.LAEC=∠ADB,LACE=∠ABD,∠A=∠A,AE (2)解：点P从点A出发，在线段AB上沿A→B→A =AD,EC=DB,AC=AB; 以3cm/s的速度运动，点P的运动时间为ts, (2):△BEC≌△CDB, 当点P先从点A到点B运动时，AP=3tcm0≤t≤ ∴.∠BEC=∠BDC=89°，∠ECB=∠DBC, ·∠EBD=39°， ): ÷∠ECB= 2(180°-LBEC-∠EBD)=26°. 当点P再从点B到点A运动时，AP=(10-3)cm 15.证明：△PAB≌△AQC,.∠P=∠QAC, (停<9)： BE是△ABC的高，.∠P+∠EAP=90°， (3)解：如图， .∠QAC+∠EAP=90°， P 即∠QAP=90°，.AP⊥AQ. 核心知识训练2判定两个三角形全等—SAS 1.夹角2.DE∠D DF SAS 3.D4.C5.A 0 6.90°7.1SAS8.60°9.①②③④ 由(1)得∠A=∠E, 10.7511.(2,0)或(2,4) r∠A=∠E, 12.证明：AC∥BD,.∠ACB=∠DBC, 在△ACP和△ECQ中，{AC=EC, AC=BE. ∠ACP=∠ECQ, 在△ABC和△EDB中，{∠ACB=∠DBC, .△ACP≌△ECQ(ASA),∴.AP=EQ, BC BD, .∴.△ABC≌△EDB(SAS),∴.AB=DE 当0≤≤号时，AP=3em,B0=DB-0=(5- 13.解：AC=BD.证明过程如下： t)cm, 114