第一章 勾股定理（运算抢分宝）-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（北师大版2024）

数学·八年级·上册BS 参考答案 第一章勾股定理 x4x3+7×12x5=36(m2). 突破点1勾股数 所以需费用36×150=5400（元）. 1.B2.C3.C4.D5.D6.C7.D 答：这块空地全部绿化需要购买5400元的这种花草。 8.1709.510.2511.1712.2013.40 3.解：这辆小汽车没有超速，理由如下： 14.(11,60,61)15.17 在Rt△ABC中，AC=30m,AB=50m,根据勾股定理可得 突破点2利用勾股定理求方程 BC2=AB2-AC2=1600,.BC=40m,.小汽车的速度为 1.解：设其中一条直角边长为x,则斜边长为x+4, 2=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h). 40 根据勾股定理得，x2+82=(x+4)2, 解得x=6,.x+4=10, 72km/h<75km/h,∴这辆小汽车没有超速。 答：斜边的长为10. 4.解：在Rt△ABC中，AC=3m,BC=1.5m,∠C=90°，由勾股 2.解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D,设BD=x,则CD 定理得AB2=AC2+BC2=22+1.52=2.52,AB=2.5m, =14-x. .S长方形=AB·AD=2.5×10=25m2. 在Rt△ABD中，AD2=AB2- 答：覆盖在顶上的长方形塑料薄膜ABED的面积为25m2. BD2=152-x2,在Rt△ACD 中，AD2=AC2-CD2=132- 突破点4：判定直角三角形 (14-x)2,152-x2=132- 1.证明：由条件可知∠B=∠E=90°，AC2=BC2+AB2=92+ (14-x)2,解得x=9,此时AD2 122=225=152,4D2=AE2+ED2=152+82=289,AC2+ =152-92=122,故AD=12, CD2=152+82=289,AD2=289, B ·AC2+CD2=AD2,△ACD是直角三角形 5△ABC的面积为之BC·AD 2.解：根据题意得∠A0D=40°，0A=16×1.5=24(海里)，0B =分x14x12=84 =12×1.5=18(海里)， :它们离港口1.5h后相距30海里（即AB=30海里）， 3.解：设竹竿长x尺，由题意知，竹竿BD=x尺，门高AB=(x 0A2+0B2=242+182=302-AB2, -2)尺，门宽AD=6尺，：在Rt△ADB中，∠DAB=90°， △A0B为直角三角形，∠A0B=90°， .AD2+AB2=BD2,.62+(x-2)2=x2,解得x=10. .∠B0D=90°-40°=50°， 答：竹竿长10尺. 答：另一艘轮船航行的方向是北偏西50° 4.解：如图.设折断处离地面的高度为A 3.解：CH是从村庄C到河边最近的路；理由如下： 龙尺，则AB=(10-x)尺，BC=6尺 在△CHB中，CB=13km,CH=12km,HB=5km, 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ∴C+B=BC2,.△CHB为直角三角形， 即x2+62=(10-x)2,解得x= ∠CHB=90°，.CHLAB, 3.2, B “,CH是从村庄C到河边最近的路. 答：折断处离地面的高度为3.2尺. 4.解：∠ABD=90°，AB=CD=60cm,AD=90cm, 突破点3勾股定理应用 BD2=AD2-AB2=902-602=4500, 1.解：由题意可知，∠A=90°， 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500, AB2=BC2-AC2=172-82=225. BC2+CD2=BD2,△BCD是直角三角形， .AB=15m. ·∠BCD=90°，BC⊥CD,该车符合安全标准 答：A,B两点间的距离是15m 2.解：如图，连接AC,在Rt△ABC 第二章实数 中，AC2=AB2+BC2=32+42= 突破点1算术平方根的双重非负性 52,在△CAD中，AD2=132,DC 1.解：√a-5+(b+2)2=0,√a-5≥0，(b+2)2≥0， =122,而122+52=132，即AC2A a-5=0,b+2=0,∴.a=5,b=-2, +CD2=AD2,÷.∠DCA=90°， ·a-2b=5-（-4)=9,∴a-2b的平方根为±3. ·S四边形4BCD=S△aMC+S△D4C=B白 2.獬：√a-2+√b+3=0,a-2≥0，√b+3≥0， ∴.a-2=0,b+3=0,解得a=2,b=-3, .(a+b)2025+1=(2-3)2025+1=-1+1=0. 33数学·八年级·上册BS 第一章 勾股定理 突破点1勾股数 （时间：30分钟满分120分) 类型1判断勾股数（每题8分，共56分）】 1.下列各组数，属于勾股数的是( A.1,N3,2 B.6,8,10 C.0.3,0.4,0.5 D.2,3,4 2.下列各组数中，是勾股数的是( A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.5,11,13 3.下列各组数中，是勾股数的是( ) A.0.3,0.4,0.5 B.1,2,3 C.8,15,17 D.5,10,13 4.下列是勾股数的是() A.5,6,7 B.6,10,7 C.7,8,9 D.15,9,12 5.下列各组数中，是勾股数的是( A.1,2,3 B.1,1,2 C.1,2,3 D.5,12,13 6.下列各组数中是勾股数的是( A.3,3,5 B.4,6,8 C.7,24,25 D.6,12,13 7.下列各组数中是勾股数的是( A.2,3,4 B.0.3,0.4,0.5 C.8,11,12 D.16,30,34 类型2求勾股数（每题8分，共64分】 8.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数： 3,4,5;5,12,13;7,24,25;…,这类勾股数的特点为勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾 为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17…若此类勾股数的勾为2m(m≥3， m为正整数)时，它的股、经分别为m2-1和m2+1.若一组勾股数的勾为26，则经 为 9.若a,3,4是一组勾股数，则a的值为 10.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 11.若8,15，x是一组勾股数，则x的值为 12.若99，a,101是一组勾股数，则a= 13.若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 14.探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3,4,5)，(5,12,13)，（7,24,25)，(9,40,41)…请写出 下一数组： 15.若两组勾股数从小到大依次是3,4，a和5，b,13,则a+b的值是 1 数学·八年级·上册BS 突破点2利用勾股定理求方程 (时间：30分钟满分120分) 1.(30分)已知直角三角形的斜边比其中一条直角边长4，另一条直角边的长为8，求斜边的长 2.(30分)如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积. 3.(30分)如图所示，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门ABCD,如果把竹竿竖 放就比门AB高出2尺，沿着门的对角线斜放就恰好等于门的对角线(BD),已知门宽AD为6 尺，求竹竿长 4.(30分)中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.问 折者高几何.意思是：一根竹子，原高1丈(1丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵 地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 2 数学·八年级·上册BS 突破点3勾股定理应用 （时间：30分钟满分120分) 1.(30分)如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得AC=8m, BC=17m.求A,B两点间的距离. 2.(30分)为将我们的城市装扮的更美丽，园林绿化工人要将公园一角的一块四边形的空地 ABCD种植上花草.经测量，∠B=90°，AB=3m,BC=4m,CD=12m,DA=13m.若每平方米 空地需要购买150元的花草.将这块空地全部绿化需要购买多少元的这种花草？ D 3.(30分)某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过75k/h,如图，一辆 小汽车在该笔直路段1上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30m 的点C处（∠ACB=90°），2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的 距离为50m.这辆小汽车超速了吗？并说明理由.(1m/s=3.6km/h) 、14 车速检测仪 4.(30分)如图，孙大伯要修一个育苗棚，棚的横截面是直角三角形（即AC⊥BC),棚宽AC= 2m,高BC=1.5m,长AD=10m,求覆盖在顶上的长方形塑料薄膜ABED的面积. 3 数学·八年级·上册BS 突破点4判定直角三角形 （时间：30分钟满分120分) 1.（30分)如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC,AE⊥ED,连接AC,AD.已知BC=9,AB=12,AE= 15,ED=CD=8.求证：△ACD是直角三角形 E 2.(30分)如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口点0，向北偏东40°方向航行，另一艘轮 船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口1.5h后相距30海里 (即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？ 北 →东 3.(30分)如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,由于某 种原因，由村庄C到取水点A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一 个取水点H(点A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路CH,测得CB=13km,CH=12km, HB=5km.CH是不是从村庄C到河边最近的路？（即CH与AB是否垂直？）请通过计算加以 说明。 北 H B 河 4.(30分)图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB=CD=60cm,BC= 30cm,AD=90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90°），根据 安全标准需满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准 图2 4