第七章 证明-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（北师大版2024）

分或89分以上，在两个10次成绩中，甲有4次超过 证明如下2-22反-2n元. 89分，乙只有1次超过89分，所以甲获奖的概率更 √元√n·√n 高，所以选甲更合适； 8.解：(1)∠ABC+∠DEF=180°∠ABC=∠DEF (3)选甲更合适，理由如下： 理由：①如题图1，BC∥EF,∴.∠DPB=∠DEF, 因为在两个10次成绩中，甲有4次达到90分或90 :AB∥DE,.∠ABC=∠DPC 以上，乙只有1次达到90分或90以上，所以选甲更 ·∠DPB+∠DPC=180°，∴.∠ABC+∠DEF=180°. 合适.（合理即可) ②如题图2，：BC∥EF,∴.∠DPC=∠DEF 4.解：(1)8.58< AB∥DE,.∠ABC=∠DPC,.∠ABC=∠DEF. (2)①② (2)如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相 (3)应选择A种方案（答案不唯一 等或互补 理由：A,B两种方案的得分均去掉一个最低分和一 (3)设两个角分别为x和2x-30° 个最高分后，x=8.125,x月=8.25，平均数差别不 由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 大，且A种方案得分数据的波动程度小于B种方 解得x=30°或x=70°， 案，故A种方案的数据较稳定，应选择A种方案. .2x-30°=30°，2x-30°=110° 考点小专题1数据分析 ∴.这两个角的度数为30°，30°或70和110°. 1.122.93.>4.715.896.乙7.①② 核心知识训练2认识证明 8.89.7.310.411.7212.C 1.句子条件结论如果…那么… 考点小专题2用样本估计总体 2.正确不正确条件结论 1.解：(1)a=12,b=20,c=82,d=83; 3.公理证明真命题 4.C5.B6.B (2)800x12+16=560(人). 40 7.两个角是对顶角这两个角相等真 答：估计成绩在75≤x≤100的学生大约有560人 8.12-2(答案不唯一）9.真命题 2.解：(1)未使用节水龙头20天的日平均用水量为 10.解：(1) 20×(0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0,.35+10 ×0.45)=0.35(m3), 使用了节水龙头20天的日平均用水量为 B DCB D' 20×(2x0.05+6x015+8×0.25+4×0.35)= (2)△ABC≌△A'B'CAD=A'D (3)证明：：△ABC≌△A'B'C', 0.22(m3). ∴AB=A'B',BC=B'C,∠B=∠B (2)365×(0.35-0.22)=47.45(m3). AD,A'D'分别是边BC,B'C上的中线， 答：一年能节省47.45m3水. 第七章 证明 D-CD-c. 核心知识训练1为什么要证明 ∴.BD=B'D', 1.证明2.C3.B4.B 在△ABD和△A'B'D'中， 5.负6.乙 AB=A'B', 7.解：1)2=2,8=82 ∠B=∠B', 1 22·2 =42,18=185 55·5 (BD=B'D', 65,50=505=105 ∴.△ABD≌△A'B'D'(SAS), 55·5 ·.AD=A'D (2)由(1)中各式化简情况可得” 核心知识训练3平行线的判定 =2n√n. 1.相等相等互补 124 2.D3.B4.C5.C 12.(1)解：过点E向左作EF∥AB.∴.∠A=∠AEF, 6.∠D=∠COE(答案不唯一) AB∥CD,.EF∥CD,.∠FEC=∠C, 7.内错角相等，两直线平行 '∠AEC=∠AEF+∠FEC,∴.∠AEC=LA+∠C; 8.30609.①④⑤ (2)∠1+∠2-∠E=180°. 10.解：：∠1+∠2+∠3=42°+53°+85°=180°， 证明：延长BA交CE于F, ∠4+∠5+∠3=180°，∠2=∠5， :AB∥CD,.∠2=∠AFC, ∴.∠1=∠4，∴直线l1与l2平行 :∠1+∠EAF=180°，∠2+∠EFA=180°， .1+∠2=360°-∠EAF-∠EFA=360°- (180°-∠E)=180°+∠E, ,∠1+∠2-∠E=180°. 13.解：(1)GD∥CA,理由如下： EF∥CD, ∴.∠1+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）， .解：AD平分LEAC,L1=∠EAC .∠1+∠2=180°，.∠2=∠ACD, ∠EAC=∠B+∠C,∠B=∠C, .GD∥AC(内错角相等，两直线平行)； (2)由(1)可知∠2=∠ACD,GD∥AC, ∠C=7∠EMC, .∠A=∠BDG, .∴.∠C=∠1，..AD∥BC ∠ACD=40°，∴.∠2=40°， 12.(1)65 :DG平分∠CDB, (2)证明：：OM⊥ON, ∴.∠BDG=∠2=40°， .∠C0B=90°，.∠2+∠3=90°， .∴.∠A=∠BDG=40°. .∠1=∠2，∠3=∠4， 考点小专题1平行线的性质 .∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.D8.D ∴.∠DCB+∠ABC=360°-180°=180°， 考点小专题2平行线的判定与性质 ∴.AB∥CD; 1.(1)证明：∠D=∠A,∴.ED∥AB, (3)解：在△OBC中， ∠B=∠FCB,∴.AB∥CF,∴.ED∥CF; ∠MON=a, (2)解：CF是∠DCB的平分线，理由如下： ∴.∠2+∠3=180°-a, ·∠B=∠FCB,AB∥CF, .∠1=∠2，∠3=∠4， .∠DCF=∠A, .∠BCD=180°-2∠3，∠ABC=180°-2∠2， 又.∠A=∠B, ∴.∠BEC=180°-∠ABC-∠BCD .∠DCF=∠FCB, =180°-(180°-2∠2)-(180°-2∠3) ∴CF是∠DCB的平分线。 =2(∠2+∠3)-180° 2.(1)证明：AB∥DF,∠AED=∠D, =2(180°-a)-1809 .·∠AED=∠BCF, =180°-2a. ∴.∠BCF=∠D,∴.DE∥BC; 核心知识训练4平行线的性质 (2)解：AB∥DF,∠B=∠BCF, 1.相等相等互补同一条直线 :∠B+∠CGF=130°，∴.∠BCF+∠CGF=130°， .∠F=180°-（∠BCF+∠CGF)=50°. 2.D3.C4.C5.D6.C 7.25°8.∠1+∠2=90 9.50°10.36°11.60° 125满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 第七章 证明 核心知识训练1为什么要证明 一、知识梳理（每空10分，共10分） 1.要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据 的 二、知识巩固（第2-6题每题10分：第7-8题每题30分.共110分）】 2.通过观察，你能肯定的是( A.图形中线段是否相等 B.图形中线段是否平行 C.图形中线段是否相交 D.图形中线段是否垂直 3.如果x2=2,有x=±2；当x3=3时，有3，想一想，从下列各式中，能得出x=±2的是( A.x2=±20 B.x20=2 C.x±20=20 D.x3=±20 4.有A、B、C、D、E共5位同学一起比赛象棋，每两人之间只比赛1盘，比赛过程中间统计比赛的 盘数知：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘，那么同学E赛了( )盘 A.1 B.2 C.3 D.4 5无论x为何数，-2-0一定是 数 6.甲、乙、丙三位同学踢球时，不小心将班级玻璃打破，当班主任追问时，甲说：“是丙打破的”； 乙说：“不是我打破的”；丙说：“甲说谎”.三个人中只有一人说了真话，请你判断：玻璃是 打破的. 7.按要求解决下列问题： (1)化简下列各式： 8 18 50 ’2 ’5 (2)通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明， 8.【教材PI82-3变式】如图，已知∠ABC,画LDEF,使DE∥AB,EF∥BC,DE交BC与点P. (1)探究：∠ABC与∠DEF分别有怎样的数量关系？并选择一种情况说明理由 图1中∠ABC与∠DEF的数量关系为 图2中∠ABC与∠DEF的数量关系为 选择一种情况说明理由， (2)由(1)你得出的结论是 (3)若两个角的两边互相平行，且一个角比另 一个角的2倍少30°，直接写出这两个角的 F E 度数 图 图2 8题图 95 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 核心知识训练2认识证明 一、知识梳理（每空5分，共55分） 1.判断一件事情的 ,叫作命题.每个命题都由 和 两部分组成.通常写 成 2. 的命题称为真命题 的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题，常常可 以举出一个例子，使它具备命题的 ,而不具有命题的 ,这种例子称为反例 3.公认的真命题称为 演绎推理的过程称为 ,经过证明的 称为定理 二、知识巩固（第4-6题每题5分，第7-9题每空5分，第10题15分.共65分） 4.下列语句不是命题的是() A.两直线平行，同位角相等 B.对顶角相等 C.延长线段AB D.两点之间线段最短 5.下列选项中，是假命题的是( A.对顶角相等 B.相等的角是对顶角 C.两点之间，线段最短 D.同角的补角相等 6.关于“三角形的任意两边之和大于第三边”，有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命 题；④是定理，其中正确的是() A.①③ B.①③④ C.③④ D.①②④ 7.【教材P89-3变式】命题“对顶角相等”的条件是 结论是 ,它是 命题（填“真”或“假”） 8.举例说明命题“如果ac>bc,那么a>b”是假命题，a= ,b= ,C= 9.命题“如果a,b互为相反数，那么a+b=0”是 (选填“真命题”或“假命题”) 10.求证：全等三角形对应边上的中线相等， 在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步 骤，请按照以上步骤完善下面相应内容. (1)结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形 (2)结合(1)中的示意图，请完善已知、求证： 已知：如图， ,线段AD,A'D'分别是边BC,B'C'上的中线. 求证： (3)写出证明过程. 96 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 核心知识训练3平行线的判定 一、知识梳理（每空5分，共15分） 1.定理同位角 ,两直线平行 定理内错角 ,两直线平行 定理同旁内角 ,两直线平行 二、知识巩固（第2-5题每题5分，第6-9题每空5分，第10-12题每题20分.共105分） 2.下列图形中，已知∠1=∠2，则可得到AB∥CD的是() B D B 3.如图，下列推理正确的是() A.:∠1=∠4（已知），∴.AB∥CD(内错角相等，两直线平行) B.:∠2=∠3（已知），∴.AE∥DF(内错角相等，两直线平行) C.:∠1=∠3（已知），∴.AB∥DF(内错角相等，两直线平行) D.:∠2=∠4（已知），∴.AE∥DC(内错角相等，两直线平行) A -B F B C 3题图 4题图 5题图 4.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,使其拐角∠ABC= 150°，∠BCD=30°，则() A.AB∥BC B.BC∥CD C.AB∥DC D.AB与CD相交 5.如图，直线DE分别交射线BA,BG于点D,F,则下列条件能判定DE∥BC的个数是() ①LADE=∠GBC;②∠DFB=∠GBC;③∠EDB+∠ABC=180°：④∠GFE=∠GBC. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，要使BE∥DF,需补充一个条件，你认为这个条件应该是 (填一个条件即可) /30 30° B 6题图 7题图 8题图 9题图 7.如图，将两个含30°角的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角边AB∥CD,依据 是 8.如图，当∠1=70°，∠2=80时，b至少转 度时，b∥a;b至少转 度时，bLa. 9.将一块三角板ABC(∠BAC=90°，∠ABC=30)按如图方式放置，使A,B两点分别落在直线 m,n上，对于给出的四个条件：①∠1=25.5°，∠2=5530'；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1； ④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线m∥n的有 ·（填序号) 97 10.如图，若∠1=42°，∠2=53°，∠3=85°，则直线11与l2平行吗？判断并说明理由 14 3 12 10题图 11.如图，∠B=∠C,点B,A,E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C,且AD平分∠EAC,试说明 AD∥BC的理由. E D 11题图 12.(新情境·跨学科)在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射 出的光线与平面镜所夹的锐角相等 如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n,则入射光线m、反射光线n与 平面镜a所夹的锐角∠1=∠2. 【简单应用】(1)如图2，有一口井，已知入射光线α与水平线0C的夹角为40°，现放置平面 镜MN,可使反射光线b正好垂直照射到井底（即射线b⊥OC),MN与水平线的夹角∠MOC 的度数为 【类比拓展】(2)如图3，有两块平面镜OM,ON,且OM⊥ON,入射光线AB经过两次反射，得 到反射光线CD.由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角 也相等，即：∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的条件下，求证：AB∥CD; 【尝试探究】(3)两块平面镜OM,ON,且∠MON=a,人射光线AB经过两次反射，得到反射光 线CD.如图4，光线AB与CD相交于点E,则∠BEC的度数是多少？（用含α的式子表示） M N B m 2 3 2 4入 人3 图1 图2 图3 图4 12题图 98 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 核心知识训练4平行线的性质 一、知识梳理（每空5分，共20分） 1.定理两直线平行，同位角 定理两直线平行，内错角 定理两直线平行，同旁内角 定理平行于 的两条直线平行. 二、知识巩固（第2-11题每题6分，第12-13题每题20分.共100分） 2.如图，点D,E分别在AB和AC上，DE∥BC,∠ADE=60°，∠EBC=25°，则∠ABE的度数是 () A.25° B.30° C.45° D.35° A C D E 2题图 3题图 4题图 5题图 3.如图，AB∥CD,DA⊥DB,∠ADC=32°，则∠ABD的度数为() A.32° B.45 C.58 D.68° 4.如图，AB∥CD,点O在AB上，OE平分∠BOD,若∠CD0=100°，则∠BOE的度数为( A.30 B.40° C.50 D.60 5.如图，已知直线m∥n,直角三角尺的直角顶点在直线m上，若∠1=50°，则下列结论错误的是 () A.∠2=50° B.∠3=50 C.∠4=130° D.∠5=50° 6.如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，已知∠EFB=34°，则下列结论：①∠CEF =34°；②∠AEC=112°；③∠BFD=112°；④∠BGE=78°.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D F人 2入B B 6题图 7题图 8题图 7.如图，AB∥CD,∠BAC的平分线交CD于点E,若∠ECA=130°，则∠1= 8.如图，AB∥CD,EF⊥DB,垂足为点E,则∠1与∠2的关系是 99 9.如图，已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC(∠ABC=30°)按如图方式放置，其 中A,B两点分别落在直线m,n上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是 9题图 10题图 11题图 10.如图，四边形ABCD为一长条形纸带，AB∥CD,将四边形ABCD沿EF折叠，A,D两点分别与 A',D'对应，若∠1=2∠2，则∠2的度数为 11.(新情境·跨学科)如图，一束平行于主光轴（图中的虚线）的光线经凸透镜折射后，其折射 光线与一束经过光心0的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=145°，∠2=25°，则∠3的度数 为 12.（1)如图1所示，AB∥CD,且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC=∠A+∠C的理由； (2)如图2所示，仍有AB∥CD,但点E在AB与CD的上方，请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的 数量关系，并说明理由 C 图1 图2 12题图 13.如图，在△ABC中，点D,F在AB上，点G在BC上，连接CD,DG,过点F作FE∥CD交AC于 点E,∠1+∠2=180° (1)判断GD与CA的位置关系，并说明理由； (2)若DG平分∠CDB,∠ACD=40°，求∠A的度数. E 1 G A B D 13题图 100 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 考点小专题1平行线的性质 知识巩固（每题15分，共120分）】 1.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC,则∠AED的度数是( A.50° B.60° C.70° D.80° B D C D 1题图 2题图 3题图 4题图 2.一个零件的形状如图所示，AB∥DE,AD∥BC,∠CBD=60°，∠BDE=40°，则∠A的度数是 () A.70° B.80 C.90 D.100° 3.如图，直线AB∥CD,且AC⊥CB于点C,若∠BAC=35°，则∠BCD的度数为( A.65° B.55 C.45 D.35 4.如图，C0是△ABC的角平分线，过点B作BD∥AC交C0的延长线于点D,若∠A=45°， ∠AOD=80°，则∠CBD的度数为() A.100 B.110 C.125 D.135 5.如图，AB∥CD,∠EFD=64°，∠FEB的平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为( A.66 B.56 C.68 D.58 5题图 6题图 7题图 8题图 6.如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF,AD∥CE,连接BC,CD,则∠A的度数是 () A.45° B.50 C.55° D.80° 7.如图，AB∥CD,EF与AB,CD分别交于点G,H,∠CHG的平分线HM交AB于点M.若∠EGB =50°，则∠GMH的度数为() A.50 B.55 C.60 D.65 8.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，AB∥DE,则∠EFC的度数是() A.65° B.60 C.70° D.75 101 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 考点小专题2平行线的判定与性质 知识巩固（每题60分，共120分】 1.如图，∠D=∠A,∠B=∠FCB, (1)求证：ED∥CF; (2)若∠A=∠B,CF是∠DCB的平分线吗？请说明理由. E D 1题图 2.如图，过△DEF的顶点E作直线AB∥DF,C为DF上一点，连接BC交EF于点G,∠AED =∠BCF. (1)求证：DE∥BC; (2)若∠B+∠CGF=130°，求∠F的度数. E B 】 2题图 102