7.2.1 定义与命题 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦“定义与命题”核心概念，通过基础识别、真假判断、推理应用三阶分层设计，实现从概念理解到逻辑推理的思维进阶，培养数学抽象与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|命题定义与识别|单选1-2直接考查命题概念，解答11改写命题结构，夯实数学抽象基础| |中档|真假命题判断与反例|单选3-10辨析真/假命题，解答12-15构造反例，发展推理意识| |提升|综合推理应用|解答16-22结合平行线性质进行逻辑推理，培养数学语言表达能力|

7.2.1 定义与命题 同步练习 一、单选题 1．下列语句中，不是命题的是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．连接、两点 2．下列句子是命题的是（　　） A．画两条相等的线段. B．等于同一个角的两个角相等吗? C．延长线段到，使. D．两直线平行，内错角相等. 3．下列命题： ①两个锐角的和一定是锐角； ②点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ③同旁内角互补； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 其中真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列语句中，属于定义的是（　　） A．直线 和 垂直吗？ B．延长 到 使 C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数 5．命题“等角的补角相等”中，“等角的补角”是命题的（　　） A．条件部分 B．是条件，也是结论 C．结论部分 D．不是条件，也不是结论 6．在下列结论中，正确的是（　　） A． B．没有立方根 C．平方根是它本身的数为0， D．的立方根是2 7．能说明命题“对于任意实数 ， ”是假命题的反例为（　　） A． B． C． D． 8．下列命题中，假命题是（） A．对顶角相等 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．如果，，那么 9．对于命题“若a＞b，则a2＞b2”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（　　） A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝2，b＝﹣1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣2 10．下列命题中，是真命题的是（　　） A． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（3，－2） D．立方根等于它本身的数为 二、解答题 11．下列语句哪些是命题？对于命题，请先将它改写为“如果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论，并指出是真命题还是假命题，并说明为什么是假命题． （1）小亮今年上八年级，明年一定上九年级； （2）作一条线段的垂直平分线； （3）互为倒数的两个数的积为1； （4）内错角相等； （5）不等式的两边同时乘以一个数，不等号的方向改变． 12．请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明． （1）若a＞b，则a2＞b2； （2）两个无理数的和仍是无理数； （3）若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形． 13．如果二次根式 与 能够合并，能否由此确定a=1？若能，请说明理由；不能，请举一个反例说明． 14．设a和b是有理数，若a>b，那么|al>lbl一定正确吗?如果正确，请你说明理由；如果不正确，请举出反例． 15．用举反例说明命题“面积相等的两个三角形周长也相等”是假命题． 16．如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如： 以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证： （1）请按要求写出命题： 以①作为结论的命题是：　 　； 以②作为结论的命题是：　 　； （2）请证明以②作为结论的命题． 17．推理填空： 已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF． 证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知） ∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90° ∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又∵∠1=∠2（ ▲ ） ∴ ▲ = ▲ （ ▲ ） ∴BE∥CF（ ▲ ） 18．看图填空： 已知：如图，BC∥EF，AD＝BE，BC＝EF，试说明△ABC≌△DEF. 解：∵BC∥EF ∴∠ABC＝∠（两直线平行，同位角相等） ∵AD＝BE ∴＝BE+DB 即＝DE 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（　　） 19．已知：如图 AB∥CD，AD∥BC，求证：∠A=∠C. 20．如图所示，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图是在书写字“M”： （1）请从正面，上面，右侧三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； （2）EF与A′B′有何位置关系？CC′与DH有何位置关系？ 21．已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B ∠D ，BF DE，求证：AF CE． 22．已知：如图， ， 和 互余， 和 互余，求证： . 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】定义、命题及定理的概念 【解析】【解答】两点确定一条直线，是命题，故A不符合题意； 同位角相等，是命题，故B不符合题意； 垂线段最短，是命题，故C不符合题意； 连接A、B两点，不是命题，故D符合题意； 故答案为： D． 【分析】根据命题的定义逐项判断即可。 2．【答案】D 【知识点】定义、命题及定理的概念 【解析】【解答】解：A、画两条相等的线段，没有作出判断，不是命题，错误； B、等于同一个角的两个角相等吗？没有作出判断，不是命题，错误； C、两直线平行，内错角相等，是命题，正确； D、延长线段AO到C，使OC=OA，没有作出判断，不是命题，错误； 故答案为：D. 【分析】 根据命题的定义解答，命题是对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题. 命题由题设和结论两部分组成. 根据命题的定义分别判断即可. 3．【答案】B 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：①两个锐角的和不一定是锐角，例如，故是假命题； ②点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故是假命题； ③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，是真命题； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题； 故真命题有④⑤，共2个； 故答案为：B． 【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。 4．【答案】D 【知识点】定义、命题及定理的概念 【解析】【解答】解：A不是，这是一个疑问句； B不是，这是一个作法； C不是，这是一个定理； D是，这是无理数的定义； 故答案为：D. 【分析】根据定义对每个选项一一判断即可作答。 5．【答案】A 【知识点】余角、补角及其性质；定义、命题及定理的概念 【解析】【解答】解：命题“等角的补角相等”: 题设是两个角是等角的补角, 结论是这两个角相等,故答案为：A. 【分析】首先把命题改写成“如果…那么…” 的形式, 然后根据以如果开始的部分是题设, 以那么开始的部分是结论, 得出结果. 6．【答案】D 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：，故A选项不符合题意； 负数也有立方根，故B选项不符合题意； 平方根是它本身的数是0，故C选项不符合题意； =8，8的立方根为2，所以的立方根是2，故D选项符合题意． 故答案为：D． 【分析】利用算术平方根、立方根和平方根的计算方法逐项判断即可。 7．【答案】B 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2. 故答案为：B. 【分析】说明一个命题为假命题的反例，只需要满足命题的题设，不满足命题的结论就行，即不满足|a|>-a，据此判断. 8．【答案】C 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意； D、如果a=b，b=c，那么a=c，正确，不符合题意． 故答案为：C． 【分析】利用命题的定义对每个选项一一判断即可。 9．【答案】D 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2， ∴“若a＞b，则a2＞b2”是假命题， 故答案为：D． 【分析】根据假命题的定义求解即可。 10．【答案】C 【知识点】真命题与假命题 【解析】【解答】解：，，故A是假命题，不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B是假命题，不符合题意； 点P在第四象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（3，−2），故C是真命题，符合题意； 立方根等于它本身的数为±1和0，故D是假命题，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。 11．【答案】（1）解：如果小亮今年上八年级，那么明年一定上九年级。条件是小亮今年上八年级；结论是明年一定上九年级。有可能留级，所以是假命题。 （2）解：不是命题。 （3）解：如果两个数互为倒数，那么它们的积为1。条件是两个数互为倒数；结论是它们的积为1。是真命题。 （4）解：如果两个角是内错角，那么它们相等。条件是两个角是内错角；结论是它们相等。因为两直线不一定平行，所以是假命题。 （5）解：如果不等式的两边同时乘以一个数，那么不等号的方向改变。条件是不等式的两边同时乘以一个数；结论是不等号的方向改变。只有乘以的是负数才改变，乘以正数不改变，所以是假命题。 【知识点】真命题与假命题 【解析】【分析】命题是可以判断真假的语句，疑问句、感叹句、祈使句一般都不是命题，所以（2）不是命题。命题一般由条件和结论两部分组成，一般可改写成“如果…，那么…”，如果是条件，那么是结论。 12．【答案】（1）解：若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2 （2）解：两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣ + =0，和是有理数 （3）解：若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形。 【知识点】真命题与假命题 【解析】【分析】（1）命题的真假，观察是否可以举出反例，使得题设推不出结论部分，当0＞-1时，可证明命题为假。 （2）当两个无理数互为相反数时，两个无理数的和为0，可以证明命题为假命题。 （3）三角形的三边关系为，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以命题可以被证明为假命题。 13．【答案】解：二次根式 与-3 能够合并，不能由此确定a=1．当 是最简二次根式，∴3a－1=2，∴a=1；当 不是最简二次根式，∴3a－1=8，∴a=3．还有其他情况．故不能确定a=1 【知识点】最简二次根式 【解析】【分析】由于二次根式可能是最简二次根式，也可能不是最简二次根式，因此不能确定a=1. 14．【答案】解：不一定正确；理由如下： ∵a>b ∴当a=2，b=-5时， ∴|al＜lbl. 【知识点】绝对值及有理数的绝对值 【解析】【分析】根据a>b，当a=2，b=-5时，得出|al＜lbl. 15．【答案】解：两直角三角形 第一：两直角边分别为3，4，斜边5， 面积为：3×4÷2=6， 周长：3+4+5=12； 第二：两直角边分别为2，6，斜边2， 面积：2×6÷2=6， 周长：2+6+2=8+2， 明显两个直角三角形面积相等，周长不相等， 所原命题是假命题． 【知识点】真命题与假命题 【解析】【分析】分别列举两个直角三角形，计算出面积与周长，即可解答． 16．【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D． （2）解：∵∠1＝∠2 ∴DB//EC ∴∠DBA=∠C ∵∠A＝∠F ∴DF//AC ∴∠D=∠DBA ∴∠C=∠D． 【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题及定理的概念 【解析】【解答】解：（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2． 如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D． 【分析】（1）以①作为结论的命题是：已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；以②作为结论的命题是：已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D； （2）根据∠1＝∠2可得DB//EC，由平行线的性质可得∠DBA=∠C ，根据∠A＝∠F可得DF//AC， 由平行线的性质可得∠D=∠DBA，据此可得结论. 17．【答案】证明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知） ∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90° ∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余 又∵∠1=∠2（已知）， ∴（ ）（等角的余角相等） ∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行） 【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定 【解析】【分析】根据平行线的判定定理进行填空即可得出答案. 18．【答案】解：∵BC∥EF， ∴∠ABC＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∵AD＝BE， ∴AD+DB＝BE+DB， 即：AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：E；AD+DB；AB；SAS. 【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠E，根据AD＝BE可推出AB=DE，然后结合全等三角形的判定定理进行证明. 19．【答案】证明：∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180， ∵AD∥BC， ∴∠C+∠D=180， ∴∠A=∠C. 【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质 【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠A+∠D=180，∠C+∠D=180，由补角的性质即可得到结论. 20．【答案】（1）解：正面：AB∥EF，AE∥MF等等；上面：A′B′∥AB，C′D′∥CD等等；右侧：�DD′∥HR，DH∥D′R （2）解：EF∥A′B′，CC′⊥DH 【知识点】平行公理及推论；平面中直线位置关系 【解析】【分析】(1)这是一道开放性的命题，根据平行线的定义只要正面，上面，右侧三个不同方向上找出一组就行 ； （2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出 ：EF与A′B′平行，CC′与DH在两个不同的平面上，它们既不平行也不相交，但它们垂直 。 21．【答案】证明：∵AF∥CE ∴∠AFD=∠CEB ∵BF=DE ∴EF+BF=DE+EF，即BE=DF ∵∠A=∠C ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE 【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA） 【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠AFD=∠CEB，再根据线段的和得出BE=DF，利用ASA得出△ADF≌△CBE，即可得出AF=CE. 22．【答案】证明：∵∠1和∠D互余，∠2和∠D互余， ∴∠1=∠2， ∵∠C=∠1， ∴∠C=∠2， ∴AB∥CD. 【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定 【解析】【分析】根据余角的性质求出 ∠1=∠2， 结合 ∠C=∠1， 等量代换得出 ∠C=∠2， 则可判定AB和CD平行. 1 学科网（北京）股份有限公司 $