第一章 勾股定理-2025-2026学年新教材八年级上册数学优化课堂7分钟（北师大版2024）

满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 第一章 勾股定理 核心知识训练1探索勾股定理 一、知识梳理（每空5分，共15分】 1.勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么 二、知识巩固（第2-9题每题5分，第10题15分，第11-12题每题25分.共105分） 2.已知直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，则另一条直角边长为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.一直角三角形的斜边比其中一直角边长3，另一直角边长为9，则斜边长为( A.15 B.12 C.10 D.9 4.【教材P3-1变式】三个正方形的面积如图所示，则S的值为( ) A.3 B.4 C.9 D.12 16 S 25 4题图 6题图 7题图 5.【教材P8-2变式】在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c为三边长，若a=6,c=10,则Rt△ABC的 面积为 6.我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”.如图，若勾AE=6,弦AD=10,则小正方形 EFGH的面积是 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=25cm,AC=15cm,CH LAB,垂足为H,则CH= 8.锐角△ABC中，AB=13,AC=15,AD⊥BC于点D,AD=12,则BC= 9.已知△ABC中，AB=13,AC=15,AD1BC于D,且AD=12,则BC= 10.【教村P9-6变式】如图，在△ABC中，AB=AC=17,BD=8,求△ABC的角平分线AD的长. D 10题图 11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发，以每秒1cm的速 度沿折线A-C-B-A运动，设运动时间为t秒(t>0). (1)若PA=PB时，求出此时t的值； (2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上(A点除外)，求t的值. 11题图 12.(新情境·跨学科)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的 绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直 轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降. 实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6d,物 体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和 物体的大小忽略不计.) (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离. 中C B B E D n 图1 图2 12题图 2 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 核心知识训练2一定是直角三角形吗 一、知识梳理（每空5分，共10分） 1.如果三角形的三边长a,b,c满足 那么这个三角形是直角三角形 2.满足a2+b2=c2的三个 称为勾股数 二、知识巩固（第3-12题每题5分，第13-14题每题10分，第15-16题每题20分.共110分】 3.【教材P11-随堂练习1变式】下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是() A.2,3,4 B.7,24,25 C.6,8,10 D.5,12,13 4.△ABC的三边长为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则该三角形是( ) A.锐角三角形 B.以c为斜边长的直角三角形 C.以b为斜边长的直角三角形 D.以a为斜边长的直角三角形 5.已知△ABC的三边长分别为9,40,41，则△ABC的面积为() A.171 B.180 C.820 D.不能确定 6.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B,在余下的7个 点中任取一点C,使△ABC为直角三角形的点C有() A.2个 B.3个 B C.4个 6题图 D.5个 7.如图，在△ABC中，CA=CB,D是BC上的一点，AB=5,BD=3,AD=4,则BC的长为( A.5 B.4 n号 B D 7题图 8.下列各组数：①1,2,3；②2,2,2：③0.3,0.4,0.5；④9,40,41.其中是勾股数的是 (填序号) 9.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A,B,C是小正 方形的顶点，则LABC= D B 0 9题图 10题图 12题图 10.如图，已知∠C=90°，AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,则∠ABD= 11.在△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10cm,则△ABC的面积为 cm2 12.如图，已知△ABC中，AB=6cm,BC=20cm,BC边上的中线AD=8cm,则△ABC的面积 为 3 13.【教材P10-例变式】如图，在四边形ABCD中，AB=10,AC=BC=13,CD=12,AD=5,求四 边形ABCD的面积 13题图 14.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. (1)请把下列三组勾股数补充完整： ① ,8,10 ②5， ,13 ③8,15， ； (2)小敏发现，很多2已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成 2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12. 请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数组. 15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20,BC=15,点D为AC边上的动点，点D从点C出 发，沿CA往点A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为 每秒2个单位长度. (1)当t=2时，求AD的长； (2)在点D运动过程中，△CBD能否为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出t 的值 B D 15题图 16.如图，分别以△ABC的三边a,b,c为边向外作正方形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则 △ABC是直角三角形吗？ S C Sh B Sy/p a A 小 S3 图1 图2 16题图 4 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 核心知识训练3勾股定理的应用 知识巩固（第1-10题每题8分，第11-12题每题20分，共120分） 1.【教材23-13变式】一个圆桶底面直径为7cm,高24cm,则桶内所能容下的最长木棒 为() A.20 cm B.25 cm C.26 cm D.30 cm 2.【教村P13-例变式】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形在水池的正中央有 根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则 这根芦苇的长度是( A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 D 13m E B 洗手台面 2题图 3题图 4题图 3.如图，在高为5m,坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要( A.17m B.18m C.25m D.26m 4.如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20cm的点C处连接着出水口 D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到，点C的距离CD 为15cm,出水口D到点E的距离为17cm,并且CD⊥AB,则红外线感应装置距离洗手台面的 高度BE为( A.8 cm B.12 cm C.15 cm D.17cm 5.图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度AB为16cm,支架BC 的长度为12cm,∠ABC=90°，保持此时△ABC的形状不变，当CB平分∠ACD时，点B到CD 的距离是( A.8 cm B.8.6 cm C.9cm D.9.6 cm A “路” 6m 图1 图2 C 8m B 5题图 7题图 8题图 6.木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为6dm,宽为4dm,对角线为7dm,则这扇纱窗 (填“合格”或“不合格”). 7.如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上， 此处离树底部 m处. 8.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条 “路”.他们仅仅少走了 m,却踩伤了花草. 5 9.如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D,主梁上两根拉索AB,AC长分别为13m, 20m,主梁AD的高度为12m,则固定点B,C之间的距离为 m. B/ B 图1 图2 9题图 10题图 10.如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1（如图1），将绳子拉直，绳端离旗杆底 端的距离(BC)有5m(如图2)，则旗杆的高度为 11.某中学有一块如图所示的四边形空地ABCD,学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草， 经测量∠B=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,AD=24m,求四边形空地ABCD的面积 D B 11题图 12.【教材P22-9变式】如图，一个梯子AB长25m,顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙 角C距离为15m,梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5m. (1)梯子滑动后，梯子的高度CE是多少？ (2)梯子顶端A下落的长度AE有多少？ A B D 12题图 6 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 核心知识训练4问题解决策略：反思 知识巩固（第1-10题每题10分，第11题20分，共120分） 1.(教材P18-1(2)变式)如图，长方体的长和宽为2cm,2cm,高为6cm,点B为一条高的中 点.蚂蚁在长方体侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是() A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7cm B 6 1题图 2题图 3题图 2.如图，台阶阶梯每一层高20cm,宽30cm,长200cm,一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 () A.350 cm B.250 cm C.150 cm D.130 cm 3.如图，已知圆柱底面的周长为8dm,圆柱高为3dm,在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈 金属丝，则这圈金属丝的周长最小为( A.11 dm B.22 dm C.14 dm D.10 dm 4.如图，在一张边长为6cm的正方形纸板ABCD上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边 与AD平行且相等，横截面是一个边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达 点C处，需要走的最短路程为() A.14 cm B.12 cm C.10 cm D.6 cm 32 16 B 4题图 5题图 6题图 5.(教材P23-12变式)如图，一个长方体的上、下底面是边长为5cm的正方形，其高为15cm, 从点A处开始，将装饰彩条绕其侧面一周，彩条另一端落在点B处，则需要装饰彩条的长度至 少为() A.35 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm 6.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个 “半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为2m的半圆，其边缘AB=CD=16m,点E 在CD上，CE=4m,一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为() A.18m B.20m C.22m D.24m 7 7.如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B 点，那么它所行的最短路线的长是 B 3 2 cm 3 -70cm中70cm-中70cm 7题图 8题图 9题图 10题图 8.如图是某学校体育场的颁奖台，3个长方体颁奖台的长和宽均为70cm,1,2,3号台的高度分 别是40cm,30cm,20cm.若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点A处沿表面爬到2号颁奖台的顶 点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为 9.(教材P17-1(1)变式)如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为20cm,底面周长 为24cm,在容器内壁离容器底部8cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对 的玻璃杯外壁，且距离容器顶部4c的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 cm. 10.(教材P23-12变式)我国古代有这样一个数学问题，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆 柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点B处缠绕而上，且缠绕五周后其末 端恰好到达点A处，则问题中葛藤的最短长度为尺， 11.如图1，一个无盖的正方体盒子的棱长为30cm,顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶 点A处有一只昆虫乙.（盒壁的厚度忽略不计)》 (1)假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图1，在盒子的内部我们先取棱BB,的中点E,再 连接AE、EC1·虫乙如果沿路径A-E-C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫 甲.仔细体会其中的道理，并在图1中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径 爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法） (2)如图2，假设昆虫甲从顶点C1,以acm/s的速度在盒子的内部沿C,C向下爬行，同时昆 虫乙从顶点A以2.5cm/s的速度在盒内壁沿A-F-G爬行，恰好在最短的时间内捕捉 到昆虫甲.若最短时间为20s,请你求出α的值. B. 图1 图2 11题图 8 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 考点小专题1勾股定理及其逆定理综合应用 考点巩固（每题40分，共120分） 1.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得AB=CD=60cm,BC=30cm,AD= 90cm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90°），根据安全标准需 满足BC⊥CD,通过计算说明该车是否符合安全标准. 图 图2 1题图 2.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D,BD=9,BC=15,AC=20. (1)求CD和AD的长； (2)求证：∠ACB=90°， D 2题图 3.如图，某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的距离长为125m.现要为喷泉铺设供水管道AM, BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m,BM的长为75m. (1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长； (2)求喷泉B到小路AC的距离. B 3题图 9 满分：120分限时：30分钟 数学·八年级·上册BS班级： 姓名： 得分： 考点小专题2勾股定理与方程 考点巩固（每题40分，共120分）】 1.已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点，且CD=4,BD=3,求AD的长. 1题图 2.如图，勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具， 也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m,将它往 前推3m至C处时（即水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度CF=2.5m,它的绳索始终拉 直，求绳索AC的长， C 0 F---E 2题图 3.如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20,点A与地面 上点C(点B,C处于同一水平面上)的距离AC=25m,且BC=15m. (1)求∠ABC的度数； (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上， 连接CD,求这架无人机向下飞行的距离(AD的长). D 3题图 10参考答案 第一章勾股定理 又因为点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C= 核心知识训练1探索勾股定理 90°，AB=10,BC=6, 1.平方和平方a2+b2=c2 所以CP=EP, 2.C3.A4.C 在Rt△ACP和Rt△AEP中，AP=AP,CP=EP, 5.246.47.12cm8.149.14或4 所以Rt△ACP≌Rt△AEP(HL), 10.解：因为在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平 所以AC=AE=8cm,所以BE-=2cm, 分线， 设CP=EP=xcm,则BP=(6-x)cm, 所以AD⊥BC, 在Rt△BEP中，BE2+PE2=BP2, 所以AD2=AB2-BD2, 即2+=(6-刻，解得=号 因为AB=AC=17,BD=8, 所以AD2=172-82=225, 所以CP=号，cM+CP=8+号-，所以= 3 所以AD=15. 综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值 11.解：(1)在△ABC中，由勾股定理得， 为号秋 AC=AB-BC2=102-62=64,AC=8cm, 如图，连接BP, 12.解：(1)根据题意得AC=8dm,BC=6dm,∠ACB =90°， 所以AB2=AC2+BC2=100,所以AB=10dm, 所以AB+AC=10+8=18(dm). 答：绳子的总长度为l8dm; B (2)根据题意得∠ADB=90°，AD=8dm,CD=7dm, 当PA=PB时，PA=PB=tcm,PC=(8-t)cm, AB=(10+7)dm, 在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2,即(8-t)2+6 所以BD=AB2-AD=17-82=225,所以BD=15 =, (dm), 所以BE=BD-DE=15-6=9(dm). 解得：=空 答：滑块B向左滑动的距离为9dm. 所以当：=草秒时，PA=PB: 核心知识训练2一定是直角三角形吗 1.a2+b2=c22.正整数 当P点在AB中点时，PA=PB,此时t=AC+BC+ 3.A4.D5.B6.C7.C 9=8+6+5=19(秒). 8.④9.45°10.90°11.2412.48cm2 13.过C作CE⊥AB于E, 所以当：=孕秒或19秒时，PA=PB: 因为AC=BC,所以AE=BE=5,所以CE=12, (2)如图，过P作PE⊥AB, 因为AC2=132=169,AD2=52=25,CD2=122 =144, 所以AD2+CD2=AC2,所以∠ADC=90°， 所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABc=90. 14.(1)61217 E (2)证明：因为(m2-n2)2+(2mn)2=m+n4 103 2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2,(m2+n2)2=m 225,所以EC=15m. +n+2m2n2, 答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15m; 所以(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2, (2)因为在Rt△ABC中，AB=25m,BC=15m, 所以m2-n2,m2+n2,2mn是勾股数. 所以AC2=AB2-BC2=400,所以AC=20m,由(1) 15.解：(1)因为LABC=90°，AB=20,BC=15, 知，EC=15m, 所以AC=25, 则AE=AC-EC=20-15=5(m). 因为t=2,所以CD=4,所以AD=25-4=21; 答：梯子顶端A下落的长度AE有5m. (2)△CBD能为直角三角形 核心知识训练4问题解决策略：反思 理由：分为两种情况：①当LBDC=90时， 1.B2.B3.D4.C5.D6.B 因为Sac=宁BC·AB=74C~BD, 7.108.250cm9.2010.25 所以BD=AB·BC_20×15=12,由勾股定理， 11.解：(1)画出图1中A→E2→C1,A→E3→C1,A→E AC 25 →C1中任意一条路径；(E1、E2、E,分别为各棱中 得CD2=BC2-BD2=81,所以CD=9, 点) 所以4=号=45： D ②当∠CBD=90°时，点D和点A重合，此时t -空=125综上，的值是4,5或125 B 16.解：在题图1中，因为S1+S2=S3,S1=AG2,S2= 图1 BC2,S =AB2, (2)平面展开图如下： 所以AC2+BC2=AB2, D 所以△ABC是直角三角形； 在题图2中，因为S+,=S,S=8AC,= 8BC,=84B, B 由题意得：C,G=20a,CG=30-20a,DG=DC+CG 所以TAC2+TBC=TAB2, =30+30-20a=60-20a,AG=2.5cm/s×20s= 8 8 所以AC2+BC2=AB2, 50cm,在Rt△ADG中，AD2+DG=AG,即302+ 所以△ABC是直角三角形 (60-20a)2=502,解得a=1. 核心知识训练3勾股定理的应用 考点小专题1勾股定理及其逆定理综合应用 1.B2.D3.A4.B5.D 1.解：符合安全标准，理由： 6.不合格7.88.49.2110.12m 因为∠ABD=90°，AB=CD=60cm,BC=30cm, 11.解：连接AC.因为AB=20m,CB=15m,∠B=90°， AD=90 cm, 所以AC=25m, 所以BD2=AD2-AB2=902-602=4500, 因为AD=24m,CD=7m, 在△BCD中，BC2+CD2=302+602=4500, 所以AC2=AD2+CD2,所以∠D=90°， 所以BC2+CD2=BD2, 所以S边形Bcn=S△MBc+SA4CD=234(m2). 所以△BCD是直角三角形，所以∠BCD=90°， 答：四边形空地ABCD的面积为234m2. 所以BC⊥CD, 12.解：(1)因为在Rt△CDE中，DE=AB=25m,CD= 所以该车符合安全标准。 BC+BD=15+5=20(m),所以EC2=DE2-CD2=2.(1)解：因为CD⊥AB, 104 所以∠BDC=90°=∠ADC, 3.解：(1)因为AB+BC2=202+152=625,AC=252 所以△BDC、△ADC是直角三角形， =625, 所以CD2=BC2-BD2=152-92=144, 所以AB2+BC2=AC2, 所以CD=12. 所以△ABC是直角三角形，所以∠ABC=90°； 在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2, (2)设AD=xm,所以BD=(20-x)m,若点D恰好 所以1442+AD2=202, 在边AC的垂直平分线上，则CD=AD=xm, 所以AD=16; 在Rt△BDC中，DC2=BD2+BC, (2)证明：因为BD=9,AD=16, 所以t=(20-x)2+152,解得x=125 所以AB=AD+BD=16+9=25, 8 因为AB2=252=625,AC2+BC2=202+152=625, 答：这架无人机向下飞行的距离(4D的长)为竖m 所以AB2=AC2+BC2, 所以△ABC是直角三角形，所以∠ACB=90°： 第二章实数 3.解：(1)）在Rt△MNB中，BN2=BM-MWN2=752- 核心知识训练1认识实数 602=2025,所以BN=45m, 1.无理数2.有理数无理数3.一一对应 所以AN=AB-BN=125-45=80(m), 4.B5.D6.D7.π（答案不唯一） 在Rt△AMW中，AM=AN2+MN2=802+602=10000, 8.5不是不是不是9.a 所以AM=100m, 10解：61)正数集合：50%，号，03,21,10100L, 所以供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长= +6,T,…. AM+BM=100+75=175(m); (2)因为AB=125m,AM=100m,BM=75m, (2)负数集合：-1}，-1.7，-2，…. 所以AB2=BM2+AM, (3)正整数集合：{500%，21，+6，…}. 所以△ABM是直角三角形，所以∠AMB=90°， (4)整数集合：{500%，0,21，-2，+6，… 所以BM⊥AC, 所以喷泉B到小路AC的距离是75m. (5)分数集合：1-1号号03，-17,1001，-…. 考点小专题2勾股定理与方程 (6)丰负有理数集合：0%，号.Q30,21,1000, 1.解：因为等腰△ABC的底边BC=5,CD=4,BD=3, +6,…} 所以CD+BD2=BC2,AB=AC, 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=∠ADC (7)有理数集合：1-1号，500%，号，0.3,0， =90°， -1.7,21,-2,1.01001,+6,…. 在Rt△ADC中，AC=AB=AD+3,CD=4, (8)无理数集合：{π，…}. 由勾股定理得(AD+3)2=AD2+42, 11.解：答案不唯一.如图，AB=2,EF=1,2和1都是有 解得A0=石 理数， 所以AB和EF的长是有理数； 2.解：由题意可知，DE=CF=2.5m,BE=0.5m, 因为AC2=2,Q=8, 所以BD=DE-BE=2.5-0.5=2m, 所以线段AC和线段Qg的长是无理数， 设AC的长为x(m),则AB=AC=x(m), C 所以AD=AB-BD=(x-2)m, 在Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2,CD=3m, 所以(x-2)2+32=x2,解得x=3.25. 答：绳索AC的长为3.25m. 105