3.3空间向量的坐标表示（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

3.3空间向量的坐标表示 题型一 空间向量的坐标运算 1．(24-25高二上·上海延安中学·期末)已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算法则求解即可. 【详解】∵，∴ ∴， ∴， 即点C的坐标为 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海松江区华东师范大学松江实验高级中学·)已知，的起点坐标是，则的终点坐标为 . 【答案】 【分析】先设终点的坐标，再应用空间向量的坐标运算即可求参. 【详解】设的终点坐标为, 所以，所以, 所以的终点坐标为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海徐汇中学·期中)已知长方体，如图建系，若的坐标为，则的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据空间向量的坐标表示可得. 【详解】由题意，故，，， 故， 故答案为： 4．(24-25高二上·上海松江二中·月考)如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题目条件确定长度关系标注坐标即可； 【详解】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 5．(23-24高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是 ． 【答案】 【分析】由向量相等列出方程组，求解即可. 【详解】由向量在下的坐标为，则，设向量在下的坐标是，则， 则，解得， 所以向量在下的坐标是， 故答案为： 题型二 空间向量的加减与数乘运算 1．(24-25高二上·上海吴淞中学·月考)已知空间向量，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量减法和乘法法则计算出答案. 【详解】因为，所以． 故答案为： 2．(23-24高二上·上海金山区上海师范大学第二附属中学·期中)已知向量，向量，则 ． 【答案】 【分析】直接根据向量的坐标运算得到答案. 【详解】，，， 故答案为： 3．(22-23高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·期末)若，，则 【答案】 【分析】根据空间向量减法的坐标运算公式直接计算即可. 【详解】由，， 则， 故答案为：. 题型三 空间向量的模长 1．(24-25高二下·上海吴淞中学·期中)已知空间向量，则（    ） A． B． C．2 D．14 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2．(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学·)已知，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，求出的值，可得出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则， 解得，则，所以， 因此，. 故选：B. 3．(24-25高二下·上海行知中学·月考)已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 4．(22-23高二上·上海华东师范大学附属东昌中学·期末)已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则 【答案】3 【分析】求出点坐标即得解. 【详解】因为点是点关于坐标平面yoz内的对称点， 所以点坐标为, 所以，所以. 故答案为：3 5．(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学·期中)在空间直角坐标系中，已知、、. (1)若点满足，求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)的面积为. 【分析】（1）设点，由可得出关于、、的方程组，可解出点的坐标，可得出向量，再利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算求出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）设点，因为，则， 所以，，解得，即点， 所以，故. （2），， 所以，， 所以，则为锐角， 所以， 因此. 所以的面积为. 6．(24-25高二上·上海吴淞中学·月考)已知空间三点． (1)求； (2)若向量与平行，且，求的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知点坐标表示出的坐标，应用空间向量模长的坐标运算求结果. （2）根据已知有且，结合它们的模长关系列方程求参数，即可得坐标. 【详解】（1）由题设，故； （2）由题意且，则， 又， 所以或. 题型四 投影向量 1．(24-25高二下·上海复旦中学·月考)，，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 2．(24-25高二上·上海杨浦高级中学·期末)已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海黄浦区·调研)给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 4．(24-25高二上·上海行知中学·月考)已知向量   则在方向上的数量投影为 【答案】 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】，， ， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 题型五 单位向量 1．(24-25高三下·上海延安中学·)已知向量，则的单位向量的坐标为 ． 【答案】 【分析】求出，可得出的单位向量为，求其坐标即可. 【详解】因为，则， 所以，的单位向量的坐标为. 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海格致中学·月考)已知向量，那么方向上的单位向量为 . 【答案】 【分析】利用方向上的单位向量为，结合空间向量模的坐标表示求解． 【详解】因为向量， 所以， 所以方向上的单位向量为． 故答案为：． 题型六 夹角问题 1．(24-25高二上·上海桃浦中学·)已知向量，则与的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】，而，故， 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海静安区新中高级中学·期中)已知向量 则与的夹角为 【答案】120° 【分析】利用空间向量夹角的坐标运算求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以. 故答案为： 3．(24-25高三上·上海曹杨第二中学·月考)已知向量，则 . 【答案】 【分析】根据题意可得，结合向量的夹角公式运算求解. 【详解】因为， 则， 可得， 且，所以 . 故答案为：. 4．如图，，坐标原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，．    (1)求向量的坐标； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据题意求出点的坐标，从而能求的坐标； （2）求出的坐标，根据公式计算即可求解. 【详解】（1）过点作于点，由题意，， 则， ， 所以，    因为，是的中点，所以， 所以. （2），所以， ，所以，， 所以， 则与的夹角的余弦值为. 题型七 空间向量的数量积 1．(23-24高二上·河北·月考)若，则（   ） A．-29 B．-22 C．22 D．29 【答案】A 【分析】根据空间向量坐标的线性运算与数量积运算即可得答案. 【详解】由，得， 所以． 故选：A． 2．(24-25高二上·上海宝山中学·期中)在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面的对称点为， 则， 所以. 故答案为：. 3．(23-24高二下·上海青浦区·调研)在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为， 则，所以. 故答案为：. 4．(23-24高二下·上海行知中学·期中)已知，，则 . 【答案】 【分析】首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 所以. 故答案为： 题型八 空间向量的平行 1．(24-25高二上·上海北中学·期中)已知向量平行于向量，则m+n＝ ． 【答案】## 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 2．(25-26高二上·上海大学附属中学·月考)设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则 ． 【答案】0 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 3．(24-25高二下·上海行知中学·月考)向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 4．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求. 【详解】∵，∴， 即，解得. 故答案为：. 题型九 空间向量的垂直 1．(25-26高三上·上海建平中学·)已知空间向量，且，则实数 . 【答案】2 【分析】利用向量垂直的坐标运算即可求出结果. 【详解】已知空间向量，且， 则，解得. 故答案为：2 2．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】由有，即，进而得解出即可. 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海南洋模范中学·期末)已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）利用向量平行和向量模长的从标表示列式求解即可； （2）利用向量数量积和向量模长的坐表示求出夹角进而求得面积即可. 【详解】（1）根据题意，，则， 若，设，又由，则， 解可得，故或. （2）根据题意，， 则， 则，故， 故. 4．(24-25高二下·上海行知中学·月考)已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 题型十 锐角钝角问题 1．(24-25高二下·上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学·期中)已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 2．(24-25高二上·上海桃浦中学·)已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为:． 3．(24-25高二上·上海中学·期中)已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据且不共线求解即可. 【详解】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 4．(23-24高二下·上海大学附属中学·期中)已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 5．(23-24高二上·上海三林中学东校·)已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线. 【详解】由 ； 由 . 综上：且. 故答案为：. 题型十一 共面问题 1．(24-25高二上·上海师范大学附属中学宝山分校、上海师范大学附属中学闵行分校·期末)已知，若三个向量共面，则实数的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意可知存在，使得，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为，，，且，，三向量共面， 可知存在，使得，即， 则，解得. 故选：A. 2．(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学·期中)设，向量，，，若向量、、共面，则m的值是（   ）． A．5 B．3 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据向量共面有且，应用线性关系的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设且，则，可得. 故选：A 3．(25-26高二上·上海曹杨第二中学·月考)已知，向量，，，若、、是共面向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据共面向量可知存在实数，使得，结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 若、、是共面向量，则存在实数，使得， 可得，解得. 故答案为：7. 4．(24-25高二下·上海曹杨第二中学·月考)已知，空间向量，，．若，，共面，则 ． 【答案】3 【分析】设，列出方程，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以，存在，使得， 即 ，解得. 故. 故答案为：3 5．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1) (2)四点不共面，理由见解析 【分析】（1）由关系式求解即可； （2）判断是否存在唯一实数，使成立即可； 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 题型一 模长最值与取值范围 1．(25-26高三上·上海复旦大学附属中学·月考)已知空间向量、、两两垂直，空间中点满足，记，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设，，，，由空间向量模的意义及条件可得，进而求出范围. 【详解】不妨设，，，则. 设，则有 ， 所以， 由，及， 因此得到等式，即， 所以. 故答案为：. 2．(25-26高三上·上海曹杨第二中学·开学考)正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 3．(24-25高二上·上海行知中学·期末)已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 4．(22-23高二下·上海宝山区·期末)已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】 是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 5．(21-22高二上·3.1.3空间两点间的距离公式（习题）-·)点的坐标满足，点，则的最小值是 ，的最大值是 . 【答案】 3 5 【分析】先求得点P的轨迹，进而求得的最小值和最大值. 【详解】因为在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面， ， 所以， 故答案为：3；5 题型二 新定义问题 1．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 2．已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】建立如图空间直角坐标系，设，根据正n棱柱的结构特征，求出对应底面各顶点的x坐标，由可得对应的集合，进而得出对应的，即可求解. 【详解】如图，设AB所在的直线为x轴，过点A且与AB垂直的直线为y轴， 过点A且与平面垂直的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，得，设， 则. 因为该几何体为正n棱柱，所以上底面与下底面各顶点的x坐标对应相等. 当时，该几何体为正三棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有5个元素； 当时，该几何体为正方体，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有3个元素； 当时，该几何体为正六棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则，所以， 即，共有9个元素； 当时，该几何体为正八棱柱，作出其底面的示意图，如图， 则， 所以， 即，共有9个元素； 综上，当时，中的元素数量最少. 故选：B 3．已知向量，，其中，现有以下命题： ①向量与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c，d无关)； ②的最大值为； ③ (的夹角)的最大值为； ④若定义，则的最大值为． 其中正确的命题有 ．(写出所有正确命题的序号) 【答案】①③④ 【分析】①取z轴的正方向单位向量，求出与的夹角即可判断命题； ②计算,利用不等式求出最大值即可判断命题； ③利用数量积求出夹角的最大值，即可判断命题； ④根据定义求出的最大值即可判断命题． 【详解】①取z轴的正方向单位向量， 则，∴向量与z轴正方向的夹角恒为定值，命题正确； ②， 当且仅当a=c，b=d时取等号，因此的最大值为1，命题错误； ③由②可得，∴， ∴， ∴的最大值为，命题正确； ④由③可知：， ∴，，∴，命题正确． 综上可知，正确的命题序号是①③④． 故答案为：①③④. 4．已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，． (1)求证：面； (2)根据上述定义，计算的绝对值的值； (3)求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；的绝对值的值是四棱锥体积的倍；的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积. 【分析】（1）利用空间向量坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据已知中的向量运算定义可直接求得结果； （3）利用向量夹角公式可求得，进而得到，结合棱锥体积公式可求得四棱锥体积，由此可得绝对值的值与四棱锥体积的关系，进而猜想得到结论. 【详解】（1），，，， 又，平面，平面. （2）. （3）， ， ， 的绝对值的值是四棱锥体积的倍， 猜想：的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积. 1．(24-25高二上·上海嘉定区第二中学·期中)已知正四棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可判断元素个数. 【详解】因正四棱柱的底面为边长为2的正方形，高为3， 故可建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 则， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 与相等的向量为，此时， 体对角线向量为，此时， ，， ，， ，， 综上，集合中元素的个数为1个. 故选：A. 2．在四棱锥中，若，则实数组可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断B、C、D． 【详解】 对于选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故A正确； 对于选项B，若，则，故B错误； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：A． 3．(23-24高二下·上海吴淞中学·调研)已知，则与向量共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理，设出表达式，由方程组的解的情况确定是否与共面即得. 【详解】对于A，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故A错误； 对于B，设，则得，解得，故存在的值满足，故B正确； 对于C，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故C错误； 对于D，设，则得，该方程组无解，故不存在的值满足，故D错误. 故选：B. 4．(24-25高二上·上海南洋模范中学·期末)空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【答案】 【分析】利用长方体的体对角线的计算方法可求解. 【详解】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 5．已知空间向量，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的减法化简，再应用向量的数量积公式计算即可. 【详解】因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 6．(24-25高二上·上海华东师范大学附属周浦中学·期中)已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 7．(23-24高二上·上海交通大学附属中学·期末)在空间直角坐标系中，设、、、． (1)设，，求的坐标，并判断、是否平行； (2)求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 【答案】(1)，平行； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量共线的坐标表示判断即得. （2）利用向量夹角公式求出夹角，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由、、、，得， 所以，而，则， 所以、平行. （2）由（1）知，，，，， 因此，而，则， 所以、为相邻两边的三角形面积. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.3空间向量的坐标表示 题型一空间向量的坐标运算 题型二空间向量的加减与数乘运算 题型三空间向量的模长 题型四投影向量 题型五单位向量 基础达标题 题型六夹角问题 题型七空间向量的数量积 空间向量的坐标表示 题型八空间向量的平行 题型九空间向量的垂直 题型十锐角钝角问题 一题型十一共面问题 题型一模长最值与取值范围 能力提升题 题型二新定义问题 拓展培优题 A 基础达标题 题型一空间向量的坐标运算 1.(24-25高二上.上海延安中学.期末)已知点A(4,1,3)、B(2,-5,1),C为线段AB上一点，若 AB=3AC,则点C的坐标为 2.(24-25高二上·上海松江区华东师范大学松江实验高级中学)已知=(3，-1,2)，a的起点坐标是 (2,0,-5),则的终点坐标为一 3.(24-25高二上·上海徐汇中学.期中)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,如图建系，若DB1的坐标为(4,3,2) ,则AC1的坐标为 1/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C B A B 4.(24-25高二上上海松江二中.月考)如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的 三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(3,4,2)，则BD1的坐标为一 Z扇 B D 5.(23-24高二上上海外国语大学附属浦东外国语学校期中)已知{三石，c}是空间不共面的一组向量， {,+元-}是空间不共面的另一组向量，若向量在{a,下的坐标为(2,3，-1)，则向量在 {a,石+飞6-}下的坐标是」 题型二空间向量的加减与数乘运算 1.(24-25高二上上海吴淞中学月考)已知空间向量=(1,0,2)，6=(-2,13)，则a-26= 2.(23-24高二上·上海金山区上海师范大学第二附属中学.期中)已知向量=(1，-2,3)，向量 6=(2,4,0),则a+6=— 3.2223高二上上海华东师范大学附属东昌中学期末)若=(02,1)，6=(-1,0，-1)，则a-6= 题型三空间向量的模长 1.(24-25高二下.上海吴淞中学.期中)已知空间向量AB=(2-1,3),则A=() A.V2 B.V14 C.2 D.14 2.(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学已知=(2，-2,4)，b=（-4,2,x),且16，则 a+为() 2/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4y2 B.V53 C.6 D.V63 3.(24-25高二下·上海行知中学.月考)已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),设点A、B在y0z平面上的射 影分别为A1、B1,则AB= 4.(22-23高二上·上海华东师范大学附属东昌中学.期末)己知点B是点A-2,1,2)关于坐标平面yoz内的对称 点，则0= 5.(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学.期中)在空间直角坐标系0-xyz中，己知A(0,1,2)、 B(3,-2,-1)、C(1,1,1) (1)若点P满足2=2P官，求C (2)求△ABC的面积 6.(24-25高二上·上海吴淞中学.月考)已知空间三点A(0,-2,3),B(-2,-1,6),C(1,1,5). (1)求： (2)若向量品与A平行，且=27，求的坐标. 题型四投影向量 1.(24-25高二下上海复旦中学月考a=(-2,1,0),=(1,0,1),则向量在向量6上的投影向量 是」 2.(24-25高二上上海杨浦高级中学.期末)已知向量a=(1,-1,3),石=(-1,0，-1)，则a在6上的投影向 量的坐标是 3.(24-25高二上上海黄浦区·调研)给定点A1,0,0),B(21,1),C5,-4,3),则AC在A2方向上的数量投影 为 4.24-25高二上.上海行知中学月考)已知向量=（-2,21，石=(1,1,0)，则后-6在6方向上的数量投影 为 题型五单位向量 1.(24-25高三下上海延安中学)已知向量a=(2,1,-1),则的单位向量的坐标为 2.(24-25高二上.上海格致中学月考)已知向量a=（1,2,-2,那么3方向上的单位向量为」 题型六夹角问题 3/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25高二上上海桃浦中学已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,-1),则a与6的夹角大小 为 2.(24-25高二上上海静安区新中高级中学.期中)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),则与6的夹 角为■ 3.(24-25高三上·上海曹杨第二中学·月考已知向量a=(1,0,2),石=(2,1,0)，则(a,）= 4.如图，BC=2,坐标原点0是BC的中点，点A的坐标为（⑨，专0. 点D在平面yOz上，且 ∠BDC=90°，∠DCB=30°. (1)求向量C的坐标： 2)求AD与BC的夹角的余弦值. 题型七空间向量的数量积 1.(23-24高二上河北月考若a=(-1,2,-1),6=(1,3,-2),则(a+)·（-26)=() A.-29 B.-22 C.22 D.29 2.(24-25高二上·上海宝山中学期中)在空间直角坐标系中，点A-2,3,1)关于Oxy平面的对称点为B,则 OA.0克=一 3.(23-24高二下·上海青浦区·调研)在空间直角坐标系中，点A2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B,则 0A.0B=一 4.23-24高二下.上海行知中学期中)已知=(-1,2,0)，=(2,01)，则 (2a+36)·（a-6)= 题型八空间向量的平行 1.24-25高二上上海北中学期中)已知向量a=(-m1,3)平行于向量b=(2n1,则m+n= 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26高二上上海大学附属中学月考)设向量ē1,2,3不共面，已知A=-3已1-2十223， B元=色1+263，Ci=41+22+8E3,若4，C,D三点共线，则入= 3.(24-25高二下.上海行知中学月考)向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且（a+kb)//(2+6), 则实数k= 4.(24-25高二下.上海复旦大学附属中学)已知直线1的一个方向向量为五=（-3,2，-1)，平面c的一个法向 量为i=(tt+19,若1//&，则t= 题型九空间向量的垂直 1.(25-26高三上上海建平中学已知空间向量=(2,10，石=（-1，m1)且1，则实数 m= 2.(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校期中)已知直线1的一个方向向量为=(1，-2,3)，平面的 一个法向量为i=(t,t+1,s),若1上，则s+t=一 3.(24-25高二上·上海南洋模范中学.期末)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设 a=A成，6=A元 (1)若=3，且B元，求向量： (2)求以三，b为一组邻边的平行四边形的面积S 4.24-25高二下.上海行知中学月考)已知向量a=(x,1,1),b=(-2,2,y),满足京16，则2x-y=(） A.-1 B.1 C.-2 D.2 题型十锐角钝角问题 1.(24-25高二下.上海宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学期中)已知空间向量a=（1,1,入)， =(-2,2-2,入-6，若京6的夹角为钝角，则实数入的取值范围为一 2.(24-25高二上.上海桃浦中学)已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1+1,4,3),若AB,AC的夹角为 锐角，则入的取值范围为」 3.(24-25高二上·上海中学·期中)已知空间向量=(1，-1,2)，b=(t,1,t-1)的夹角是钝角，则实数t的 取值范围是 4.(23-24高二下.上海大学附属中学.期中)已知空间向量a=(x1,-2)与b=(1,-1,2)夹角为钝角，则 实数x的取值范围为。 5/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(23-24高二上上海三林中学东校)已知向量a=(2,3,-1),b=(-4,t,2),若与6的夹角为钝角， 则实数t的取值范围为一， 题型十一共面问题 1.(24-25高二上·上海师范大学附属中学宝山分校、上海师范大学附属中学闵行分校期末)已知 =(2,-1,3),b=(-1,4,-2),=(1,3,1),若a、6三个向量共面，则实数的值等于() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25高一上.上海嘉定区中光高级中学期中)设mER,向量=(2，-1,2)，乙=(-1,4，-2)， c=(3,m,4),若向量a、b、共面，则m的值是(). A.-5 B.-3 C.3 D.5 3.(25-26高二上上海曹杨第二中学月考)已知x∈R,向量a=(3,x,2),石=(0,1,2)，元=(12,0)，若 a、、飞是共面向量，则x=一 4.24-25高二下.上海曹杨第二中学.月考)已知x∈R,空间向量=(3,1,2)，b=(11,-1), =(5,x0).若a,b,共面，则x= 5.(24-25高二下.上海浦东新区·期末)给定点A(1,0,0)、B(3,1,1)、C(2,0,1)与点D(5,-4,3). (1)求A⑦在B元上的投影向量； (2)判断四点A、B、C、D是否共面？ B 能力提升题 题型一模长最值与取值范围 1.(25-26高三上上海复且大学附属中学·月考)已知空间向量0B1、0B2、0B3两两垂直，空间中点A满足 A丽=|A丽=A丽引=1，记O=0B1+OB2+OB3,则A的取值范围为 2.(25-26高三上上海曹杨第二中学.开学考)正方体ABCD-AB1C1D1棱长为4，点P满足P=1,点Q满 足A0=λA元+(1-)AA,则亚-A0的最小值为一 3.(24-25高二上.上海行知中学期末)已知0(0,0,0)，A(1,2,1),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线 OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是， 6/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.22-23高二下.上海宝山区期末)已知京、6是空间相互垂直的单位向量，且=8,2.京=2.6=2√6 ,则-ma-n的最小值是一 5.(21-22高二上3.1.3空间两点间的距离公式（习题)-)点Px,y,2的坐标满足x2+y2+z2=1,点 A-2,3,V3,则PA的最小值是一，|PA4的最大值是一 题型二新定义问题 1.定义一个集合0，集合中的元素是空间内的点集，任取P1P2P3E几，存在不全为0的实数入1入2入3， 使得入10P1+λ20P2+入30F3=0.已知(10,0)E2,则(0,01)En的充分条件是() A.(0,0,0)∈n B.(-1,0,0)∈2 c.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 2.已知棱长均为1的正n棱柱有2和个顶点，从中任取两个顶点作为向量a的起点与终点，设底面的一条棱 为AB,若集合An={xk=,A},则当A.中的元素个数最少时，n的值为() A.3 B.4 C.6 D.8 3.已知向量=(a,b,0),i=(,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题： ①向量元与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c,d无关）； ②元的最大值为y2: ③（五）位的夹角)的最大值为妥； ④若定义立×节=：si(立，)，则方×列的最大值为√2. 其中正确的命题有一·（写出所有正确命题的序号） 4.已知a=(&y12),b=(x2y2z2),c=(x3y3),定义-种运算： (a×b)·c=x1y,3+x2y21+xy122~xy322x2y2g~xy21,已知四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是一个平行四边形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1) (1)求证：PA⊥面ABCD; (2)根据上述定义，计算(AB×AD)·AP的绝对值的值： (3)求四棱锥P-ABCD的体积，说明(AB×AD)·AP的绝对值的值与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由 此猜想向量这一运算(AB×AD)·AP的绝对值的几何意义. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展培优题 1.(24-25高二上上海嘉定区第二中学期中)已知正四棱柱A1A2A3A4-B1B2BB4的底面为边长为2，高为3， 则集合{xx=A1B1ABie{1,23,4},je{1,2,3,4}}中元素的个数为() A.1 B.2 C.4 D.8 2.在四棱锥S-ABCD中，若SA=xSB+yS元+zSi,则实数组(x,y,z)可能是() A.(1,-1,1)B.(1,0,-1) c.(1,0,0) D.(1,-1,-1) 3.(23-24高二下.上海吴淞中学调研)已知=（1，-2,4，石=(2,1,2，则与向量京6共面的向量是() A.(2,1,5) B.5,0,8 Cc.（-2,1,4) D.(-2,36 4.(24-25高二上·上海南洋模范中学.期末)空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在x0y平面，y0z平面， x0z平面上的射影长分别为5，√41,34，则这条线段的长为 5.已知空间向量A=(0,1,-2),Ad=2,(A店，AC)=弯，则A.B元=一 6.(24-25高二上·上海华东师范大学附属周浦中学.期中)已知空间中三点A(-1,1,1),B(0,2,1), C(-2,1,3) (1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标； (2)当k·A亚+AC与k·A面-2AC的夹角为钝角时，求k的范围. 7.(23-24高二上.上海交通大学附属中学.期末)在空间直角坐标系中，设A(0,2,3)、B(-2,1,6)、 C(1,-15)、D(3,3,4). (1)设=（-2,0，-8)，石=A丽+A,求的坐标，并判断a、石是否平行： (2)求AB、AC的夹角6，以及AB、AC为相邻两边的三角形面积S. 8/8