专题3.3 空间向量的坐标表示 (3大知识点+11大题型+能力提升） 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.3 空间向量的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz； (2)相关概念：叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分．　　　　 知识点二　空间向量的坐标 1．空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中叫做点A的横坐标，叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标． 2．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点一　空间向量的坐标运算 3．空间向量的坐标运算 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点三　空间向量的相关结论 1．空间向量的平行、垂直及模和夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)． (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝||＝. 知识点一、求空间点的坐标与向量的坐标 题型01：求空间点的坐标 【例1】棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点．分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，建立x轴，y轴，z轴，则B1C与BC1的交点E的坐标为　 　． 【解题思路】可画出图形，根据题意即可知点E为对角线B1，C的中点，可求出点B1，C的坐标，然后根据中点坐标公式即可求出点E的坐标． 【解答过程】解：如图， 据题意知，点E为B1C的中点， ∵B1（2，2，2），C（0，2，0）， ∴E（1，2，1）． 故答案为：（1，2，1）． 【例2】在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【解析】设D的坐标为， 平行四边形ABCD的顶点， 故，即， 则，即D的坐标为， 故答案为： 【例3】已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ． 【答案】 【解析】设，则，， ∴由得：， ∴，解得：， ∴点坐标为：. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为平行四边形，得到，设，将向量用坐标表示后，代入上式即可求解. 【详解】为平行四边形，,设，则， ，解得. 故选：D. 2．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标． 【详解】解：点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 3.已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 4.如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E，则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO，由此能求出点A1的坐标． 【解答过程】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°， BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形， 如图建立空间直角坐标系O﹣xyz， 过A1作A1E⊥平面BCC1B1，垂足是E，连结B1E，C1E， 则B1E∥OC1，C1E∥OB1，A1E∥AO， ∴点A1的坐标为（，1，1）． 故选：B． 题型02：求向量的坐标表示 【例4】已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【解析】根据题意可得， 又E，F分别为棱，的中点，可得， 利用向量坐标运算法则可得，即； ，即； ，即； 所以可得，，. 【例5】在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（　　） A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3） 【解题思路】根据空间向量的坐标表示，求出点的坐标，再求出线段AB的中点坐标． 【解答过程】解：空间直角坐标系O﹣xzy中，点A（3，﹣1，0），所以（3，﹣1，0）， 又向量，且， 所以（7，9，﹣6），即点B（7，9，﹣6）； 所以线段AB的中点坐标为（，，），即（5，4，﹣3）． 故选：C． 【跟踪训练】 1.在空间直角坐标系中，若A（1，1，0），（3，0，1），则点B的坐标为（　　） A．（﹣5，1，﹣2） B．（7，1，﹣2） C．（3，0，1） D．（7，1，2） 【解题思路】设点B的坐标为B（x，y，z），则（x﹣1，y﹣1，z﹣0）＝（3，0，1），由此能求出结果． 【解答过程】解：在空间直角坐标系中，A（1，1，0），（3，0，1）， 设点B的坐标为B（x，y，z）， 则（x﹣1，y﹣1，z﹣0）＝（3，0，1）， 解得x＝7，y＝1，z＝2． ∴点B的坐标为（7，1，2）． 故选：D． 2.在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 【解析】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. 3.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 【解析】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． 则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 题型03：空间点的对称问题 【例6】已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于（    ） A．(0,4,2) B．(-2,0,0) C．(0,-4,-2) D．(2,0,-2) 【答案】C 【分析】根据空间中点与点的对称性，容易求得两点的坐标，即可得向量. 【详解】因为A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，故； 又点B关于x轴的对称点为C，故， 故. 故选：C. 【点睛】本题考查空间中点关于面的对称点的求解，属基础题. 【跟踪训练】 1.已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】空间点关于轴对称，横坐标不变，另外两个坐标相反， 所以关于轴的对称点为.故选：B 2.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中， 点关于原点的对称点坐标为．故选：C． 知识点二、空间向量的坐标运算 题型04：空间向量的加减与数乘运算 【例7】已知，则 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知向量=(1，2，3)， =(-1，0，1)，则=（    ） A．(-1，2，5) B．(-1，4，5) C．(1，2，5) D．(1，4，5) 【答案】A 【分析】结合空间向量的加法运算求解即可 【详解】=(1，2，3)+2(-1，0，1)=(1，2，3)+(-2，0，2)=(-1，2，5)， 故选：A. 2．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，， ∴，， ∴． 故选：C. 题型05：空间向量的数量积 【例8】已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】 故选：A. 【跟踪训练】 1.已知，，则（    ） A． B． C．9 D．19 【答案】B 【分析】由空间向量的数量积坐标公式即可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则. 故选：B 2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系计算求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为四边形是矩形，所以， 以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，则， 所以，，所以． 故选：B 题型06：空间投影向量的坐标计算 【例9】已知点、、，则向量在上的投影向量是 . 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算，结合投影向量的定义可求得向量在上的投影向量的坐标. 【详解】因为点、、，则，， 所以，，， 所以，向量在上的投影向量是 . 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】, 所以在上的投影向量为. 故选：D 2.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据投影向量的计算方法求得正确答案. 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量． 故选：A 知识点三、利用空间向量的坐标运算解决空间中的几何问题 题型07：空间向量的模与两点间的距离 【例10】在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点O的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解. 【详解】，，由中点坐标公式，得， 所以. 故选：A 【例11】已知向量，则（    ） A． B．18 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量的线性坐标运算得，然后利用模的坐标运算公式求解即可. 【详解】因为向量，所以， 所以. 故选：A 【跟踪训练】 1.已知向量，则（    ） A． B．8 C．3 D．9 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算及模的坐标表示计算即得. 【详解】由向量，得， 所以. 故选：C 题型08：空间向量夹角问题 【例12】已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】依题意可得且与不反向，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为、，且与夹角为钝角， 则且与不反向， 若，则，解得， 若与反向，设，则，解得， 综上可得的取值范围是. 故选：D 【跟踪训练】 1.已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】首先求出与，再根据计算可得. 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 故选：B 2．已知，，若与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】∵，， ，，， ∴，可得，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题． 3.已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 题型09：空间向量的平行与垂直 【例13】已知向量，． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，且，求实数x，y的值． 【答案】(1), (2)或 【详解】（1）由∥可得，存在实数使， 即，解得,,; （2）若，则①， 由，则②， 两式联立解得或. 【跟踪训练】 1.设，，若空间向量与平行，则 . 【答案】 【解析】因为空间向量与平行 所以存在唯一实数，使得. 则，解得，即 所以. 故答案为：. 2.已知向量，若，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 3.已知空间向量且与互相平行，则实数的值 . 【答案】2 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】由条件可知， 因为与互相平行，所以， 解之得. 故答案为：2 题型10：空间向量共线和共面问题 【例13】若三点共线，则 ． 【答案】 【解析】，且三点共线， 存在实数，使得． 即， 解得 故答案为：. 【例14】已知点.若点在平面内，则x= . 【答案】-2 【解析】， 因为点在平面，所以存在使得， 即， 故，解得. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知空间三点，，共线，则 ． 【答案】 【解析】由已知得：. 因为三点共线,所以. 所以，解得：. 所以. 故答案为:. 2.已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算结合空间向量共面定理可设存在实数使得：，列方程组求解的值即可. 【详解】因为，，， 若，，共面，则存在实数使得：， 则，解得. 故选：D. 3.已知，且共面，则 ． 【答案】/0.8 【解析】由题意知，共面， 则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 4.已知空间四点，，，共面，则 【答案】6 【解析】依题意，， 由空间四点，得共面， 则存在，使得， 因此，解得， 所以. 故答案为：6 5.已知向量，，.若，，共面，则（   ） A．11 B． C．9 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共面列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，，，共面， 所以存在，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 6.已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四点共面，可得共面，再根据空间向量共面定理求出，再求出向量在上的投影长度即可. 【详解】因为四点共面， 所以共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以， 向量在上的投影向量的模即为向量在上的投影长度， 所以向量在上的投影向量的模为. 故选：D. 一、填空题 1.已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 2.在空间直角坐标系中，已知点，则 . 【答案】 【解析】. 故答案为： 3.已知点，，，则在上的投影向量的模为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以，， 所以，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案为： 4.已知向量 ， 且， 则实数 ． 【答案】5 【解析】因为 ， 所以存在实数， 使得，即 ， 所以 ，解得，，，所以 故答案为：5 5.，若，则实数值为 . 【答案】2 【解析】，则， 又，则，解得. 故答案为：2 6.已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为四点共面，又， 所以，可得，所以，， 则，， 所以，，， 所以，由， 所以，即的夹角为. 故选：C 7.已知，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，∴，解得，即. 又∵，注意到，则，使得， ∴，解得，故. ∴， ∴，又， ∴. 故选：B. 8.已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【解析】由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设， 则，解得． 故选：C. 9.已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 10．已知点，，，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】点，，则 设点，则 由，则 ，即， 所以点的坐标为，故答案为： 11．已知向量，，若与垂直，则___________. 【答案】 【解析】与垂直，， 则，解得：， ， 则， .故答案为：. 12.（2020秋•鼓楼区校级期末）已知动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为（　　） A．（0，） B．（0，） C．（，1） D．（，1） 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即0，从而可求λ的取值范围． 【解答过程】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1） ∴（1，1，﹣1），∴设（λ，λ，﹣λ）， ∴（﹣λ，﹣λ，λ）+（1，0，﹣1）＝（1﹣λ，﹣λ，λ﹣1）， （﹣λ，﹣λ，λ）+（0，1，﹣1）＝（﹣λ，1﹣λ，λ﹣1）， 由图知∠APC不是平角，∴∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0， ∴0， ∴（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2＝（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0， 解得λ＜1 ∴λ的取值范围是（，1） 故选：C． 二、选择题 13.已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】∵， ∴，， ∴在上的投影向量为， 故选：C. 14.（2020秋•太原期末）已知（1﹣t，1，0），（2，t，t），则||的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 【解题思路】利用向量的坐标运算法则得到（1+t，t﹣1，t），从而||，由此能求出当t＝0时，||取最小值． 【解答过程】解：∵（1﹣t，1，0），（2，t，t）， ∴（1+t，t﹣1，t）， ∴|| ， ∴当t＝0时，||取最小值． 故选：B． 15.（2020秋•太原期末）已知（1，﹣1，2），（﹣1，m，n），若λ，则实数m，n的值分别是（　　） A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，2 【解题思路】根据空间向量共线的坐标表示，列方程求出m、n的值． 【解答过程】解：（1，﹣1，2），（﹣1，m，n）， 若λ，则， 解得m＝1，n＝﹣2． 故选：A． 16.（2020秋•临沂期末）若向量（0，1，﹣1），（1，1，0），且（λ）⊥，则实数λ的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1 【解题思路】利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答过程】解：∵（λ）⊥， ∴（λ）•λ×（0+1+0）＝0， 解得λ＝﹣2． 故选：C． 三、解答题 17．（2020秋•吉林期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【解题思路】（1）设，则由题可知，解出即可得出． （2）由向量与向量共线，可得．再利用向量夹角公式即可得出． 【解答过程】解：（1）设，则由题可知解得或 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 18．（2020春•东阳市校级月考）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为． （1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； （2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 【解题思路】（1）推导出，，由BB1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，得到，．从而•（）•（）＝0，由此能证明AB1⊥BC1． （2）推导出•||•||•cos，1．||＝||，从而cos，，由此能求出侧棱长． 【解答过程】证明：（1），． 因为BB1⊥平面ABC， 所以•0，•0． 又△ABC为正三角形， 所以，π，π． 因为•（）•（） ••• ＝||•||•cos，1+1 ＝0， 所以AB1⊥BC1． 解：（2）由（1）知•||•||•cos，1． 又||||， 所以cos，， 所以||＝2， 即侧棱长为2． 19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． （1）求cos，的值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离． 【解题思路】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的值． （2）设在侧面PAB内找一点N（a，0，c），使NE⊥平面PAC，利用向量法列方程组求出N（，0，1），由此能求了N到AB和AP的距离． 【解答过程】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形 侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（，1，0），P（0，0，2），B（，0，0）， （），（）， ∴． （2）设在侧面PAB内找一点N（a，0，c），使NE⊥平面PAC， D（0，1，0），E（0，，1），（﹣a，，1﹣c）， （0，0，2），（）， ∴，解得a，c＝1， ∴N（，0，1）， ∴N到AB的距离为1，N 到AP的距离为． 20.已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【解析】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 21.如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 【解析】（1）， 因为， 所以， 则 ， 所以的长为； （2）， 因为，所以， 即，即，解得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 专题3.3 空间向量的坐标表示 知识点一　空间直角坐标系 1．空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz； (2)相关概念：叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°，所以三个坐标平面把空间分成八个部分．　　　　 知识点二　空间向量的坐标 1．空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中叫做点A的横坐标，叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标． 2．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 知识点一　空间向量的坐标运算 3．空间向量的坐标运算 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点三　空间向量的相关结论 1．空间向量的平行、垂直及模和夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)． (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝||＝. 知识点一、求空间点的坐标与向量的坐标 题型01：求空间点的坐标 【例1】棱长为2个单位的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以D为坐标原点．分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，建立x轴，y轴，z轴，则B1C与BC1的交点E的坐标为　 　． 【例2】在空间直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点，则顶点D的坐标为 ． 【例3】已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ． . 【跟踪训练】 2.若四边形ABCD是平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 4.已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5.如图三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1＝60°，BC1交B1C于点O，AO⊥侧面BB1C1C，且△AB1C为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则点A1的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型02：求向量的坐标表示 【例4】已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.    【例5】在空间直角坐标系O﹣xzy中，已知点A（3，﹣1，0），向量，则线段AB的中点坐标为（　　） A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3） 【跟踪训练】 1.在空间直角坐标系中，若A（1，1，0），（3，0，1），则点B的坐标为（　　） A．（﹣5，1，﹣2） B．（7，1，﹣2） C．（3，0，1） D．（7，1，2） 2.在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 3.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标． 题型03：空间点的对称问题 【例6】已知A(1,2,-1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则等于（    ） A．(0,4,2) B．(-2,0,0) C．(0,-4,-2) D．(2,0,-2) 【跟踪训练】 1.已知点，点A关于x轴的对称点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为（ ） A． B． C． D． 知识点二、空间向量的坐标运算 题型04：空间向量的加减与数乘运算 【例7】已知，则 . 【跟踪训练】 1.已知向量=(1，2，3)， =(-1，0，1)，则=（    ） A．(-1，2，5) B．(-1，4，5) C．(1，2，5) D．(1，4，5) 2．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型05：空间向量的数量积 【例8】已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【跟踪训练】 1.已知，，则（    ） A． B． C．9 D．19 2.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 题型06：空间投影向量的坐标计算 【例9】已知点、、，则向量在上的投影向量是 . 【跟踪训练】 1.已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量（    ） A． B． C． D． 知识点三、利用空间向量的坐标运算解决空间中的几何问题 题型07：空间向量的模与两点间的距离 【例10】在空间直角坐标系中，已知，，则MN的中点P到坐标原点O的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【例11】已知向量，则（    ） A． B．18 C． D． . 【跟踪训练】 1.已知向量，则（    ） A． B．8 C．3 D．9 题型08：空间向量夹角问题 【例】已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，若与的夹角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 题型09：空间向量的平行与垂直 【例12】已知向量，． (1)若，求实数x，y的值； (2)若，且，求实数x，y的值． 【跟踪训练】 1.设，，若空间向量与平行，则 . 2.已知向量，若，则 . 3.已知空间向量且与互相平行，则实数的值 . 题型10：空间向量共线和共面问题 【例13】若三点共线，则 ． 【例14】已知点.若点在平面内，则x= . 【跟踪训练】 1.已知空间三点，，共线，则 ． 2.已知，，，若，，共面，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．－1 3.已知，且共面，则 ． 4.已知空间四点，，，共面，则 5.已知向量，，.若，，共面，则（   ） A．11 B． C．9 D．3 6.已知向量，若四点共面，则向量在上的投影向量的模为（   ） A．12 B． C． D． 一、填空题 1.已知，则 ． 2.在空间直角坐标系中，已知点，则 . 3.已知点，，，则在上的投影向量的模为 . 4.已知向量 ， 且， 则实数 ． 5.，若，则实数值为 . 6.已知，，三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且=x+2x+4，则的夹角为______ 7.已知，，则与的夹角为______ 8.已知，，，若P，A，B，C四点共面，则_______ 9.已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 10．已知点，，，则点的坐标为______． 11．已知向量，，若与垂直，则___________. 12.已知动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1（不含端点）上．设λ，若∠APC为钝角，则实数λ的取值范围为_______ 二、选择题 13.已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 14.已知（1﹣t，1，0），（2，t，t），则||的最小值是（　　） A．1 B． C． D． 15.已知（1，﹣1，2），（﹣1，m，n），若λ，则实数m，n的值分别是（　　） A．1，﹣2 B．﹣1，﹣2 C．1，2 D．﹣1，2 16.若向量（0，1，﹣1），（1，1，0），且（λ）⊥，则实数λ的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1 三、解答题 17.已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 18.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为． （1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； （2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． 19．（2020秋•台江区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． （1）求cos，的值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到AB和AP的距离． 20.已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 21.如图：三棱柱中，，是的中点． (1)求的长； (2)若点是棱所在直线上的点，设，当时，求实数的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $