3.2空间向量的基本定理（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

3.2空间向量的基本定理 题型一 判断空间向量共面 1．(24-25高二下·上海闵行中学·月考)已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据向量基底的概念证明必要性，然后举出反例说明“不充分”，由此得出正确选项. 【详解】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来， 即共面，所以“必要性”成立. 当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立. 所以是必要不充分条件. 故选：B. 2．(23-24高二上·上海吴淞中学·月考)已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 3．(24-25高二上·上海风华中学·期末)有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 题型二 空间向量共面求参数 1．(22-23高二上·上海青浦高级中学·期末)已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 2．(24-25高二下·上海复旦中学·月考)已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 3．(24-25高二上·上海宝山中学·期中)若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 4．(24-25高二上·上海宝山区上海存志高级中学·月考)已知空间四点A、、、共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中不在平面上的任意一点，若，则 【答案】 【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决． 【详解】因为，即， 整理得， 由A、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得，解得. 故答案为：． 题型三 空间向量的基底辨析 1．(24-25高二上·上海南洋中学·)已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面定理逐一判断选项中的三个向量是否共面即可得出结论. 【详解】由向量是空间的一组基底可知不共面， 对于A，易知，即，，共面，可得A错误； 对于B，易知，即，，共面，可得B错误； 对于C，不存在实数对满足，因此，，不共面，可以作为基底，即C正确； 对于D，易知，即，，共面，可得D错误. 故选：C 2．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 3．(24-25高二下·上海朱家角中学·)若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 题型四 用基底表示向量 1．在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，，，，，用基底表示向量 . 【答案】 【分析】应用空间向量加减数乘的几何意义，将用表示出来，即可得答案. 【详解】 . 故答案为： 2．(23-24高二上·贵州“三新“”改革联盟·)是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 . 【答案】3 【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值. 【详解】 ，且 . 故答案为：3 3．已知为空间的一个基底，且，，，． (1)判断、、、四点是否共面； (2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由． 【答案】(1)、、、四点不共面 (2)能， 【分析】（1）求出、、，假设、、、四点共面，则存在、使得，根据空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解方程组可得出结论； （2）若、、共面，则存在实数、，使，根据空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解方程组可得出结论；设，、、，根据空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解】（1）解：因为，，，， 则，， ，显然、不共线， 假设、、、四点共面，则存在、使得， 即， 所以，，该方程组无解， 假设不成立，故、、、四点不共面. （2）解：若、、共面，则存在实数、，使， 所以， 所以，，该方程组无解，所以，、、不共面， 所以，可以作为空间的一组基底， 设，、、， 即， 所以，，解得， 因此，. 4．(23-24高二上·重庆育才中学校·月考)如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【点睛】空间向量解决空间几何中点的存在性问题或轨迹问题，可将几何问题转化为代数问题，化繁为简，可大大节省思考量. 题型五 基底的应用 1．(24-25高二下·上海嘉定区第一中学等四校·期中)已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 2．(24-25高二下·上海外国语大学附属外国语学校·期中)如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .    【答案】 【分析】由，结合已知可得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以，又， 所以，所以，因为共面， 所以，解得. 故答案为： 3．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期末)如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【答案】 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海延安中学·期末)在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量的运算，结合向量共线定理即可求得使、、三点共线的的值. 【详解】由题意可知， ，，则， ， ，，三点共线，，． 故答案为：. 题型一 动点最值问题 1．(25-26高三上·上海延安中学·调研)正四面体的棱长为1，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性关系，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体，再利用棱柱、棱锥体积公式求体积. 【详解】由题意，动点的轨迹所形成的空间区域是以为邻边的平行六面体除去正四面体余下的部分， 如图所示，为的中点，为四面体的高， 已知是正四面体，可得，则，， 所求体积. 故选：B 2．(24-25高二下·上海复旦大学附属中学·)如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 3．(24-25高二上·上海嘉定区第一中学·期末)如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点为线段上靠近的三等分点，点为线段上靠近的三等分点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】连接，令，得到，根据F， P，Q， R四点共面，结合基本不等式，求得，设点到平面的距离为，得到点到平面的距离为，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得 ； 令，则，所以， 由F， P，Q， R四点共面，可得， 当且仅当时取等号，所以； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又因为，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 4．(24-25高二上·上海崇明中学·期中)正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点，与交于点，且. (1)用向量方法求线段的长； (2)对于个向量、、…、，如果存在不全为零的个实数、、…、，使得，则称这个向量、、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个向量、、是否线性相关，并说明理由. 【答案】(1) (2)、、线性无关 【分析】（1）用表述，结合向量垂直的数量积形式可求线段的长； （2）设，利用基底法可求，故可判断它们线性无关. 【详解】（1）由题设可得， ， 故， 整理得到，故. （2）令， 则， 整理得到， 故，解得， 故、、线性无关. 5．已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值． 【答案】/ 【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围. 【详解】设， 则 ， 又， ， ， 设，则， 所以，即． 由题设可得，故且， 故， 解得，故． 当且仅当，时等号成立． 故的最大值为． 题型二 轨迹问题 1．点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为 . 【答案】/ 【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体的体对角线是，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到扫过的区域的体积即可. 【详解】图，作出正四面体，    将正四面体放入正方体中，如下图所示：    则是该正方体的中心， 设该正方体的棱长为，则，解得：， 又，， 则知扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：    可得动点扫过的区域的体积为该正方体体积的倍， 即动点扫过的区域的体积. 故答案为：. 2．如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得. 【详解】解：因为成立，所以共面，即平面， 如图，取中点，连接、、， 根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，， 由勾股定理得， 故答案为：. 1．(24-25高二下·上海奉贤区·期末)如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ）          A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设基底为，选项中涉及到的向量都用基底表示出来，再验证各个选项是否正确. 【详解】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又 ，故C错误. 故选：D. 2．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【分析】以为基底结合图形，利用空间向量的线性运算推理作答. 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有 ，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 3．(24-25高二上·上海青浦高级中学·期末)已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．(24-25高二上·上海宝山区上海存志高级中学·月考)在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把A到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 5．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】由条件可知，延长与交于，连接， 因为平面， 平面，平面平面， 所以∥， 令，， 则有 ， ， 根据向量基底表示法的唯一性， 得解得 ∥， ，， ． 故选：D． 6．(24-25高二上·上海浦东新区上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)在正方体中，已知棱，点E为线段上一点，则的值为 . 【答案】 【分析】将分别用，再根据空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】设， 则 ， ， 所以 . 故答案为：. 7．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 【答案】 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.2空间向量的基本定理 题型一判断空间向量共面 题型二空间向量共面求参数 基础达标题 题型三空间向量的基底辨析 题型四用基底表示向量 空间向量的基本定理 题型五基底的应用 题型一动点最值问题 能力提升题 题型二轨迹问题 拓展培优题 基础达标题 题型一判断空间向量共面 1.(24-25高二下.上海闵行中学月考)已知向量，乃是平面α的两个不共线向量，非零向量c是直线1的一个 方向向量，则，，三个向量共面"是“1//α”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(23-24高二上·上海吴淞中学.月考)已知空间非零向量a、b、c,则下列命题中正确的是() A.若a,6、C共面，那么3、6、中至少存在一对向量共线 B.若，bc(6,c不共线)共面，那么存在一组实数对（几），使得=石+ C.若、b、c不共面，那么a、b、所在直线中至少存在两条直线异面 D.若a石、不共面，那么石、所在直线中不可能存在两条直线异面 3.(24-25高二上·上海风华中学期末)有以下命题： ①若节=xa+yb(xyER),则时与、6共面； ②若)与ā、6共面，则市=xa+yb(x,yER): 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③若MP=xAW+yMB(xyER),则M、P、A、B共面： ④若M、P、A、B共面，则M2=xAM+yMB(x,yER)· 则所有真命题的序号是 题型二空间向量共面求参数 1.(22-23高二上·上海青浦高级中学.期末)已知0为空间任意一点，AB,C,P满足任意三点不共线，但四点 共面，且BP=mOA+O+OC则m的值为() A.-1 B.2 C.-2 D.-3 2.(24-25高二下.上海复日中学月考)已知{，石}是空间的一组基底，其中AB=2-36,AC=京-， A=26+2,若AB,C,D四点共面，则7= 3.(24-25高二上上海宝山中学.期中)若E1,E2,3是三个不共面的非零向量，a=2E1-已2+E3 乙=-可+4可2-2日，=可+2E2+,若向量，元，共面，则以=一 4.(24-25高二上·上海宝山区上海存志高级中学.月考)已知空间四点A、B、C、D共面，且其中任意三点均 不共线，设P为空间中不在平面ABCD上的任意一点，若B=6PA-4PB+λP元，则= 题型三空间向量的基底辨析 1.(24-25高二上上海南洋中学)已知向量{京，b,}是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是 () A.京+b,a,a-b B.a+6,6,a-6 c.a+b,c,a-b D.a+b,2a-6,a-6 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=AA1,=DB1,若、、组成空间向量的一个 基底，则可以是() D D 夕 A.BB1 B.BC C.BD D.BD 7 3,24-25高二下.上海朱家角中学若{1e2e3}是空间的一个基底，且向量a=1+e2:b=e2十eg' 2/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 c=e1+te3不能构成空间的一个基底，则实数t= 题型四用基底表示向量 1.在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O,点G为BD上一点， BG=2GD,PA=a,P2=b,P元=，用基底a,6,表示向量P= 2.(23-24高二上贵州“三新“改革联盟{意石，}是空间的一个基底，向量市=3a++, {a+石，a-6,}是空间的另一个基底，向量前=x(a+)+y(a-)+c,则x+y= 3.已知{EE2E3}为空间的-个基底，且02=2日1-E2+3E3,0A=可+2可2-3， Oi=-3日1+2+2e3,0元=可+E2-E3 (1)判断P、A、B、C四点是否共面： (2)能否以{OAOB,0C}作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示O；若不能，请说明理由. 4.(23-24高二上·重庆育才中学校·月考)如图，己知四棱锥T-ABCD的底面为平行四边形，平面与直线 AD、TA、TC分别交于点P、Q、R,且满足器=器=器=x点M在直线TB上，N为棱CD的中点， 且直线MN//平面. R (1)设TA=a,T方=6，T元=仑，试用基底{石，表示向量TD: (2)若点M的轨迹长度与棱长TB的比值为μ，试讨论μ是否为定值，若μ为定值，请求出μ，若μ不为定值， 请说明理由. 3/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型五基底的应用 1.(24-25高二下.上海嘉定区第一中学等四校期中)已知三棱锥P-ABC的体积为6，M是空间中一点， PM=-是PA+是PB+P元，则三棱锥A-MBC的体积是(） A.5 B.4 C.3 D.2 2.(24-25高二下.上海外国语大学附属外国语学校期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中， P厅=F,P它=2E,设平面AEF与直线PC交于点G,PG=GC,则λ= B 3.(24-25高二上·上海交通大学附属中学期末)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=AD=AA=2,若M为AD1中点，则|BM|=一 D M C A D 4.(24-25高二上·上海延安中学期末)在空间四边形0ABC中，M为0A中点，N为BC的中点，若 OG=OA+等OB+等OC,则使G、M、N点共线的x的值是 G B B 能力提升题 题型一动点最值问题 1.(25-26高三上·上海延安中学调研)正四面体0ABC的棱长为1，若 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O=xOA+yO+z0(0≤x,y,z≤1)且满足x+y+z≥1，则动点P的轨迹所形成的空间区域的 体积为() A.是 B.5/2 12 c.52 6 D. 2.(24-25高二下.上海复旦大学附属中学)如图，在正四面体A1A2A3A4中，点A5、A6、A7、A8、Ag、A10 分别是所在棱的中点，空间中的点P满足A42=xA4A1+yA4A2+zA4A且x+y+z=1,当4取到 最小值时，记此时的点P为P0,则当1≤i、j≤10且i≠时，数量积A4。·A4A,的不同取值的个数是 A A2 3.(24-25高二上·上海嘉定区第一中学.期末)如图所示，四面体ABCD的体积为V,点M为棱BC的中点，点 E为线段DM上靠近D的三等分点，点F为线段AE上靠近A的三等分点，过点F的平面a与棱AB,AC,AD分 别交于P,Q,R,设四面体APQR的体积为V,则？的最小值为 B 方以D M C 4.(24-25高二上.上海崇明中学期中)正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形， A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AM⊥BN (1)用向量方法求线段AA1的长： 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)对于n个向量司、2、、，如果存在不全为零的n个实数入1、2、、使得 入1司+入22十··+入m=0,则称这n个向量司1、2、…、线性相关，否则称其线性无关.试判断三个 向量A、B、C是否线性相关，并说明理由 5.已知空间向量0A、OB、O元都是单位向量，且OA102,OA10元，O与0元的夹角为60°，若P 为空间任意一点，且可=1，满足o币.0d≤o.0≤可.0A,求0币.0元的最大值. 题型二轨迹问题 1.点0是正四面体A1A2A3A4的中心，|0A=1(i=1,2,3,4).若 O2=110A+120A2+130A+入40A,其中0≤：≤1(i=1,2,3,4),则动点P扫过的区域的体积 为 2.如图，己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱AD、B1C1上的中点，若点P为侧面 正方形ADDA1内（含边）动点，且存在x、y∈R,使B1P=xBE+yBF成立，则点P的轨迹长度 为 A D B 拓展培优题 1.(24-25高二下.上海奉贤区·期末)如图，在边长为2的正四面体P-ABC中，N是△ABC的中心，则下列 正确的是() 6/8 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P A,PAB元=4 B.PAA店=2 c.P=P店+BC+BA D.p=P店+P元A丽 2.如图，在平行六面体ABCD-AB1C1D1中，点N在对角线A1C上，点M在对角线A1B上，A衣=N元 ,A1M=专MB,以下命题正确的是() B A.M//B元 B.D1、N、M三点共线 C.DM与AC是异面直线 D.DIN=NM 3.(24-25高二上·上海青浦高级中学.期末)已知点D在△ABC确定的平面内，0是平面ABC外任意一点， 满足CD=2OC-xOA-yO,且x>0,y>0,则最+的最小值为() A.是+号 B.是+2 c.+要 D.3+2V2 4.(24-25高二上·上海宝山区上海存志高级中学月考)在正四面体PABC中，PA=PB=3,点M满足 PM=xPA+yP+(2-x-y)P元，则AM的最小值为() A.46 c.6 5 B.V6 5 D.2W6 5.如图，在四面体O4BC中，B=BC,M=Nò，A=A,若O0=O,且PQI平面ABC ,则实数=() 7/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P N A.号 B. c. D. 6.(24-25高二上·上海浦东新区上海外国语大学附属浦东外国语学校.期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 己知棱AB=1,点E为线段B1D1上一点，则A它.AC的值为 7.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足A成=xA庙+yAC-(x+y-1)A方，点N满足 BN=BA+(1-)B元，当AM、BN最短时，AM.M=— 8/8