3.2空间向量基本定理（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦向量共面充要条件及空间向量基本定理，通过回顾空间向量线性运算、数量积等旧知搭建学习支架，引导学生从平面向量基本定理自然过渡到空间向量的探究。 其亮点在于以问题链驱动逻辑推理，从“三个向量是否共面”等问题出发，结合长方体、四面体等几何体实例，通过典例精讲和变式练习培养数学运算与直观想象能力。学生能深化知识理解，教师可借助系统的探究过程与分层练习提升教学效果。

3.2空间向量基本定理 第三章 空间向量及其应用 学习目标 教学重点：理解向量共面的充要条件及空间向量基本定理，掌握其推导过程及应用 教学难点：向量共面充要条件的几何意义、用已知向量表示未知向量 理解向量共面的充要条件，明确推导逻辑； 能运用充要条件判断向量共面或解决相关问题； 体会空间与平面向量的联系，培养抽象转化能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：向量共面充要条件； 逻辑推理：充要条件的推导过程； 数学运算：利用条件进行共面判断与计算。 直观想象：空间向量共面的几何直观理解 新知引入 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 共线向量 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量 加法、减法、数乘 新知引入 运算律 空间向量的数量积运算 夹角 数量积 常见题型 (交换律)；(分配律). 垂直 模长 夹角 新知探究 我们在上一节中定义过的共面向量也可以用向量平行于平面的语言来刻画： 如果一个向量所在的直线平行于一个平面，那么称这个向量平行于这个平面。一组向量共面是指它们平行于同一平面，也就是说，它们通过平行移动可以放到同一平面上。 共面向量：平行于同一平面的向量,叫做共面向量. d b a c 新知探究 问题1：空间中任意两个向量是共面的，但三个向量呢？一定共面吗？ 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面， 也可能不共面. 问题2：什么时候空间中三个向量是共面的呢？你能给出它的充要条件吗？ 向量共面的充要条件：如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得 典例精讲 例1：如图，在长方形中，为棱的中点，是面对角线与的交点。试判断向量与、是否共面。 解：因为， ， 所以， 因此，向量与、共面 练习巩固 练习1：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面. 证明：因为， 所以 因为四边形是平行四边形，所以 因此 由向量共面的充要条件可知，，共面，又 过同一点，从而，，，四点共面. 练习巩固 、、三点共线 、、、 点共面 练习巩固 变式1：如图，已知，，，分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：，，，四点共面. 证明：如图，连接，． 因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋， 由向量共面的充要条件可知，向量，，共面， 又，过同一点，从而，四点共面． 从而，，，四点共面. 练习巩固 变式2：已知为空间任意一点，，，，四点共面，但任意三点不共线，如果，则的值为____________ 【答案】 ， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 变式3：已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为____________ 【答案】 因为，点在确定的平面内， 所以，即，所以， 所以当时，的有最小值2． 练习巩固 变式3： 练习巩固 典例精讲 例2：利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面上的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平面中的任何直线）。 已知：如图，是平面上的两条相交直线，直线满足，。 求证：。 证明：在平面上任意作直线，并分别在直线、、上取非零向量、、、 因为直线与相交，所以向量、不平行， 由向量共面的充要条件知，是、的线性组合，即 将上式两边与向量作数量积，由题意知，， 所以，。从而。 这就说明直线垂直于平面上的任意一条直线，所以 新知探究 平面向量基本定理 如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，，使 ＝ ＋ ． 若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 问题1：已知平面上两个不共线向量的线性组合可以表示该平面上的所有向量。那么，空间上呢？是否可以做一个类推？ 新知探究 思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？ 情况一：共面 情况二：不共面 ？ 新知探究 对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 三个两两垂直的向量 i j k P Q α O 表示为 吗？ 新知探究 i j k yj zk xi P xi i j k P yj zk 三个两两垂直的向量 我们称，， 分别为向量在 上的分向量. 新知探究 思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ α O P B C A Q 新知探究 x O Q y B C A 思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？ 新知探究 空间向量基本定理： 如果三个向量是不共面的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数，使得 . 辨析1：判断正误. (1)若是空间三个向量，则对空间任意向量，总存在唯一的有序数组 ，使.（ ） (2)对于三个不共面向量，，，不存在实数组使. （ ） × × 典例精讲 例3：利如图，在正四面体中，是面的中心． （1）在此四面体的棱所对应的向量中找出两组各三个不共面的向量，并把其他棱对应的向量分别表示成这两组向量的线性组合（互为负向量的不必另行表示），要求第一组三个向量所在的棱有公共点，第二组三个向量所在的棱没有公共点（答案不唯一）； （2）在（1）的条件下，也分别表示为这两组向量的线性组合． 解：（1）第一组向量可选，与，则 ，， 第二组向量可选，与，则 ，， 典例精讲 解：（2）如图，取为的中点，连接，则点在上，且 所以， 分别代入（1）的结果，化简得 与 练习巩固 练习2：如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且用向量，，表示. 解: 小结 向量共面的充要条件：如果与是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与、共面的充要条件是，存在唯一的一对实数与，使得 空间向量基本定理： 如果三个向量是不共面的向量，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数，使得 . 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 解：在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； 如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 解：当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. $