3.4.1 课时1 直线的方向向量与直线的向量表示 课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.1 课时1 直线的方向向量 与直线的向量表示 作者编号：、32200 1.能用向量语言表述直线. 2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量. 3.理解点在直线上的充要条件. 学习目标 作者编号：、32200 问题2：在空间中，怎样可以确定一条直线？ 问题1：在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 两点可以确定一条直线； 直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线. 在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量 来表示，向量 就是点P的位置向量. 新课导入 作者编号：、32200 1.直线 <m></m> 的方向向量 如图，设 <m></m> ， <m></m> 是直线 <m></m> 上不重合的任意两点，称 <m></m> 为直线 <m></m> 的方向向量.显然，一条直线有无数个方向向量，根据平行向量的定义可知，这些方向向量都平行，因此与 <m></m> 平行，故与 <m></m> 平行的任意非零向量 <m></m> 也是直线 <m></m> 的方向向量. 概念讲解 新知讲解 作者编号：、32200 2.直线 <m></m> 的向量表示: 如图，点 <m></m> 是直线 <m></m> 上的一点，非零向量 <m></m> 是直线 <m></m> 的一个方向向量，那么对于直线 <m></m> 上的任意一点 <m></m> ，一定存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> . 我们把这个式子称为直线 <m></m> 的向量表示. 新知讲解 作者编号：、32200 注意 1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： (1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合． 2.与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 3.给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线． 4.表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反． 作者编号：、32200 例1:已知点，，为线段上一点且 ，求点的坐标. 解：∵点 <m></m> 在线段 <m></m> 上， <m></m> . 设 <m></m> ，由<m></m> ， 得 <m></m> ， 即 <m></m> 解得 <m></m> ∴点 <m></m> 的坐标是 <m></m> . 新知讲解 作者编号：、32200 例2:如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量. 证：连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点， 又M是PC的中点，∴MO∥PA. ∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM. ∵PA⊂平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH， ∴PA∥GH， ∴是直线GH的一个方向向量. 作者编号：、32200 例3:在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求 解：依题意知 ∴存在实数λ，使得 则 ∵点D是直线AB上的一点， ∵CD⊥AB， 即 解得 新知讲解 作者编号：、32200 问题：在空间中，如何证明A，B，P三点共线？ 新知讲解 作者编号：、32200 例4:求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得 证明：如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得 整理得 P A B O 同时这也是P，A，B三点共线的充要条件. 新知讲解 作者编号：、32200 例5:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 证：连接AO，AC1，A1C1， 则 =， ∵=2，=+==， ∴+=. 新知讲解 作者编号：、32200 例5:如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 又=1， 故C1，O，M三点共线. 新知讲解 作者编号：、32200 归纳总结 三点P，A，B共线的三种充要条件 新知讲解 作者编号：、32200 1.若 ， 在直线 上，则直线 的一个方向向量为( @29@ ) A. B. C. D. 2.已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是( @29@ ) A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 3.在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若 ，且G，M，N三点共线，求x+y= . A A 当堂检测 作者编号：、32200 回顾本节课所学知识： 1.直线的方向向量及应用. 2.直线的向量表示. 3.点在直线上的充要条件. 课堂小结 作者编号：、32200 (1)存在实数t，使得＝t，即∥. (2)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y(其中x＋y＝1). $$