拓展专题02：函数的对称性导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

拓展专题02：函数的对称性导学案 一、知识点自主预习 基础知识 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）轴对称：若函数关于直线对称，则 f（x+a)=f(b-x)（重点） （3）点对称：若函数关于点对称，则 ① ② ③ （4）点对称：若函数关于点对称，则 ① ② ③ （5）点对称：若函数关于点对称，则 f（x+a)+f(b-x)=c(重点) 二、典例详解 考点01：判断或证明函数的对称性 例1：1．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（       ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 【答案】C 【详解】，即，故关于成中心对称，不正确；∵，则关于成轴对称，错误； 根据题意可得：在内单调递增 ∵关于成轴对称，（2，0）中心对称，则在内单调递减；正确； 又∵，则 ∴，可知的周期为4则错误 2．已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号) ①的图像关于直线对称； ②的图像关于点对称； ③的最小正周期为4； ④为偶函数． 【答案】①③④ 【详解】因为，所以的图像关于直线对称，故①正确，②错误； 因为函数f(x)的图像关于直线对称，所以，又，所以， 所以，故③正确；因为且为偶函数，所以为偶函数，故④正确． 考点02：由对称性求函数的解析式 例2：1．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（　　） A．-ex-1 B．-ex+1 C．-e-x-1 D．-e-x+1 【答案】A【详解】与y=ex的图象关于x轴对称的图象所对函数解析式为y=-ex，将所得图象右移一个单位后的图象所对函数解析式为y=-ex-1，而按上述变换所得图象对应的函数是f(x)，所以f(x)=-ex-1. 2．已知函数的定义域为R，且，当时，，若，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【详解】，关于中心对称， 当时，设为图象上任意一点，则关于的对称点为， ， 中，当时，， 所以在上单调递减，且，， 解得， 考点03：由对称性研究函数的单调性 例3：1．已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为，，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增， 结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式 等价于，两边同时平方后整理得，解得或. 2．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 【答案】## 【详解】由题意，因为函数对任意的均有，所以可得函数的图象关于对称，又由在上单调递减，则在上单调递增， 因为，可得，则不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 考点04：函数对称性的应用 例4：1．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是奇函数，，即关于对称， ，所以是周期为的周期函数. ， ，， ， ，， 所以， 由于，所以. 2．对，函数满足，.当时.设，，，则，，的大小关系为______. 【详解】∵，，∴，， ∴，即，∴， ∴函数的周期为4，又当时， ∴，，， ∴. 考点05：由函数对称性求函数值 例5：1．已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，偶函数，当0＜x≤ 时，f(x)＝－x，则f(2 021)＋f(2 022)＝（       ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】A【详解】由题意可知： 即，故函数是周期为的周期函数又 2．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（       ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为， 则有，又由函数的图象关于点成中心对称， 则，则有，即，变形可得， 则函数是周期为8的周期函数，， 考点06：由函数对称性求函数的参数 例6：1．已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C解：因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，， 若，则.故，即. 2．已知图像的对称中心是（3，1），则其单调递减区间为______． 【答案】和 解：由于，由函数图像的对称中心是（3，1）， 由于函数的对称中心为，其图像向右平移3个单位，上移1个单位可得函数的图像，即，所以，解得， 所以函数为，所以函数的单调递减区间为和. 三、练习提升 1．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可. 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 2．已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意证明，即可得到答案. 【详解】根据题意有，，故，从而. 所以. 故选：A. 3．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数得的图象关于点对称，即，进而得即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，， 因为，所以， 所以的最小正周期为4，则. 故选:B. 4．已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性和对称性求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上， 由可知关于直线对称， ，在上单调递减， 所以，即. 故选：C 5．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 6．如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 【答案】B 【分析】根据奇函数的对称性，在区间上的性质，可得到函数在区间上的性质，即可求解. 【详解】由题意，奇函数在区间上是减函数，根据奇函数的对称性，可得函数在 区间上也是减函数，又由奇函数在区间上的最小值是4， 即，所以，所以函数在区间上的 最大值为， 故选：B. 7．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性和对称性求解即可. 【详解】因为对任意恒成立， 所以函数关于对称， 所以， 又因为函数在上是增函数， 所以， 所以. 故选：A 8．已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合函数对称性可求出，进而求得结果. 【详解】解：因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，， 若，则. 故，即. 故选：C. 9（多选）．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B． C．在区间上单调递减 D．的值域为 【答案】AB 【分析】根据函数解析式求出定义域可判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例型函数单调性可判断C，根据函数特征可判断D. 【详解】对于A，由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递增，故C错误； 对于D，由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：AB. 10．（多选）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案. 【详解】对于A：函数为奇函数，则， 则， 则的一个周期为4，故A正确； 对于B：，则函数关于对称，故B正确； 对于C：的一个周期为4， ， 令中的，则， 函数为定义在上奇函数， ， ，故C正确； 对于D：的一个周期为4， ， 函数为奇函数， ， ，故D错误； 故选：ABC. 11．（多选）已知函数，则（    ） A．在上是增函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】利用导数分析函数的单调性，通过计算得到，即可确定函数的对称轴，进而可求解不等式. 【详解】， 令，即，解得， 所以在上是增函数， 故在上是增函数，故A正确； 因为，， 所以，所以的图象关于直线对称，故B正确； 因为，所以的图象不关于点对称，故C错误； 由上述过程可知在上是增函数且图象关于直线对称， 所以在上是减函数， 且，所以不等式的解集是，故D正确. 故选:ABD. 12．函数的图像的对称中心是 . 【答案】 【分析】首先根据题意得到向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到，即可得到答案. 【详解】. 因为关于对称， 向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 即可得到的对称中心为. 故答案为： 13．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】由题设易得函数的对称轴，再结合二次函数图像对称轴对比即得. 【详解】因，函数的对称轴为直线， 而由可知其对称轴为直线，故，解得. 故答案为：. 14．已知函数满足，函数，若与的图象恰有2024个交点，其坐标分别为，则 . 【答案】4048 【分析】根据等式得函数的图象关于点对称，再根据的图象也关于点对称，最后得出答案 【详解】在中，令，得， 所以函数的图象关于点对称. ，所以的图象也关于点对称， 所以函数与图象的交点两两关于点对称， 所以. 故答案为：4048. 15．已知. （1）画出的图象. （2）根据图象写出的单调区间和值域. 【答案】（1）图象见解析；（2）在上单调递减，在单调递增；值域为. 【解析】（1）由解析式可判断为偶函数，则画出右支图象，由图象关于轴对称即可得左支；（2）结合（1）所得图象确定单调区间和值域即可. 【详解】（1）由解析式知：，即关于轴对称性， 当时，，即可根据三点画出右支 由对称性即可得对应左支上的图象，如下图示： （2）由（1）所得图象，左右两支分别关于，对称， ∴在上单调递减，在单调递增；值域为. 【点睛】本题考查了函数的图象，利用数形结合确定单调区间、值域，属于简单题. 16．已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）分别令，可得答案； （2）猜测，利用函数性质能进行证明； （3）由，分组求和可得答案. 【详解】（1）因为，所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知， 所以原式， . 17．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义法证明在区间上的单调性． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到，的值，从而得到对称中心； （2）根据单调性定义证明即可. 【详解】（1）由题可知，当对称中心为时，. 设函数图象的对称中心为， 则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为； （2）设，，且， 则， 因为且， 所以，即， 所以在上单调递增. 18．已知函数的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）方法一：由函数的对称性可得，展开可得参数a，b的值； 方法二：将原问题转化为为偶函数，再化简可得参数值； （2）将原式化为，再结合换元法与二次函数的性质即可得最小值. 【详解】（1）方法一：，代入展开得， 由等式恒成立，则，解得． 方法二： 因为为偶函数，则，解得． （2）， 设，则， ， 函数取得最小值为0，当且仅当或的时取到． 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题02：函数的对称性导学案 一、知识点自主预习 基础知识 （1）轴对称：若函数关于直线对称，则 ①； ②； ③ （2）轴对称：若函数关于直线对称，则 f（x+a)=f(b-x)（重点） （3）点对称：若函数关于点对称，则 ① ② ③ （4）点对称：若函数关于点对称，则 ① ② ③ （5）点对称：若函数关于点对称，则 f（x+a)+f(b-x)=c(重点) 二、典例详解 考点01：判断或证明函数的对称性 例1：1．若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（       ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的图象关于直线成轴对称 C．在区间上，为减函数 D． 2．已知函数的定义域为，对任意都有，且，下列结论正确的是____.(填序号) ①的图像关于直线对称； ②的图像关于点对称； ③的最小正周期为4； ④为偶函数． 考点02：由对称性求函数的解析式 例2：1．函数f(x)的图象向左平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于x轴对称，则f(x)=（　　） A．-ex-1 B．-ex+1 C．-e-x-1 D．-e-x+1 2．已知函数的定义域为R，且，当时，，若，则实数m的取值范围为___________． 考点03：由对称性研究函数的单调性 例3：1．已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 2．已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 考点04：函数对称性的应用 例4：1．已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（       ） A． B． C． D． 2．对，函数满足，.当时.设，，，则，，的大小关系为______. 考点05：由函数对称性求函数值 例5：1．已知函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)＋f(－x)＝0，偶函数，当0＜x≤ 时，f(x)＝－x，则f(2 021)＋f(2 022)＝（       ） A．1 B．0 C．-1 D．2 2．已知函数是偶函数，且函数的图象关于点（1，0）对称，当时，则（       ） A． B． C．0 D．2 考点06：由函数对称性求函数的参数 例6：1．已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（       ） A． B． C． D． 2．已知图像的对称中心是（3，1），则其单调递减区间为______． 三、练习提升 1．已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知定义域为的奇函数的图象关于直线对称，且，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 3．已知函数的定义域为，为奇函数，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 6．如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4 C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－4 7．定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 9（多选）．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B． C．在区间上单调递减 D．的值域为 10．（多选）已知定义在上的奇函数满足，若，则（    ） A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 11．（多选）已知函数，则（    ） A．在上是增函数 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是 12．函数的图像的对称中心是 . 13．已知函数，若，则 . 14．已知函数满足，函数，若与的图象恰有2024个交点，其坐标分别为，则 . 15．已知. （1）画出的图象. （2）根据图象写出的单调区间和值域. 16．已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 17．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义法证明在区间上的单调性． 18．已知函数的图象关于直线对称． (1)求的值； (2)求函数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $