3.3幂函数学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦幂函数的概念、性质及应用，通过购物支付、图形面积体积等5个现实实例引导学生观察共同特征，结合课前对指数幂定义和函数性质的回顾，从具体问题抽象出幂函数形式，搭建从现实到数学的学习支架。 资料注重概念形成与性质探究，通过实例抽象培养数学眼光（抽象能力），表格对比5个幂函数定义域、值域等性质培养数学思维（推理意识），典型例题分题型规范解题步骤，助力学生用数学语言表达，作业分层设计兼顾基础与提升，有效提升自主学习与应用能力。

第三章 函数的概念与性质 姓名： §3．3 幂函数【导学】 导学目标： 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数的图象，掌握它们的性质(重点). 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点). 【课前回顾】 1.在初中，我们学过“指数幂”，回顾一下它的定义？负整数指数幂意义？ 2.我们对一个具体的函数能研究哪些性质呢？ 【新知导入】 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质（定义域、奇偶性、单调性、值域等）．本节我们利用这些知识研究一类新的函数——幂函数． 先看几个实例． （1）如果以1元 的价格购买了某种蔬菜 ，那么她需要支付 元，则= ； （2）如果正方形的边长为 ，那么正方形的面积 ； （3）如果立方体的棱长为 ，那么立方体的体积 ； （4）如果一个正方形场地的面积为 ，那么这个正方形的边长 ； （5）如果某人 内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 ． 观察（1）～（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 实际上，这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2，3，，；它们都是形如 的函数． 【知识要点】 1.幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 幂函数系数、自变量、指数特征是什么？ 2.幂函数的性质 函数 性质 特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x-1 图 像 定义域 值 域 奇偶性 单调性 公共点 3.幂函数的图象 把5个幂函数放在同一个直角坐标系下，观察这五个函数图象，它们有哪些性质？（形状、象限、特殊点、增减、奇偶等） 幂函数在第一象限内指数变化规律： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【典型例题】 题型一　幂函数的解析式 注意：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【例1】在函数①y＝x3，②y＝2x，③y＝4x2，④y＝x5+1，⑤y＝x0，⑥y=(-x)2，y=,y＝1，y＝-x3中，是幂函数的是 【例2】(1).若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(25)的值是 . ．(2).已知函数f(x)＝(a2－a－1)xa2－2a－3为幂函数，且为偶函数则实数a的值为 . 题型二　幂函数的图象及性质 【例3】证明幂函数f(x)=是增函数. 【例4】图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则指数的值依次可以是（   ） A．，-2， B．-2，， C．-2，， D．，，-2 题型三 利用幂函数的性质比较大小 比较幂值大小的方法 (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数． (2)若指数不同，底数相同，则考虑借助图象求解． (3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小． 【例5】比较下列各组数中两数的大小. (1) ________； (2) ________； (3)________. 【例6】 若>，则实数m的取值范围为_________________. 【归纳总结】 【作业】 (1)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题； (2)课时作业31的1-14题，15-16题选做. 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $