专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中知识清单）高一数学上学期人教A版必修第一册

专题02 一元二次函数、方程和不等式 （4知识&10题型&5易错&7方法清单） 一元二次函数 方程和不等式 等式性质与 不等式性质 基本不等式 二次函数 一元二次方程 不等式 作差法 一元二次函数 作商法 一元二次不等式 一元二次方程 分式不等式 利用基本不等式求积、和最值 利用基本不等式求商式最值 利用基本不等式求等式最值 “1”的妙用 利用基本不等式求恒成立问题 利用基本不等式求能成立问题 【清单01】实数大小比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【清单02】基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 【清单03】四个二次的关系 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单04】分式不等式 定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【题型一】比较数、式大小 【例1】（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【题型二】由基本不等式求和、积最值 【例2】（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知两个正数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值3 C．的最小值为2 D．的最小值为 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A．若，的最小值为9． B．若，的最小值为1 C．若，的最小值为 D．若，的最大值为 【题型三】二次与二次（一次）商式最值 【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【题型四】条件等式求最值 【例4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 . 【题型五】“1”的妙用 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为 . 【题型六】基本不等式解决恒（能）成立问题 【例6】（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 . 【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【题型七】一元二次不等（分式不等式）（不含参） 【例7】（24-25高一上·天津西青·期中）不等式 的解集为 . 【变式7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）不等式的解集为 . 【题型八】一元二次不等式（含参） 【例8】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【题型九】由一元二次不等式的解确定参数 【例9】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【变式9-1】（多选）（24-25高二上·山东威海·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【题型十】一元二次不等式恒成立与能成立问题 【例10】（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【变式10-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【题型一】多次利用同向相加求范围出错 【例1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为 .（用区间表示） 【变式1-1】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【变式1-2】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 . 【题型二】基本不等式容易忽略“一正”“三相等” 【例2】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的有（    ） A．当时，的最大值是5 B．当时， C．已知正实数满足，则的最小值是2 D．的最小值为 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若，，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若，，，则的最小值是8 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边 【例3】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为 ． 【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为 ． 【题型四】一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法 【例4】（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式4-1】（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【题型五】解含参数不等式时分类讨论不当 【例5】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【题型一】作差法与作商法比较大小 适用：比较数、式大小 【例1】（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 【变式1—1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【题型二】基本不等式之“凑配法” 【例2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2—1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 等式之换元法 【例3】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3—1】4．（24-25高一上·安徽·期中）若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型四】基本不等式之“1”的妙用 【例4】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式4—1】（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ． 【题型五】分类讨论法解一元二次不等式（含参） 【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 【变式5—1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 【题型六】判别法 【例6】（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6—1】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知不等式在上恒成立．则的取值范围为 ． 【题型七】分离变量法 【例7】（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7—1】（多选）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 （4知识&10题型&5易错&7方法清单） 一元二次函数 方程和不等式 等式性质与 不等式性质 基本不等式 二次函数 一元二次方程 不等式 作差法 一元二次函数 作商法 一元二次不等式 一元二次方程 分式不等式 利用基本不等式求积、和最值 利用基本不等式求商式最值 利用基本不等式求等式最值 “1”的妙用 利用基本不等式求恒成立问题 利用基本不等式求能成立问题 【清单01】实数大小比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【清单02】基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 【清单03】四个二次的关系 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单04】分式不等式 定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【题型一】比较数、式大小 【例1】（23-24高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 【变式1-1】（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 【题型二】由基本不等式求和、积最值 【例2】（多选）（24-25高一上·河北衡水·期中）已知两个正数，满足，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值3 C．的最小值为2 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可直接求解A，根据乘“1”法即可求解B，根据完全平方关系即可求解C，结合二次函数的性质即可求解D. 【详解】对于A，两个正数，满足，则，故，当且仅当，即时等号成立，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确， 对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确， 对于D， ，结合A选项可知：，因此时，结合，即，此时的最小值为，故D错误， 故选：ABC 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知，，则下列结论正确的是（    ） A．若，的最小值为9． B．若，的最小值为1 C．若，的最小值为 D．若，的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于每个选项，都根据已知条件通过变形构造出可以使用基本不等式的形式，然后求出最值并判断对错. 【详解】对于A：若，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为9，故A正确； 对于B：若，则 ， 所以， 当且仅当，即当或时，等号成立， 而，所以的最小值不存在，故B错误； 对于C：若，则， 所以， 由，，以及可知，， 则当时，即时， 有最小值为，故C正确； 对于D：因为 ，设，则， 又， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ACD 【题型三】二次与二次（一次）商式最值 【例3】（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【变式3-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 【题型四】条件等式求最值 【例4】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知，满足，则的最小值为 【答案】2 【分析】变形给定等式，换元，用表示，再代入，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，令，则， 解得，， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：将变形为，令，再表示出是求出最小值的关键. 【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期中）已知实数，，且满足，则的最小值是 . 【答案】17 【分析】设，从而得到，，不等式转化为，换元后，由基本不等式求出最小值. 【详解】令，则，化简得，故， 故， 令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时，解得， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 故答案为：17 【题型五】“1”的妙用 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知，且，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【题型六】基本不等式解决恒（能）成立问题 【例6】（23-24高一上·山东泰安·期中）若任意，不等式恒成立，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】，不等式恒成立，即， ，当且仅当时等号成立，故. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为，利用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，然后解一元二次不等式求参数范围. 【详解】由不等式恒成立，只需， 又，则， 当且仅当时等号成立，故， 所以，故实数的取值范围是. 故答案为： 【题型七】一元二次不等（分式不等式）（不含参） 【例7】（24-25高一上·天津西青·期中）不等式 的解集为 . 【答案】R 【分析】根据一元二次不等式的解法计算即可求解. 【详解】由题意知，方程中，， 所以该方程无解，则不等式的解集为R. 故答案为：R 【变式7-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由，解之得. 故答案为：. 【题型八】一元二次不等式（含参） 【例8】（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式8-1】（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型九】由一元二次不等式的解确定参数 【例9】（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 【变式9-1】（多选）（24-25高二上·山东威海·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】对于A，根据不等式的解集得到判断A；对于B，结合题意得到和3是关于x的方程的两根，再结合韦达定理得到，将目标不等式化为，求出解集判断B，对于C，结合得到判断C，对于D，将合理变形后求出解集判断D即可. 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 【题型十】一元二次不等式恒成立与能成立问题 【例10】（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式10-1】（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解. 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 故答案为： 【题型一】多次利用同向相加求范围出错 【例1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一上·湖南湘潭·期中）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 【题型二】基本不等式容易忽略“一正”“三相等” 【例2】（多选）（24-25高一上·浙江宁波·期中）下列说法正确的有（    ） A．当时，的最大值是5 B．当时， C．已知正实数满足，则的最小值是2 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式及“1”的妙用，逐项分析求解即可. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，当时，，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，正实数满足，则， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能被取到，D错误. 故选：ABC 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·四川内江·期中）下列命题正确的是（    ） A．若，，且， B．已知正数、满足，则的最小值为 C．函数的最小值为2 D．若，，，则的最小值是8 【答案】BD 【分析】举例说明判断A；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断B；由基本不等式取等号条件判断C；利用基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，而，A错误； 对于B，正数满足，则，， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，函数，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不成立，C错误； 对于D，，由，得， 解得，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 【变式2-2】（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）下列函数的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，对选项逐一验证即可得出结论. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，，当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，化简可得，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，易知，当，即时，等号成立，最小值为，故D错误， 故选：BC． 【题型三】解分式不等式时直接把分母就乘到不等式右边 【例3】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】不等式等价于不等式，即不等式， 即不等式，解得或. 故选：B 【变式3-1】（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】移项，通分后可化简为简单分式不等式求解，需要注意分母不为零. 【详解】移项得：，通分化简得到分式不等式：； 两边同时乘以分母得平方，结合分母不为零，得到不等式组： 解得.原不等式解集为. 故答案为： 【变式3-2】（24-25高一上·上海松江·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式移项通分，解不等式即可 . 【详解】，则. 故不等式解集为. 故答案为：. 【题型四】一元二次不等式在区间上恒成立错误的“统一”法 【例4】（23-24高一上·山东青岛·期中）命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，分离参数，再由二次函数的最值，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，为真命题， 则在上恒成立， 令，， 则，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（2024高二下·天津南开·学业考试）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 【题型五】解含参数不等式时分类讨论不当 【例5】（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】∵， ∴，又， 所以不等式的解为或． 故选：C． 【变式5-2】（多选）（24-25高一上·河南南阳·期中）关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论的大小，利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】由，得. 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 故选：ACD. 【题型一】作差法与作商法比较大小 适用：比较数、式大小 【例1】（22-23高一上·内蒙古通辽·期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小. （2）已知，，.求证：； 【答案】（1），（2）证明见解析 【分析】（1）由作差法证明即可； （2）由不等式的性质证明即可. 【详解】（1）解： ∵，∴，∴． （2），， ，又，. 【变式1—1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【分析】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 【题型二】基本不等式之“凑配法” 【例2】（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式2—1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知，则的最大值是（   ） A．-1 B．1 C．4 D．7 【答案】B 【分析】构造基本不等式，转化后可得，即可求得最大值. 【详解】由题意可得：， 因为，所以，当且仅当时取等号， 即 故选：B 【题型三】基本不等式之换元法 【例3】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式3—1】4．（24-25高一上·安徽·期中）若正实数，满足，则的最小值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】正实数x，y满足，利用基本不等式的性质可得，设，即可求出的最小值． 【详解】∵正实数x，y满足，， ∴，当且仅当取等， 设 ，∴， ∴，即，，∴， 故的最小值为2. 故选：A． 【题型四】基本不等式之“1”的妙用 【例4】（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式4—1】（24-25高一上·广东广州·期中）设且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由乘“1”法，将和相乘，展开后，利用基本不等式即可求解； 【详解】由可得： ， 当且仅当，即时，取等号， 故答案为： 【题型五】分类讨论法解一元二次不等式（含参） 【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案； （2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案. 【详解】（1）为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． （2）不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 【变式5—1】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数，令，所以， 则，所以. （2）由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【题型六】判别法 【例6】（24-25高一上·江西上饶·期中）已知命题“”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数是否等于零分类讨论，再结合二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，命题“，”是真命题， 当时，不等式，解得，不满足题意； 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是 故选：A. 【变式6—1】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知不等式在上恒成立．则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，结合条件，利用二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】当时，原不等式为，在上恒成立，所以满足题意， 当时，不等式在上恒成立， 则，解得， 综上，的取值范围为， 故答案为：. 【题型七】分离变量法 【例7】（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式7—1】（多选）（23-24高三上·广东揭阳·期中）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】不等式在区间内有解，转化为，利用二次函数求最值即可得出的取值范围. 【详解】不等式在区间内有解，仅需即可， 令，因为的对称轴为，，， 所以，所以. 故选：AB 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $