重难点培优01 高中热门数学文化问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 高中数学热门数学文化问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 集合与常用逻辑用语（★★★） 2 题型二 等式与不等式（★★★） 3 题型三 函数与导数（★★★★） 4 题型四 平面向量（★★★） 7 题型五 三角函数与解三角形（★★★★） 8 题型六 数列（★★★★★） 10 题型七 立体几何（★★★★★） 12 题型八 平面解析几何（★★★） 14 题型九 概率与统计（★★★） 15 03 实战检测・分层突破验成效 17 检测Ⅰ组 重难知识巩固 17 检测Ⅱ组 创新能力提升 23 1、高中数学新文化问题一般思路 数学文化问题的核心逻辑：把“陌生文化场景”变成“熟悉数学题”，每一步都聚焦“去干扰、建联系、解常规”，所有题型通用且易落地.一般解题步骤如下： （1）快速读题，剥离“文化干扰”：扫题干时跳过文化背景（如科技概念、传统典故、新政策描述），只盯3类关键信息——数量变化逻辑（增/减、比例、对应）、新规则/新定义（明确运算或约束）、最终问题（求某值、判趋势、找最值）. （2）解读转化，翻译“数学语言”：把找到的关键信息“转译”——新规则→对应数学特征（如“随变量增大而增”→单调性），数量关系→提炼数学逻辑（如“后项依赖前项”→递推），让陌生描述变熟悉的数学表达. （3）建模定型，匹配“常规考点”：根据转译后的数学逻辑，对应高中常规题型——涉及“依次变化、第n项”→数列；涉及“变量对应、变化趋势”→函数；涉及“约束条件、范围”→不等式，确定解题的核心工具. （4） 常规求解，沿用“基础方法”：抛开文化背景，按匹配的考点解题——数列用“找规律、逐次推导”，函数用“分析单调性、抓区间特征”，不等式用“数形结合、放缩”，完全按常规题逻辑计算. （5）回归场景，验证“结果合理”：检查结果是否符合实际约束（如项数、人数为正整数），是否和文化场景逻辑一致（如增长类问题结果需符合增长趋势），避免出现脱离场景的矛盾答案. 题型一 集合与常用逻辑用语 1．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（    ） A．对任意正整数，关于的方程都没有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 3．（多选题）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（   ） A．8 B．23 C．37 D．128 4．（多选题）（24-25高三上·山东聊城·月考）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素 C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素 D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素 题型二 等式与不等式 【技巧通法·提分快招】 若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式. 1．（23-24高三上·河南·月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 3．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 题型三 函数与导数 【技巧通法·提分快招】 函数类新文化试题突破思路 1、解读新规则：从科技算法、文化统计等场景中，拆解“自定义函数”的核心——比如“输入两个数，输出结果是两者的某种运算组合”“函数值随自变量变化的约束条件”，明确自变量的取值范围. 2、 转化为常规函数：把新规则翻译成熟悉的函数类型，比如“两个数相加的函数值等于各自函数值相乘”→指数函数；“随自变量增大先增后减”→二次函数；“不同区间有不同运算方式”→分段函数. 3、借助函数性质解题：利用单调性判断变化趋势、奇偶性简化计算、最值解决“最大/最小”问题，或通过分析函数变化规律推导结果. 1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·北京·月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数在，，处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，，若令，，，请依据上述算法，估算是（   ） A． B． C． D． 4．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 6．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 题型四 平面向量 【技巧通法·提分快招】 1、数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线. 2、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 1．（24-25高三上·安徽·月考）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（25-26高三上·重庆·月考）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 . 题型五 三角函数与解三角形 1．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转120秒时，此盛水筒对应的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 3．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 5．十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在中，，．根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为 ．    6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.由三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一表高测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的晷影长是表高的2倍，第二次的晷影长是表高的4倍，求的值. 题型六 数列 【技巧通法·提分快招】 数列类新文化试题突破思路 1、读题找规律：从古代工艺、历法、堆垛术等文化背景中，抓“变化逻辑”——比如“每一项比前一项多固定数量”“每一轮按固定比例增长”，或明确“第n项对应的实际意义”（如第n层的物品数）. 2、判断数列类型：差固定→等差数列；比值固定→等比数列；无明显规律→按题目给出的递推逻辑梳理（如后一项由前两项相加得到）. 3、用常规方法计算：等差数列可通过首项、末项、项数求某项或总和；等比数列围绕首项和固定比值计算；递推类用“逐次推导”或“归纳规律”的方式求解 1．（25-26高三上·重庆南岸·期中）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算术·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第8层小球的个数为（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（多选题）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，该数列的特点是：前面个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京密云·月考）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为 升． 6．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 . 题型七 立体几何 【技巧通法·提分快招】 1、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体． 2、我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 3、《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”. 1．（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图圆弧：与，，围成的阴影部分绕轴旋转，所得旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·模拟预测）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中，，，h分别为几何体的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，，，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．318 C．324 D．336 4．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建福州·模拟预测）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是 （用数字作答）． 6．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为 ． 题型八 平面解析几何 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 2．简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线．设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”．已知“斜椭圆”C的方程为，其左、右焦点分别为，，设在C上，则（    ） A．C的长轴长为 B．C的焦距为4 C．若，则的面积为2 D． 4．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 5．新定义•闵氏距离，新融合•计算机科学  在计算机科学中，闵氏距离是机器学习算法的基础，常用于测量数据点之间的相似性或差异性．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离为，其中表示阶数．若，，，则的最小值为 ． 题型九 概率与统计 1．2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 2．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 3．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 4． 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ） A．960 B．1020 C．2150 D．3125 5．（24-25高三下·海南·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是 ． 6．托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（23-24高三上·云南·月考）数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设命题，，，则为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·贵州贵阳·月考）世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 5．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（    ） A． B． C． D． 7．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被作为第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为BF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 8．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，……）．若一“落一形”三角锥垛有20层，则该堆垛总共球的个数为（    ）    A．1540个 B．1760个 C．1250个 D．1980个 9．（24-25高三下·天津南开·月考）瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 10．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，设，其前项和为，则（    ） A．63 B．8 C．7 D．64 11．（25-26高三上·辽宁·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角：当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知，，分别是的内角，，的对边，且，，若为的费马点，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·河南·三模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为．若a为的二项展开式中含x项的系数，且，则b的值可以是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（   ） A．9 B．23 C．128 D．233 15．（23-24高三上·安徽亳州·期中）（多选题）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·贵州·二模）（多选题）《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵中，，则（   ） A．当时，四面体为鳖臑 B．当时，四面体为鳖臑 C．当时，四面体外接球的表面积为 D．当时，堑堵体积的最大值为8 17．（多选题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有，其内角、、的对边分别为、、，且，的面积为，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为 B．若为的外心，则 C．内切圆的半径为 D．在中，边的中线的长为 18．（2024·福建泉州·模拟预测）围棋在中国古时称"弈"，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为 ．（用数字作答） 19．（2025·北京东城·二模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 20．（24-25高三上·江西·开学考试）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽.小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉编号（从左至右）为1，2，…，10的球槽内.若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，则每次试验前选定球槽编号为 ，所得积分的数学期望最大． 21．（25-26高三上·广东深圳·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为 . 22．（24-25高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是    23．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，直角边，的三边围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．若，设，则区域Ⅲ面积的最小值为 ；过点作于点，当面积最大时，则区域Ⅱ的面积 ．    检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 2．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 5．（2025·陕西咸阳·二模）（多选题）若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（   ） A．， B． C．，使得，，成等比数列 D． 6．（2025·宁夏石嘴山·一模）（多选题）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（    ） A．对于任意的正整数n， B．对于任意的正整数n，为整数 C．存在正整数n，三角形的面积为2025 D．存在正整数n，三角形为钝角三角形 7．（多选题）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当，时， 8．（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 9．（2025·宁夏银川·一模）1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为 .    10．（2025·辽宁·二模）图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似的得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 高中数学热门数学文化问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 集合与常用逻辑用语（★★★） 2 题型二 等式与不等式（★★★） 4 题型三 函数与导数（★★★★） 6 题型四 平面向量（★★★） 11 题型五 三角函数与解三角形（★★★★） 16 题型六 数列（★★★★★） 20 题型七 立体几何（★★★★★） 24 题型八 平面解析几何（★★★） 29 题型九 概率与统计（★★★） 34 03 实战检测・分层突破验成效 38 检测Ⅰ组 重难知识巩固 38 检测Ⅱ组 创新能力提升 55 1、高中数学新文化问题一般思路 数学文化问题的核心逻辑：把“陌生文化场景”变成“熟悉数学题”，每一步都聚焦“去干扰、建联系、解常规”，所有题型通用且易落地.一般解题步骤如下： （1）快速读题，剥离“文化干扰”：扫题干时跳过文化背景（如科技概念、传统典故、新政策描述），只盯3类关键信息——数量变化逻辑（增/减、比例、对应）、新规则/新定义（明确运算或约束）、最终问题（求某值、判趋势、找最值）. （2）解读转化，翻译“数学语言”：把找到的关键信息“转译”——新规则→对应数学特征（如“随变量增大而增”→单调性），数量关系→提炼数学逻辑（如“后项依赖前项”→递推），让陌生描述变熟悉的数学表达. （3）建模定型，匹配“常规考点”：根据转译后的数学逻辑，对应高中常规题型——涉及“依次变化、第n项”→数列；涉及“变量对应、变化趋势”→函数；涉及“约束条件、范围”→不等式，确定解题的核心工具. （4） 常规求解，沿用“基础方法”：抛开文化背景，按匹配的考点解题——数列用“找规律、逐次推导”，函数用“分析单调性、抓区间特征”，不等式用“数形结合、放缩”，完全按常规题逻辑计算. （5）回归场景，验证“结果合理”：检查结果是否符合实际约束（如项数、人数为正整数），是否和文化场景逻辑一致（如增长类问题结果需符合增长趋势），避免出现脱离场景的矛盾答案. 题型一 集合与常用逻辑用语 1．荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（    ） A．对任意正整数，关于的方程都没有正整数解 B．对任意正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 C．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 D．存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定的定义即可得解. 【详解】“对任意正整数，关于的方程没有正整数解”的否定为： 存在正整数，关于的方程至少存在一组正整数解. 故选：D. 3．（多选题）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物，不知其数，三三数之，剩二; 五五数之，剩三; 七七数之，剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知 ， ，若，则下列选项中符合题意的整数为（   ） A．8 B．23 C．37 D．128 【答案】BD 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】因为，故； ，故； 因，则；则. 故选：BD. 4．（多选题）（24-25高三上·山东聊城·月考）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的定义出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，， 中的每个元素都小于中的每个元素，称为戴德金分割．下列结论正确的是（    ） A．是一个戴德金分割 B．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，没有最小元素 C．存在一个戴德金分割，使得有一个最大元素，有一个最小元素 D．存在一个戴德金分割，使得没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，所以A错误． 对于B，设，满足戴德金分割，则有一个最大元素1，没有最小元素，所以B正确． 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，所以C错误． 对于D，设，满足戴德金分割，此时中没有最大元素，中也没有最小元素，所以D正确． 故选：BD 题型二 等式与不等式 【技巧通法·提分快招】 若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式. 1．（23-24高三上·河南·月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了. 【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以. 故选：D 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 3．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可. 【详解】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 4．（2025·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 题型三 函数与导数 【技巧通法·提分快招】 函数类新文化试题突破思路 1、解读新规则：从科技算法、文化统计等场景中，拆解“自定义函数”的核心——比如“输入两个数，输出结果是两者的某种运算组合”“函数值随自变量变化的约束条件”，明确自变量的取值范围. 2、 转化为常规函数：把新规则翻译成熟悉的函数类型，比如“两个数相加的函数值等于各自函数值相乘”→指数函数；“随自变量增大先增后减”→二次函数；“不同区间有不同运算方式”→分段函数. 3、借助函数性质解题：利用单调性判断变化趋势、奇偶性简化计算、最值解决“最大/最小”问题，或通过分析函数变化规律推导结果. 1．（25-26高三上·江苏盐城·月考）为了解决大尺度问题的压缩，物理学家、地震学家里克特设计了一种度量方式：里克特震级，简称里氏震级，后来经同行古登堡的改进和完善，得到了震级的计算公式，其中是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅，并通过研究得出了地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系，.请问10.0级地震释放的能量是6.0级地震的约多少倍？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际问题分别计算10.0级地震释放的能量和6.0级地震释放的能量，结合对数运算性质即可求解． 【详解】解：10.0级地震释放的能量为，则， 6.0级地震释放的能量为，则， 所以，，则． 故选：C． 2．（25-26高三上·江苏扬州·月考）高斯，著名的数学家、文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，若，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离变量，再结合对勾函数的单调性可得答案. 【详解】由，可得，则可化为：， 令得：，再令， 由对勾函数的单调性知：在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以， ，只需. 故选：D 3．（24-25高三下·北京·月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数在，，处的函数值分别为，，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：，其中，，，若令，，，请依据上述算法，估算是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，构造函数并分别求出的值，代入公式，可得答案. 【详解】设，由，则， 可得，，， 由题意可得， 所以. 故选：C. 4．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．若关于x的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲余弦函数和双曲正弦函数的表达式，问题转化为对任意的恒成立，通过换元有对任意的恒成立，构造函数利用单调性解决不等式恒成立问题. 【详解】不等式，即， 化简得， 不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则，有对任意的恒成立， 令，则，有对任意的恒成立， 令，则，有对任意的恒成立， 令，在上单调递减， 则，即实数m的取值范围为. 故选：B. 5．世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误. 【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号）， 在上的最大值为，与图象不符，A错误； 对于B，当时，，与图象不符，B错误； 对于C，，当时，； 又过点； 由得：，解得：，即函数定义域为； 又， 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称； 当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：与图象相符，C正确； 对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误. 故选：C. 6．英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似解的方法——牛顿迭代法.如图所示，设是的根，选取作为初始近似值，过点作曲线的切线与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；过点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值.重复以上过程，得到的近似值序列，其中，称是的次近似值，这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解，则下列说法不正确的是（   ） A．若取初始近似值为1，则该方程的二次近似解为 B．若取初始近似值为2，则该方程的二次近似解为 C． D． 【答案】D 【分析】根据题中牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算，逐项判断即可求解. 【详解】构造函数，则.取初始近似值，则， ，故选项A正确； 取初始近似值，则， ，故选项B正确； 根据题意，可知，，，， 上述四式相加，得，故选项C正确，选项D不正确. 故选：D. 题型四 平面向量 【技巧通法·提分快招】 1、数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线. 2、古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆. 1．（24-25高三上·安徽·月考）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据题设有、，利用向量加减、数乘的几何意义及数量积的定义求结果. 【详解】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 故选：C 2．（25-26高三上·重庆·月考）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与交于点，根据给定条件，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论建立关系式，再按点的位置分类确定并求出最大值. 【详解】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 故选：C 3．（多选题）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角形的外心、重心、垂心的性质，结合平面向量的线性运算法则以及平面向量的数量积的定义及运算律逐项分析即可. 【详解】对A：由是的重心可得， 所以，故A项错误； 对B：过的外心分别作， 的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则 ，故B项正确； 对C：因为是的重心，所以有， 故， 由欧拉线定理可得，故C项正确： 对D：如图(2)，由于，可得， 所以，故D正确． 故选:BCD. 4．（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ， . 【答案】 【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模. 【详解】由条可知，，， 所以扇形的面积，扇形的面积, 所以扇面的面积是； . 故答案为：； 5．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点、的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，、，点满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设点，利用已知条件求出点的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出，求出的最小值，即可得出的最小值. 【详解】设点，由可得，整理可得， 化为标准方程可得， 因为为的中点，    所以， ， 记圆心为，当点为线段与圆的交点时， 取最小值，此时，， 所以，. 故答案为：. 题型五 三角函数与解三角形 1．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理可求的值. 【详解】 如图，，，∴． 又，∴，根据勾股定理． 在中，根据正弦定理可知， 即，解得， 故选：C． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按顺时针方向旋转，每旋转一周用时180秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转120秒时，此盛水筒对应的点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点坐标求出和，再由旋转时间求出旋转角度，再由三角函数的定义即可求出答案.. 【详解】因为，则，所以， 又， 每旋转一周用时秒，则筒车旋转秒时共旋转， 则此时点所在角的终边为， 则点的横坐标为. 故选：C. 3．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得，应用基本不等式求三角形面积的最大值，注意取值条件. 【详解】由题意，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 此三角形面积最大值为. 故选：A 4．勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，大正方形由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼接而成，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值等于（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数关系结合已知条件求解即可. 【详解】依题意，拼图中的每个直角三角形的长直角边为，短直角边为， 则小正方形的边长为， 因为小正方形的面积是，所以， 因为为直角三角形中较小的锐角， ，所以， 又因为，所以，解得， 所以，即，所以， 所以， 故选：D 5．十七世纪著名天文学家开普勒曾这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”底与腰之比为黄金分割比的等腰三角形称为黄金三角形，黄金三角形被认为是最美的三角形，如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在中，，．根据以上信息，可得图中黄金三角形顶角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】先利用三角函数的定义可得，再根据余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由题意，在中，易得， 则, 故答案为： 6．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.由三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一表高测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的晷影长是表高的2倍，第二次的晷影长是表高的4倍，求的值. 【答案】 【分析】由题意根据两角和的正切公式以及二倍角公式可解. 【详解】由第一次的”晷影长”是”表高”的2倍，得，由第二次的”晷影长”是”表高”的4倍，得，所以， 所以. 题型六 数列 【技巧通法·提分快招】 数列类新文化试题突破思路 1、读题找规律：从古代工艺、历法、堆垛术等文化背景中，抓“变化逻辑”——比如“每一项比前一项多固定数量”“每一轮按固定比例增长”，或明确“第n项对应的实际意义”（如第n层的物品数）. 2、判断数列类型：差固定→等差数列；比值固定→等比数列；无明显规律→按题目给出的递推逻辑梳理（如后一项由前两项相加得到）. 3、用常规方法计算：等差数列可通过首项、末项、项数求某项或总和；等比数列围绕首项和固定比值计算；递推类用“逐次推导”或“归纳规律”的方式求解 1．（25-26高三上·重庆南岸·期中）南宋数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算术·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第8层小球的个数为（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】B 【分析】通过分析找出规律后，利用等差数列求和公式求解. 【详解】第1层：， 第2层：， 第3层：， 第4层：， 第层：， 所以第8层：， 所以第8层小球的个数为36， 故选：B. 2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第n个单音的频率为，根据题意知数列是等比数列，由和公比结合推广的等比数列通项公式即可求解. 【详解】设第n个单音的频率为， 则由题意知数列是等比数列，且公比为，， 所以第十二个单音的频率为. 故选：D 3．（2025·陕西汉中·模拟预测）鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即. 根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 4．（多选题）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：，该数列的特点是：前面个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为，其前项和为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据斐波那契数列的特征推导可得. 【详解】选项A：可以发现， 因此我们归纳，猜想， 事实上，，故A错误； ， ， 选项B：计算可得，故B正确； 选项C：由及，， 故，故C正确； 选项D：可以发现，，，归纳得到， 事实上， 故，故D正确. 故选：BCD 5．（25-26高三上·北京密云·月考）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子中间一节的装米量为 升． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用等差数列中项性质即可求解. 【详解】由题意竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 且只有，，，，，，共项， 因为，， 所以，又因为，解得. 故答案为：. 6．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 . 【答案】239 【分析】根据题意可得数列，的通项公式，再分析数列，结合周期性可知，即可得结果. 【详解】因为， 可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列， 可得， 又因为数列，的相同的数组成的数列为， 可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得， 则数列依次为， 可得，所以. 故答案为：239. 题型七 立体几何 【技巧通法·提分快招】 1、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体． 2、我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 3、《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”. 1．（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点,取的中点为,则平面,取的中点为,连接,则, 过作,则平面,进而求解体积. 【详解】连接交于点,取的中点为,则平面, 由其余棱长都为，所以 取的中点为,连接,则, 过作, 则平面,如图所示，由题意可知，,则, 所以, 所以. 故选：D 2．（2025·河北·模拟预测）祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图圆弧：与，，围成的阴影部分绕轴旋转，所得旋转体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到截面为圆面的半径为，构造以下3个几何体：①底面半径为，高为1的圆柱；②底面半径为1，高为1的倒立圆锥；③底面半径为1，高为，把轴截面水平放置的半个圆柱，分别求得截面的面积，结合祖暅定理，即可求得旋转体的体积. 【详解】由题意得，与距离轴为的平面截旋转体，截面为圆面，半径为， 面积为，构造以下3个几何体： ①底面半径为，高为1的圆柱，用平行于底面且距离底面为的平面去截，可得截面面积为； ②底面半径为1，高为1的倒立圆锥，用平行于底面且与顶点距离为的平面去截，可得截面面积为； ③底面半径为1，高为，把轴截面水平放置的半个圆柱，用平行于底面且与底面距离为的平面去截，可得截面面积为， 由祖暅定理可知所求旋转体的体积为：， 故选：D. 3．（2025·湖南·模拟预测）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中，，，h分别为几何体的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，，，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．318 C．324 D．336 【答案】D 【分析】根据题设得到到平面的距离为，求得中截面和底面的面积，利用给定“万能求积公式”计算即可. 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，四边形为矩形，，，， 作出中截面，, 四边形为矩形，所以四边形为矩形， ， 所以体积为. 故选：D 4．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将刍甍补成如图所示的三棱柱，首先证明三棱柱是直三棱柱，然后根据体积的转换即可求解. 【详解】因为， 所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱， 不妨设的面积为，三棱锥的体积为， 从而. 故选：D. 5．（2025·福建福州·模拟预测）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是 （用数字作答）． 【答案】24 【分析】要确定以长方体顶点为顶点的阳马个数，需要考虑长方体的面与顶点的关系，通过分析每个面作为阳马底面的情况来计算总数. 【详解】长方体有6个面. 以其中一个面为底面，比如底面. 当以底面为阳马的底面时，从顶点中任选一个顶点作为垂直于底面的侧棱的顶点， 都可以构成1个阳马，这样就有4个阳马. 因为长方体有6个面，每个面都可以像底面这样构成4个阳马. 所以阳马的总个数为.   故答案为：24. 6．粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为4cm的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为 ． 【答案】 【分析】根据正四棱锥的边长直接计算出正四棱锥的表面积，利用等体积法计算出正四棱锥的内切球的半径，并计算出正四棱锥的高，由此可得出结果. 【详解】正四棱锥的表面积为， 如下图所示： 设正四棱锥底面的中心为点，则平面， , 设正四棱锥的内切球球心为O，球的半径为r， 又由 ， 所以， 所以， 故答案为： 题型八 平面解析几何 1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线分别和边相交于点，则三点在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系中若三角形三个顶点的坐标为，，则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的外接圆方程，求出在处的切线方程，即可求出的坐标，由题意即可求得答案. 【详解】设的外接圆方程为， 则，解得， 即外接圆方程为，即， 故该外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 外接圆在处的切线方程为； 直线的方程为，令，则，即得， 则直线的方程为，即， 即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为. 故选：A. 2．简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线．设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解椭圆上一点处的切线方程为，进而可得切线与的方程，即可求解两直线的斜率，以及切点坐标，即可根据斜率之积列方程，从而可求得离心率的值. 【详解】先证明：椭圆上一点，的切线方程为． 由椭圆，可得，， 当时，，求导可得：， 当时，， 切线方程为， 整理为：， 两边同时除以得：． 同理可证：时，切线方程也为． 当时，切线方程为满足． 综上，过椭圆上一点,的切线方程为． 设，则切线与的方程分别为， 则， 将分别代入与的方程中得，解得， 将代入椭圆中，得， 结合图形可得，故，， 由于椭圆在运动变化过程中，直线与的斜率之积为常数， ， 故，即，故可得． 故选：A． 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）椭圆具有对称美，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，即得“斜椭圆”．已知“斜椭圆”C的方程为，其左、右焦点分别为，，设在C上，则（    ） A．C的长轴长为 B．C的焦距为4 C．若，则的面积为2 D． 【答案】BCD 【分析】设C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，根据题意，联立方程组，分别求得椭圆的顶点坐标，得到长轴长和焦距，可得判定A错误，B正确，再将该椭圆还原成焦点在x轴上的标准椭圆，得到，结合椭圆的定义和几何性质，可得判定C正确，D正确. 【详解】设C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由方程可知，曲线C关于直线与对称，且关于原点对称， 故C的中心为O，顶点为C与直线，的交点， 由，可得，即， 所以曲线C的其中2个顶点为，， 又由，可得， 所以曲线C的另外2个顶点为, 则，，所以，，， 故长轴长为，A错误；焦距，B正确； 将该椭圆还原成焦点在x轴上的标准椭圆，可得方程为， 设该椭圆焦点分别为M，N．点Q在该椭圆上，则， 又由椭圆的定义，可得， 即，解得， 因为，所以的面积为，故C正确； 由，由椭圆的性质得，当点P为长轴的端点时，取得最大值， 当点P为短轴的端点时，取得最小值，故D正确． 故选：BCD． 4．（2025·湖南·模拟预测）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 5．新定义•闵氏距离，新融合•计算机科学  在计算机科学中，闵氏距离是机器学习算法的基础，常用于测量数据点之间的相似性或差异性．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离为，其中表示阶数．若，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】将，两组数据对应项分别代入闵氏距离的计算公式，直接化简，结合化简后代数式的结构，联想两点间的距离公式，利用该式的几何意义求解即可. 【详解】由已知可得， 所以可看作平面上的动点与动点之间的距离． 设，，则点在曲线上，点在直线上． 设曲线斜率为1的切线对应的切点为，则，所以，，则切线方程为． 直线与间的距离为，所以的最小值为． 故答案为：. 题型九 概率与统计 1．2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 【答案】B 【分析】结合组合知识，再采用正难则反的思想，利用间接法即可求解 【详解】从个节气中选择个节气，总共不同的选法有种， 从个节气中选择个节气，且个节气在同一个季节，不同的选法有， 所以从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，不同的选法有种； 故选：B. 2．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（   ） A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚 C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚 【答案】A 【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案. 【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负， ①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为； ③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为； 所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚. 故选：A. 3．宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【详解】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，，所以 故选：D 4． 《尚书》中的五行理论在中医和哲学中有着广泛的应用．古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系．如图是五行图，现有5种颜色可供选择给五行涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生水，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（    ） A．960 B．1020 C．2150 D．3125 【答案】B 【分析】问题化为五个区域，有5种不同的颜色供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题． 【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件． 五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色，即5色5区域的环状涂色问题，如下图示， 分为以下两类情况： 第一类：三个区域涂三种不同的颜色， 第一步涂区域，从5种不同的颜色中选3种按序涂在不同的3个区域上，则有种涂色方法， 第二步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法； 第二类：三个区域涂两种不同的颜色，由不能涂同一种颜色，则涂同一种颜色，或涂同一种颜色， 若涂一种颜色， 第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色， 即从5种不同的颜色中选2种按序涂在不同的2个区域上，则有种涂色方法， 第二步涂区域，由于颜色相同，则有4种涂色方法， 第三步涂区域，由于颜色不同，则有3种涂色方法， 由分步乘法计数原理，得共有种涂色方法． 若涂一种颜色，与涂一种颜色的方法数相同， 所以，第二类共有种涂色方法． 由分类加法计数原理知，不同的涂色方法共有种． 故选：B 5．（24-25高三下·海南·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若，则的值可以是 ． 【答案】9的整数倍加8 【分析】利用二项式定理化简，再根据的含义求解即可. 【详解】 , 因为被整除与，且， 所以的值可以是9的整数倍加8， 故答案为：9的整数倍加8. 6．托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【答案】 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（23-24高三上·云南·月考）数学符号的使用对数学的发展影响深远，“=”作为等号使用首次出现在《砺智石》一书中，表达等式关系，英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”，便于不等式的表示，设命题，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案. 【详解】p：，，则为，. 故选：B． 2．（23-24高三上·贵州贵阳·月考）世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先考查对勾函数在区间的单调性，确定其值域，再按照取整函数的要求一一列举即得函数的值域. 【详解】易知在上单调递减，上单调递增.当时，； 当时，；当时，，所以，则函数的值域为. 故选:C. 3．三角形是生活中随处可见的简单图形，其中有非常有趣的特殊点及特殊线.大数学家欧拉在1765年发现，给定一个三角形，则其外心、重心、垂心落在同一条直线上，后人为了纪念欧拉，称这条直线为欧拉线.在平面直角坐标系xOy中，的顶点，，则“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】设出点C的坐标，结合欧拉线求出外心坐标，再由重心在欧拉线上及三角形外心的意义列出方程求解，然后利用充分条件、必要条件的意义判断作答. 【详解】若的欧拉线方程为，设点，则的重心为，显然点在直线上，于是得， 直线的斜率为2，线段的中点，则线段的中垂线方程为，即， 由得的外心，即有，因此， 解得或，于是得点C的坐标为或； 当C的坐标为时，的重心为，外心为，因此的欧拉线方程为， 所以“的欧拉线方程为”是“点C的坐标为”的必要不充分条件. 故选：A 4．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 5．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 6．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到，余弦定理求，利用向量数量积公式求. 【详解】若，则圆弧、的半径为2，设圆O的半径为，则，过O作，则，， 中，，即，解得，则有， 中，由余弦定理得， ． 故选：A. 7．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被作为第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为BF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，利用勾股定理和向量的坐标运算即可得出结果． 【详解】以A为原点建立直角坐标系，如图所示．    不妨设，则. ∴，解得， 设，则， ，，即， 设，由，则， ，. 故选：B． 8．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，……）．若一“落一形”三角锥垛有20层，则该堆垛总共球的个数为（    ）    A．1540个 B．1760个 C．1250个 D．1980个 【答案】A 【分析】由题意可得第一层与第二层差2，第二层与第三层差3，依次类推可得第n层与第层差n,根据等差数列以及递推公式可得到三角形数的通项公式，进一步可求出前n项和 【详解】由题意可得第一层与第二层差2，第二层与第三层差3，依次类推可得第n层与第层差n, 故“三角形数”的通项公式，前项和公式为 ， 当时，。 故选：A 9．（24-25高三下·天津南开·月考）瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知即在基础上多出个面积为的正三角形，整理可得，利用累加法可得结果. 【详解】因为， 可知即在基础上多出个面积为的正三角形， 则，即， 所以. 故选：C. 10．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，设，其前项和为，则（    ） A．63 B．8 C．7 D．64 【答案】C 【分析】根据图形得是以1为首项，以1为公差的等差数列求出，再利用裂项相消求和可得答案. 【详解】根据图形， 因为，都是直角三角形， ， 是以1为首项，以1为公差的等差数列， ，且满足上式，. 由题意得，，. ， . 故选：C. 11．（25-26高三上·辽宁·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 12．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角：当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知，，分别是的内角，，的对边，且，，若为的费马点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和两角和正弦公式得到，然后利用余弦定理得到，利用题目的结论和等面积的思路得到，最后求数量积即可. 【详解】 由， 则有， 即， 由，故，则有，即，即； ∴，∴， 又， ∴， 设，，， ∵， ∴三角形的三个角均小于120， ∴根据题意可得， 又， ∴， ∴， ∴ . 故选：D. 13．（2025·河南·三模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a和b被m除得的余数相同，那么称a和b对模m同余，记为．若a为的二项展开式中含x项的系数，且，则b的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项可求含x项的系数，再结合二项式定理可求该系数除以5的余数，最后根据除以5的余数相同得正确的选项. 【详解】的二项展开式中含x项的系数为， 由二项定理可得： ， 而能被5整除， 故除以5的余数为1，而除以5的余数相同， 故除以5的余数为1， 而，，，，故D正确． 故选：D. 14．（多选题）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何?”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数可以为（   ） A．9 B．23 C．128 D．233 【答案】BCD 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】对于A：，则，所以，故A错误； 对于B：，满足的描述，所以，符合题意，故B正确； 对于C：，满足的描述，则，符合题意，故C正确； 对于D：，满足的描述，，符合题意，故D正确； 故选：BCD 15．（23-24高三上·安徽亳州·期中）（多选题）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解. 【详解】设一楼到五楼的距离为， 由题知，A错误； 因为， 且，所以，所以，所以， 又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确； 对C，因为，所以， 又因为， 所以，即，C正确； 对D，因为， 所以，即，D正确； 故选:BCD. 16．（2025·贵州·二模）（多选题）《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵中，，则（   ） A．当时，四面体为鳖臑 B．当时，四面体为鳖臑 C．当时，四面体外接球的表面积为 D．当时，堑堵体积的最大值为8 【答案】ACD 【分析】利用鳖臑的定论，结合线面垂直的判定性质判断AB；求出外接球半径计算判断C；求出体积关系，结合基本不等式求得最大值判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，平面， 则，又，平面， 因此平面，而平面，于是， 四面体的四个面均为直角三角形，即四面体为鳖臑，A正确； 对于B，过作于，连接，由，得在线段上（除点）外， 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是，均为锐角， 同理也为锐角，即是锐角三角形，四面体不是鳖臑，B错误； 对于C，当时，为中点，，， 由，得，四面体的外接球即为堑堵的外接球， 平面与平面截该外接球的截面小圆平行且全等，则球心到截面的距离， 而外接圆半径，因此该外接球半径，该球的表面积为，C正确. 对于D，，则，令，由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 17．（多选题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：，现有，其内角、、的对边分别为、、，且，的面积为，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为 B．若为的外心，则 C．内切圆的半径为 D．在中，边的中线的长为 【答案】BCD 【分析】设，则，，结合三角形面积公式求出，可求出的周长，可判断A选项；推导出，，结合平面向量数量积的运算性质可判断B选项；利用等面积法求出内切圆的半径，可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，设，则，， 所以， 故，则，，， 因此，的周长为，A错； 对于B选项，取线段的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 因此，，B对； 对于C选项，设内切圆的半径为， 则， 故，C对； 对于D选项，因为为的中点，所以， 又因为，故， 即，即，故，D对. 故选：BCD. 18．（2024·福建泉州·模拟预测）围棋在中国古时称"弈"，是一种策略性二人棋类游戏．围棋棋盘由纵横各19条等距离、垂直交叉的平行线构成．则围棋棋盘上的矩形数量为 ．（用数字作答） 【答案】29241 【分析】直接由组合数知识以及乘法原理即可得解. 【详解】矩形是在同一平面内，由两组平行线段组成，且每两相交线段均垂直的闭合图形． 则横向19条线、纵向19条线中各选择2条即可，即. 故答案为：29241． 19．（2025·北京东城·二模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中讨论了“垣”“堑”等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱的“堑”型沟渠的土方作业（如图），其中与平面所成的角均为，，米，米，米，则需要挖土 立方米. 【答案】 【分析】根据条件得四边形为等腰梯形，再根据棱柱的体积公式计算即可. 【详解】因为与平面所成角均为，且, 所以四边形为等腰梯形， 因为, 所以等腰梯形的高， 故， 所以直四棱柱体积. 故答案为：. 20．（24-25高三上·江西·开学考试）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.每次试验时，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内，在如图所示的小木块中，上面10层为高尔顿板，最下面为球槽.小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过9次与小木块碰撞，最后掉编号（从左至右）为1，2，…，10的球槽内.若一次试验中小球滚落至事先选定的球槽编号n即得积分，否则不得分．若，则每次试验前选定球槽编号为 ，所得积分的数学期望最大． 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出小球落入第号格子的概率，进而求出其数学期望，再求出取得最大值的编号. 【详解】设选定的格子编号为，则小球碰撞过程中有次向右边滚落， 落到该格子的概率为，此时其数学期望为， 令，则， 当时，，当时，，所以当时，最大. 故答案为：8 21．（25-26高三上·广东深圳·月考）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑中，平面，，，，，分别为线段，，的中点，则平面截鳖臑外接球所得截面的面积为 . 【答案】 【分析】运用割补法，结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、球的性质进行求解即可. 【详解】可将鳖臑补形为正方体，如图，    则该鳖臑外接球与正方体外接球相同，球心为中点， 外接球半径为， 取中点，中点，可知平面即为平面， ，平面，平面， 得平面，同理平面，， 得平面平面， 又平面， 则到平面距离即为平面与平面之间的距离，连接分别交，于，，因为平面，所以，，，所以平面，即平面， 因此所求面面距离即为， 所以所求截面圆的半径为，则截面圆面积为. 故答案为： 22．（24-25高三上·天津滨海新·月考）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.在新春来临之际， 许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛， 寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望， 设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如左图). 已知正方形 的边长为 4，中心为，四个半圆的圆心均在正方形 各边的中点 (如右图). 若点 位于半圆弧 的中点， 的值为 ; 若点 在四个半圆的圆弧上运动，则 的取值范围是    【答案】 【分析】当位于半圆弧中点时，，用，然后由数量积的运算律计算可得，计算时，建立如图所示的平面直角坐标系，写出半圆弧方程，得出其上点的坐标的范围，用坐标计算，然后求得结论． 【详解】当位于半圆弧中点时，，而，所以，， ． 以为建立平面直角坐标系，如图， 由已知， 因此半圆弧的方程为（在直线上方的部分）， 在半圆弧（包括端点）上，则， ， ， 又，所以， 由对称轴，当在半圆弧（包括端点） 上时，， 同理当在半圆弧（包括端点）上时有，在半圆弧（包括端点） 上时有， 综上，， 故答案为：；．    23．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，直角边，的三边围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．若，设，则区域Ⅲ面积的最小值为 ；过点作于点，当面积最大时，则区域Ⅱ的面积 ．    【答案】 【分析】根据题意计算的面积，即得区域Ⅰ的面积；利用半圆的面积减去的面积，得出区域Ⅲ的面积，再求它的最小值；计算的面积，求出面积取最大值时对应的值，再计算区域Ⅱ的面积． 【详解】因为，， 所以，， 区域Ⅰ面积， 区域Ⅲ面积， 所以区域Ⅲ面积． 因为，所以当时，； 因为，，所以， ，， 所以， 设，，则，得，， 当时，，，为增函数． 当时，，，为减函数． 所以，当时，最大，面积最大， 此时，区域Ⅱ面积 ， ． 故答案为：，. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】D 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，不正确； B：由且，都有，但，不存在，使，不正确； C：由且，使，但，不存在，使，不正确； D：对所有的，可设，则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，可设，求出. 2．瑞士数学家欧拉是数学史上最多产的数学家，被誉为“数学之王”，欧拉在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条直线被称为欧拉线．已知，为所在平面上的点，满足，，则欧拉线一定过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量等式的含义以及向量的运算，分别说明为的外心、垂心、重心、内心，继而根据欧拉线定理可得结论． 【详解】由题意知，即为的外心； ，则为的重心； ， 即有， 即，同理，即为的垂心； 由解析题中向量式中有两共起点的向量， 于是，， 令， 则是以为起点，向量与所在线段为邻边的菱形对角线对应的向量， 即在的平分线上, 共线, 所以点的轨迹一定通过的内心, 由欧拉线定理知，欧拉线一定过. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，充分理解三角形心的向量表示，从而得解. 3．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为的牛顿数列．设，已知，的前项和为，则等于（   ） A．2025 B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】先由函数有两个零点求得和的解析式，进而求得数列的递推公式，从而得到数列的前n项和，即可求得的值． 【详解】有两个零点1，2， 则，解之得， 则，则， 则， 则， 由，可得， 即， 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则， 前n项和，则. 故选：D． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选题）帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是偶数 D． 【答案】BD 【分析】根据题设递推关系写出前8项并求判断A、B；列举出相关项判断的奇偶性及数列的周期性，并得到相关递推关系判断C、D. 【详解】由题设，， ，，故A错误； 由上分析，，故B正确； 由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表， 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 16 21 28 * * * @ @ * @ * * * @ @ * @ …… 显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数， 1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，故C错误； 由，，，…，，且，, 所以，又， 故，故D正确． 故选：BD. 5．（2025·陕西咸阳·二模）（多选题）若数列满足，，（），则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（   ） A．， B． C．，使得，，成等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】对于选项A，B和D，利用和，，即可求解；对于C，利用，，，，，猜想，再利用数学归纳法证明猜想成立，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，因为，所以选项A正确， 对于选项B，因为， 又，所以，故选项B正确， 对于选项C，假设，使得，，成等比数列，则有，即， 前几项：，，，，， 则，，， 猜想，当时，猜想成立， 假设时，猜想成立，即成立， 则时，则， 所以，对于任意的，都有成立，所以选项C错误， 对于选项D，因为，， ， 则 ， 所以选项D正确， 故选：ABD. 6．（2025·宁夏石嘴山·一模）（多选题）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去，则（    ） A．对于任意的正整数n， B．对于任意的正整数n，为整数 C．存在正整数n，三角形的面积为2025 D．存在正整数n，三角形为钝角三角形 【答案】AC 【分析】根据点坐标的规律，应用分类讨论归纳总结出的坐标，再依次判断各项的正误即可. 【详解】当为奇数时；当为偶数时； 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以对于任意的正整数n，，A对； 当，则，B错； 由，可得， 所以存在正整数n，三角形的面积为2025，C对； 对于任意，其中最大的边为， 其它两边分别为，， 所以， 所以为最大角，且，即为锐角， 所以三角形不可能为钝角三角形，D错. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：根据所得的坐标，确定各点距离为关键. 7．（多选题）三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当内一点P满足条件：时，则称点P为的布洛卡点，角为布洛卡角.如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，点P是的布洛卡点，布洛卡角为，则（   ） A．当时， B．当且时， C．当时， D．当，时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由两角相等得到三角形相似，再由边对应成比例可得A选项； 对于B，设，由三角形相似表示出，在中由正弦定理表示出可知其为等腰直角三角形，在中由余弦定理得到与的关系，结合求出； 对于C，由，在结合余弦定理即可证明； 对于D，运用正弦余弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换即可判断. 【详解】对于A选项，当时，是等腰三角形，， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以，即， A正确； 对于B选项，当时，由A选项知，， 因为，所以，设，则， 因为，所以，所以， 即满足，可得, 在中，， 由正弦定理得，所以， 所以，联立，解得，B错误； 对于C选项，当时， ， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得， 即，C正确； 对于D选项，已知，. 先由余弦定理，所以，进而. 设，则，. 在中，由正弦定理；在中，. 因为，，，. 由正弦定理，，可得. 在中，再用正弦定理，把代入得. 展开，即，化简可得.D正确. 故选：ACD. 8．（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解. 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需, 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 9．（2025·宁夏银川·一模）1688年，笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程：.若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为 .    【答案】 【分析】互换方程不变，可得笛卡尔叶形线关于直线对称，求出曲线与直线在第一象限的交点，数形结合求解. 【详解】在方程中，互换得，方程不变， 所以笛卡尔叶形线关于直线对称， 令，得，解得或，即笛卡尔叶形线与在第一象限的交点为， 由图象知，笛卡尔叶形线上第一象限内的点离原点距离最大， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是判断笛卡尔叶形线关于直线对称，数形结合求解. 10．（2025·辽宁·二模）图1所示几何体是一个星形正多面体，称为星形十二面体，是由对（个）平行五角星面组成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示．一个星形十二面体有 个星芒（凸起的正五棱锥），将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】结合图形可判断出星芒的个数；将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星，计算出正五棱锥侧面积和底面积之比即可. 【详解】由图可知，每个星形十二面体有个星芒， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比为 ， 故答案为：；. 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）斐波拉契数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于它前两项的和.很多自然现象中都蕴含着这个数列，比如图（1）中螺旋星系的星球分布呈螺旋形结构，这个结构中的每条曲线称为等角螺线.现用图（2）的方式近似地绘制等角螺线：由正方形构成一系列的长方形，正方形的边长为斐波拉契数列的连续项，在每一个正方形内绘制一个圆的，这些圆弧连结起来就近似的得到等角螺线.将正方形的边长由小到大排列，已知第个正方形的边长为，第个正方形的边长为，则前个正方形中圆弧总长为 . 【答案】 【分析】设第个圆弧的半径为，设前个圆弧的半径之和为，根据斐波拉契数列的性质推导出，即，从而求出前个正方形中圆弧总长. 【详解】设第个圆弧的半径为，设前个圆弧的半径之和为， 则，，，，， 依题意，， 则 ， ， 所以， 所以， 所以前个正方形中圆弧总长为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出根据斐波拉契数列的性质. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $