5.4 用一次函数解决问题（第2课时 根据一次函数图象解决实际问题）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦“根据一次函数图象解决实际问题”，以农业基地运输费用比较为情境导入，通过分析图象横轴纵轴意义、交点含义及函数值大小关系，搭建从识图到用图的学习支架，衔接一次函数表达式知识，为实际应用奠定基础。 其亮点在于以生活实例（运输、列车运行、广告屏）驱动，通过典例分层分析（分段函数图象、动态面积问题）培养几何直观与模型观念，结合中考链接强化推理意识。采用问题链与分层递进教学，小结提炼关键点与函数建模方法，助力学生提升解决实际问题能力，也为教师提供丰富教学资源与实施思路。

5.4 用一次函数解决问题 第2课时 根据一次函数图象解决实际问题 第五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 能根据实际生活情境建立一次函数模型并结合函数图象和函数表达式的性质解决问题． 通过建立实际情境、函数表达式、函数图象等之间关联的过程，发展几何直观、模型观念和应用意识． 问题情境 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择. 汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？ (1) 图象的横轴与纵轴的实际意义是什么？ 横轴表示运输的里程,纵轴表示运输的费用. (2) 图象中交点的实际意义是什么？ 运输里程为80km时,汽车和火车的运输费用都是570元. 问题情境 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择. 汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？ (3) 两条直线的交点前后，自变量取相同的值时，两个函数值大小关系有什么变化？ 交点前，自变量取相同的值时，汽车运输费用 小于火车运输费用；交点后，自变量取相同的值时， 汽车运输费用大于火车运输费用． 问题情境 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择. 汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，x km表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示．你认为哪种运输方式花费较少？ 观察图象可得： 当x＝80时，两种运输方式费用相等，都是570元； 当0≤x＜80时，汽车运输花费较少； 当x＞80时，火车运输方式花费较少． 还有其他方法比较运输费用的大小关系吗？ 列不等式． 典例分析 例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min． (1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2) 列车发车12 min时的速度是多少？ 问题1 图象的横轴与纵轴的实际意义是什么？ 横轴表示列车运行时间，纵轴表示列车运行速度． 问题2 图中点(3,5)，(10,5)，(14,0)的实际意义是什么？ (3,5)表示当运行时间为3min，运行速度为5km/min；(10,5)表示当运行时间为10min， 运行速度为5km/min；(14,0)表示当运行时间为14min，列车停止行驶． 典例分析 例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min． (1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2) 列车发车12 min时的速度是多少？ 问题3 图中三条线段的实际意义是什么？ 当行驶时间在0～3 min时，列车行驶速度随时间均匀增加； 当行驶时间在3～10 min时，列车行驶速度不变，始终是5km/min； 当行驶时间在10～14 min时，列车行驶速度随时间均匀减小． 典例分析 例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min． (1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2) 列车发车12 min时的速度是多少？ 解：(1) 由图可知：当3≤t≤10时，v＝5 km/min． 在3～10 min这个时间段列车运行的路程为5×(10－3)＝35(km)． (2)当10≤t≤14时，设函数表达式为v＝kt＋b．函数图象经过点(10，5)和(14，0). 将这两个点坐标分别代入函数表达式，得 矩形的面积是这时段内列车行驶的路程． 典例分析 例2 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，列车运行时间为t min，运行速度为v km/min． (1) 在3～10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2) 列车发车12 min时的速度是多少？ 解这个方程组，得 所以当10≤t≤14时，v关于t的函数表达式为v＝－1.25t＋17.5． (2) 当t＝12时，v＝－1.25×12＋17.5＝2.5(km/min)． 所以列车发车12 min时的速度是2.5 km/min． 思维提升 列车出发多久，行驶速度为2.5km/min？ 2.5 解：当0≤t≤3时，设函数表达式为v＝k1t． 函数图象经过点(3，5)． 将这个点坐标分别代入函数表达式，得5＝3k1， 解得k1＝，所以当0≤t≤3时， v关于t的函数表达式为v＝t． 当v＝2.5时，t＝×＝ (min)． 所以列车出发min时的速度是2.5 km/min． 12 典例分析 例3 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB＝8m，AD＝6m．动态效果设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2m/s的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面． (1) 写出屏幕展开面积S m²关于点P 的运动时间t s的函数表达式，并画出函数图象； 2m/s 思考: “点P在AB上运动时屏幕展开面积与时间t的变化规律”与“点P在BC上运动时 屏幕展开面积与时间t的变化规律”是否相同，若不相同，它们面积的变化与分别什 么变化有关？ 6m 8m 典例分析 2m/s 解：(1)当点P在边AB上运动时， S＝AD×AP＝×6×2t＝6t． 此时，t的取值范围是0≤t≤4． P 当点P在边BC上运动时， S＝(BP＋AD)×AB＝(2t－8＋6)×8＝4(2t－2)＝8t－8． 此时，t的取值范围是4≤t≤7． 所以函数表达式为 当0≤t≤4时，S＝6t；当4≤t≤7时，S＝8t－8． 函数图象如图所示． 6m 8m 典例分析 (2) 当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续3s，求播放结束时电子屏幕未展开的面积． 解：(2)当S＝×8×6＝16(m2)时，开始播放广告语， 此时点P在边AB上运动，则6t＝16，解得t＝． 当t＝＋3＝(s)时，广告语播放结束， 此时点P在边BC上运动，则S＝8×－8＝(m²)． 电子屏幕未展开的面积为6×8－＝(m²)． 所以电子屏幕未展开的面积为m²． 16 归纳总结 1. 两个一次函数图象的交点意味着当自变量取某个数值时，两个函数 值相等．以这个交点为分界，在左、右两边各取一个自变量值时，函 数值的大小比较完全相反． 2. 解决与函数图象相关的实际问题，关键是从图象中获取解题信息， 这是数形结合思想的具体体现，识图的关键是弄清函数图象上一些关 键点的意义．从x轴、y轴的实际意义去理解图象上点的坐标的实际意 义尤为重要． 新知巩固 1. 设计两个不同的情境，使情境中的两个变量x，y的函数关系可以用下图表示． 解：答案不唯一． 如小明从家出发匀速跑步，8min时离家2km， 他原地休息了6min后再用10min回到家； 向一个容积为2L的空水槽中匀速注水，8min 装满则停止注水，再过6min后，打开排水口， 10min后水槽中的水排空． 新知巩固 2. 某市居民用电实行阶梯电价制度,收费标准为：每户居民每月用电量不超过240kW·h，按0.5元/(kW·h)收费；用电量超过240kW·h的部分，按0.6元/(kW·h)收费． (1) 画出每月应缴纳的电费y元关于用电量x kW·h的函数图象； (2) 小明家6月、7月分别用电200kW·h和260kW·h，应缴纳电费各多少元？ 解：(1) 由题意可知，当0≤x≤240时，y＝0.5x； 当x＞240时，y＝120＋0.6(x－240). 函数图象如图所示： x y O 240 120 (2) 当x＝200时，y＝0.5×200＝100(元)； 当x＝260时，y＝120＋0.6×(260－240)＝132(元)． 中考链接 1.（2024·济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A，B两款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW·h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　12　kW·h． 12　 中考链接 2. （2024·牡丹江）一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 h到达目的地．甲、乙两车之间的路程y（km）与甲车行驶时间x（h）的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1） 甲车行驶的速度是 　70　km/h，并在图中括号内填上正确的数； 70　 300　 解：∵乙车比甲车早 h到达目的地， ∴甲车 h行驶的路程为200－180＝20(km)， ∴甲车行驶的速度为20÷＝70(km/h)． ∴A，C之间的路程为70×(4＋)＝300(km)． 中考链接 （2）求图中线段EF所在直线对应的函数表达式； 解：(2)由图，可知点E，F的坐标分别 为 ，(4，180). 设线段EF所在直线对应的函数表达式为 y＝kx＋b，则 解得 ∴ 线段EF所在直线对应的函数表达式 为y＝120x－300． 300　 课堂小结 根据一次函数图象解决实际问题 识图的关键是弄清函数图象上一些关键点的意义． 利用图象上特殊点的坐标建立函数关系求出函数表达式. 感谢聆听！ $