第3章 勾股定理 综合与实践（基础强化版）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

课时提优计划作业本数学八年级上)>) 综合与实践 强化巩固 1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中， 下列各组数中，是“勾股数”的是 () A.2、3、5 B.7、8、9 C.6、8、10 D.5、12、11 2.小雯在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等的三角形纸板，并拼出一个新图形如 图所示，若EF=1,GH=7,则正方形ABCD的周长为 A.14 B.17 C.20 D.24 第一代勾股树 第二代勾股树 第三代勾股树 (第2题) (第3题) 3.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分 别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得 名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作 图，则第七代勾股树中正方形的个数为 () A.127 B.129 C.255 D.257 4.意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不同形状的空洞，而两个空洞的面积是相等的， 如图所示，可由此证明勾股定理.若设左边图中空白部分的面积为S1,右边图中空白部分的 面积为S2,小聪同学得出了以下四个结论：①S1=a2十b十ab;②S2=c2十ab;③S1=S2; ④a2+b2=c2.则其中正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 剪开， 右边部分 上下翻转 (第4题) (第5题) 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传 是由商高发现，故又称之为“商高定理”如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和 中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角 三角形的两条直角边长分别为m、n,则mn= 6.我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且较短直角边为勾，较长直角边为股，斜边为弦.如图 1,数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方 法所得的图形证明了勾股定理如图2的长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若 66 第3章勾股定理 AC=6,CD=2,则长方形的面积为 图1 图2 7.如图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图， 图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与 青方是两个正方形.探究学习中，标上字母绘成如图2所示，若记朱方对应正方形GDJH的 边长为a,青方对应正方形ABCD的边长为b,已知b一a=3,a2+b2=29,则图2中的阴影 部分面积为 朱出 朱方 <青入 青入 青方 朱入 青出 青出 图1 图2 拓展提升 8.阅读材料，回答下列问题： 【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？ 【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG 【探索新知】 (1)从面积的角度思考，请用两种方法计算五边形ABEFG的面积，并写出得到等式a2十 b2=c2的过程. (2)若满足等式a2十b2=c2的a、b、c是三个正整数，我们称a、b、c为勾股数.已知m、n是正 整数且m>n,证明：2mn、m2一n2、m2十n2是勾股数. 【灵活运用】 (3)在如图所示的五边形ABEFG中，若a=4,b=8,则空白部分的面积为 (4)请写出任意一组含有85的“勾股数”： (5)小明在他找到的勾股数的表达式中，用2n2十4n十4(n为任意正整数)表示勾股数中的最 大的一个数，则另两个数的表达式是 676.15解析：设树高为xm,则CD=(x一10)m,由题意可知， 综合与实践 BD+AB=10+20=30,.AC=30-CD=30-(x-10)= 强化巩固 (40一x)m,,△ABC为直角三角形，.AC2=AB2+BC2,即 1.C2.C解析：设每个三角形的长直角边为a,短直角边为 (40-x)2=202十x2,解得x=15,即树高为15m.7.61 a-b=1, 解析：如图1，AM2=AB2+BM2=42+(5+2)2=65;如图2，b,由题意可得， ,∴.AB=√a2+b= AM2=AC2+CM2=(4+5)2+22=85;如图3，AM2=52+ +6=7,解得/公 (b=3, (2+4)2=61.综上可知，蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬 √42+32=5，.正方形ABCD的周长为4AB=4×5=20. 行到点M的最短路程的平方是61. 3.C解析：由题意可知，第一代勾股树中正方形的个数为 M 2°十2，第二代勾股树中正方形的个数为2°十21十22，第三代 勾股树中正方形的个数为2°+21十22十23，…，第七代勾股 树中正方形的个数为2°十21+22+2十24+25+2+27= 255.4.D解析：由题意，得S1=a2+62+2×7b=a2十 M 6+ab,Sa=62+2×7ah=62+ab,且S=5a2+b= B c2,故①②③④正确.5.12解析：：大正方形的面积是25， 图1 图2 M .m2+n2=25,小正方形的面积是1，∴.(m-n)2=1, 0 .m2一2mn+n2=1,.25-2mn=1,∴.2mn=24,解得mn= 12.6.48解析：设BD=x,AC=6,CD=2,.AB=x十 (6-2)=4+x,BC=x+2,AB2=BC2+AC2,∴.(4+ x)2=(x十2)2+62，∴x=6,BC=8,.长方形的面积=6X 8=48.7.24解析：如题图2，，△EFG≌△DGC, 图3 △EFK≌△HGI,∴.阴影部分面积=S正方形Mrcc一S△DcC.'朱 8.(1)在Rt△MNB中，由勾股定理得BN=√BM一MN2= 方对应正方形GDJH的边长为a,青方对应正方形ABCD的 √1502-1202=90(m),∴AN=AB-BN=250-90=160(m).边长为b,∴.GD=GH=a,CD=BC=b.:青出与青入的三角 在Rt△ANM中，由勾股定理得AM=√AN2+MN= 形全等，∴.△IJC≌△KAM,.JC=AM=b-a,∴.BM=b √/1602+1202=200(m),.AM+BM=200+150=350(m).(b-a)=a,∴.CM=CG=√a2+b2,:b-a=3,a2+b2= 答：供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长为350m. 29,b=a2+62),6-0)-29,3=10,阴影都分面 (2),AB=250m,AM=200m,BM=150m,2502=2002+ 2 2 1502,.AB2=BM2+AM2,.△ABM是直角三角形， .BM⊥AC,∴BM的长度即为喷泉B到小路AC的最短距 积=5Em-5ac=a+62-2ah=29-5=24 拓展提升 离，为150m.答：喷泉B到小路AC的最短距离为150m. 拓展提升 8.(1)如图，方法一：S五边形ABEFG=S正方形ABDN十S正方形MDEF十 Q如图，作点B关于MN的对称点B,连接AB交AB,于点SA心+SAG=6+a2十，ab十号ab=a2+6°+b:方法 P,则B'B1=BB1,AP+BP=AP+B'P=AB',.P即为到 A、B距离之和最小的点.过点A作AE⊥BB'于点E,则 二：S五边形AEG=S正方形ACr十SAAC十SACEE=c2十号 BE=AA=2 km,AE=A B:=8 km,.'B'E BE+ B'B1=AA1+BB1=2+4=6(km).在Rt△AEB中，由勾股 2ab=c2+ab,a2+62+ab=c2+ab,a2+6=c2. 定理得AB'=√AE2+EB?=√82+62=10(km)..这个最 (2)证明：.(2mn)2=4m2n2,(m2-n2)2=m4+n4一2m2m2, 小距离之和是10km. .(2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4十n-2m2m2=(m2+ n2)2,∵m、n是正整数且m>n,.2mn、m2-n2、m2十n2都 E 是正整数，.2mn、m2一n2、m2+n2是勾股数.(3)48 解析：a=4,b=8,由(1)可知，S五边形ABBc=a2十b2十ab= M B.N 1 1 4+82+4X8=112,又：S△Ac=2ab=2×4X8=16, .图中空白部分的面积为112-4×16=48.(4)85、3612、 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …22· 3613(或85、132、157，答案不唯一)解析：不妨假设m2一 V15-g=12,∴5ac=2BC·AD=2×14X12=84. n2=85,m、n是正整数且m>n,∴.(m十n)(m-n)=85=1X 85-5X17,当/m+n=85 5”时，解得m=8·2m=3612, 7.680解析：由勾股定理得AB=√AC一BC= m-n=1 n=42, √32-5=12(m),则地毯总长为12+5=17(m),则地毯的 m2+n2=3613,.85、3612、3613是一组勾股数；当总面积为17×2=34(m2),.铺完这个楼道至少需要34× (mn=5时，解拜m11, m+n=17, 得{a=6,六2mm=132,m2+n2-157, 20=680(元).8.13解析：展开圆柱的半个侧面，得到一个 长方形，长方形的长是圆柱底面周长的一半，即4x≈12(cm), ∴85、132、157是一组勾股数.(5)2n2+4n4n十4解析：长方形的宽是圆柱的高，即5cm.根据勾股定理得，蚂蚁爬行 (2n2+4n十4)2=4n+16n2+16+16n3+16m2+32m=的最短路程即长方形的对角线长，即√122+5=13(cm). (4n+16n3+16n2)+(16n2+32n+16)=(2n2+4n)2+拓展提升 (4n十4)2，.另两个数的表达式分别为2n+4n、4n十4. 9.(1)证明：，AC=300km,BC=400km,AB=500km, AC2十BC2=AB2,∴.△ABC是直角三角形，.∠ACB= 90°.(2)海港C受台风影响.理由如下：如图，过点C作CD⊥ AB于点D.:S=号AC·BC-号AB·CD,iCD- AC·BC_300X400=240(km),:250>240,∴海港C受到台 AB 500 风影响.(3)如图，当EC=FC=250km时，正好影响海港C. Db 在Rt△CED中，由勾股定理得ED=√EC2一CD= 复习课 √/2502一2402=70(km),.EF=140km,.·台风的速度为 强化巩固 40km/h,.140÷40=3.5(h)..台风影响该海港持续的时间 1.B2.D解析：AB=AC,AD是∠BAC的平分线， 为3.5h. :ADLBC,BD=CD=合DC,在R1△ABD中，由勾股定理 得BD=√AB2-AD7=√/102-6=8..BC=2BD=2X 8=16.3.D解析：根据题意可知，中间小正方形的边长为 。一6(a>60.:每-个直角三角形的面积为宁6=号×8 第4章平面直角坐标系 4,由题图可知，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与 中间小正方形的面积之和，“4×号b十(a一6)2=25， 4.1点的位置与坐标系 第1课时认识平面直角坐标系 (a-b)2=25-4×4=9,.a-b=3.4.4解析：在 知识梳理 Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为边AB上的中线，AB=10, 1.互相垂直直角坐标系2.横轴右纵轴上原点 AE=BE=CB=合AB=2×10=5.:AD=2,DE=3.1)象限(2(+，+)）第二(-，-)(+，-)4.有 AE-AD=5-2=3.:CD为边AB上的高，∠CDE=90°. 序实数对有序实数对坐标 强化巩固 在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=√CE-DE= 1.B解析：m2≥0，.m2+3>0,∴.点(-1，m2十3)一定在 √52-32=4.5.10解析：D为AB的中点，BE⊥AC, 第二象限.2.A解析：：点M(1一m,1十m)在x轴上， .AB=2DE=5.在Rt△BEA中，由勾股定理得BE= N(n+2,n一2)在y轴上，.1+m=0,n+2=0,.m=-1, √AB2-AE=√52-4=3.：AC=AB=5,∴.CE=AC- n=一2，.m十n=-1十(-2)=一3.3.A解析：.点 AE=5-4=1.在Rt△CBE中，由勾股定理得BC2=BE2十 CE=3+1=10.6.1D14-x(2②)AD1BC,AD=P(a+2,a-1D在第-象限，+2>0， 解得a>1.4.-1 a-1>0, AC2-CD2,AD2=AB2-BD2,132-(14-x)2=152-x2,(答案不唯一）5.(3，-1)6.D解析：由题图可知，点 解得x=9.(3)由(2)得，AD=√AB-BD=P(a,b)在直线x=3的右边，在直线y=一4的上方且在x轴 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …23