3.3 勾股定理的简单应用（基础强化版）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

AC.∠B=90°，.AC2=BA2十BC2=202十152=625.AC=AB,CE=BD=8m,CD=2m.设旗杆高xm,则AE= DA2+CD2=242十72=625，∴.AC2=DA2+DC2,(x-2)m,AC=xm.在Rt△AEC中，由勾股定理得AE2十 六△ADC是直角三角形，∠D=90.∴.Sg边形AcD=S△ABc十CE2=AC2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17,“旗杆的高度 Sx=7AB,BC+号AD:CD=合×20X15+7×24× 为17m. 7=234. B B D B (第1题) (第2题》 2.B解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意得， D AB=10 m,CD=4 m,BD=8 m,.'CE=BD=8 m,BE= 8.120解析：设三边长分别为5xcm、12xcm、13xcm,则 CD=4m,.AE=AB-BE=10-4=6(m).在Rt△AEC中， 5x+12x+13x=60,∴x=2,∴.三边长分别为10cm、24cm、 由勾股定理得AC=√AE2+CE=√62+8=10(m)..小 26cm.102+242=262,.该三角形为直角三角形，S= 鸟至少需飞行10m.3.24解析：当吸管垂直于底面放置 10X24÷2=120(cm).9.45解析：如图，延长AP交格点时，露出杯口外的长度最大，为12-8=4(cm).当吸管底端与 于D,连接BD,则PD2=BD2=1+22=5,PB=12十3=D重合，另-端靠在B处，即如题图放置时，BD最长，露出杯 10,.PD2+DB2=PB2,∠PDB=90°，∠DPB= 口外的长度最小，连接CD,在Rt△BCD中，由勾股定理得 ∠PAB+∠PBA=45° BD=√BC2+CD=√82+6=l0(cm),.吸管露在外面的 长度为12一10=2(cm).4.(1)如图，在Rt△ABC中，由勾 股定理得AC2=AB2-BC2.,AB=7.5m,BC=4.5m, ∴.AC=√AB2-BC2=√7.52-4.5=6(m).答：梯子的顶端 到地面的距离为6m. 10.(1)证明：.CD=16cm,BD=12cm,BC=20cm,162+ 122=400=202,.CD2+BD2=BC2,,∴.∠BDC=90°， .CD⊥AB.(2)设△ABC的腰长AC=AB=xcm,则 AD=AB-DB=(x一12)cm.在Rt△ACD中，由勾股定理得 7.5 AC=AD2+CD2,即x2=（x=12+162,解得x-0,即 △ABC的腰长为9cm C-4.5- B F (2)如图，由题意得BF=1.5m,.CF=BC+BF=4.5十 拓展提升 11.(1)能.理由如下：当m=2,n=1时，a=5,b=4,c=3. 1.5=6（m),∴由勾股定理得CE=√EF2-FC2= :32十42=52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长. √7.52-62=4.5(m),∴AE=AC-CE=6-4.5=1.5(m). (2)m2十n22mnm2-n2(3)是.理由如下：，a2=(m2+ 答：梯子顶端向下滑动1.5m.5.70解析：如图，由题意可 n2)2=m4+2m2n2+n,b2=(2mn)2=4m2n2,c2=(m2- 知，CE=170m..∠CDE=90°，CD=80m,.由勾股定理得 n2)2=m4-2m2n2+n,.b2+c2=m-2m2n2+n4+ DE=√CE2-CD2=√1702-802=150(m).又CD= 4m2n2=m4+2m2n2+n,∴a2=b2+c2,.以a、b、c为边长80m,AC=100m,由勾股定理得AD=V√AC2-CD2= 的三角形一定为直角三角形 √1002-802=60(m),.AE=AD+DE=60+150= 33勾股定理的简单应用 210(m),.t=210÷3=70(s),即公交车至少70s不鸣笛才能 使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响， 知识梳理 A D E B 1.直角2.方程 强化巩固 1.D.解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意得， 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …21· 6.15解析：设树高为xm,则CD=(x一10)m,由题意可知， 综合与实践 BD+AB=10+20=30,.AC=30-CD=30-(x-10)= 强化巩固 (40一x)m,,△ABC为直角三角形，.AC2=AB2+BC2,即 1.C2.C解析：设每个三角形的长直角边为a,短直角边为 (40-x)2=202十x2,解得x=15,即树高为15m.7.61 a-b=1, 解析：如图1，AM2=AB2+BM2=42+(5+2)2=65;如图2，b,由题意可得， ,∴.AB=√a2+b= AM2=AC2+CM2=(4+5)2+22=85;如图3，AM2=52+ +6=7,解得/公 (b=3, (2+4)2=61.综上可知，蚂蚁从点A出发沿长方体的表面爬 √42+32=5，.正方形ABCD的周长为4AB=4×5=20. 行到点M的最短路程的平方是61. 3.C解析：由题意可知，第一代勾股树中正方形的个数为 M 2°十2，第二代勾股树中正方形的个数为2°十21十22，第三代 勾股树中正方形的个数为2°+21十22十23，…，第七代勾股 树中正方形的个数为2°十21+22+2十24+25+2+27= 255.4.D解析：由题意，得S1=a2+62+2×7b=a2十 M 6+ab,Sa=62+2×7ah=62+ab,且S=5a2+b= B c2,故①②③④正确.5.12解析：：大正方形的面积是25， 图1 图2 M .m2+n2=25,小正方形的面积是1，∴.(m-n)2=1, 0 .m2一2mn+n2=1,.25-2mn=1,∴.2mn=24,解得mn= 12.6.48解析：设BD=x,AC=6,CD=2,.AB=x十 (6-2)=4+x,BC=x+2,AB2=BC2+AC2,∴.(4+ x)2=(x十2)2+62，∴x=6,BC=8,.长方形的面积=6X 8=48.7.24解析：如题图2，，△EFG≌△DGC, 图3 △EFK≌△HGI,∴.阴影部分面积=S正方形Mrcc一S△DcC.'朱 8.(1)在Rt△MNB中，由勾股定理得BN=√BM一MN2= 方对应正方形GDJH的边长为a,青方对应正方形ABCD的 √1502-1202=90(m),∴AN=AB-BN=250-90=160(m).边长为b,∴.GD=GH=a,CD=BC=b.:青出与青入的三角 在Rt△ANM中，由勾股定理得AM=√AN2+MN= 形全等，∴.△IJC≌△KAM,.JC=AM=b-a,∴.BM=b √/1602+1202=200(m),.AM+BM=200+150=350(m).(b-a)=a,∴.CM=CG=√a2+b2,:b-a=3,a2+b2= 答：供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长为350m. 29,b=a2+62),6-0)-29,3=10,阴影都分面 (2),AB=250m,AM=200m,BM=150m,2502=2002+ 2 2 1502,.AB2=BM2+AM2,.△ABM是直角三角形， .BM⊥AC,∴BM的长度即为喷泉B到小路AC的最短距 积=5Em-5ac=a+62-2ah=29-5=24 拓展提升 离，为150m.答：喷泉B到小路AC的最短距离为150m. 拓展提升 8.(1)如图，方法一：S五边形ABEFG=S正方形ABDN十S正方形MDEF十 Q如图，作点B关于MN的对称点B,连接AB交AB,于点SA心+SAG=6+a2十，ab十号ab=a2+6°+b:方法 P,则B'B1=BB1,AP+BP=AP+B'P=AB',.P即为到 A、B距离之和最小的点.过点A作AE⊥BB'于点E,则 二：S五边形AEG=S正方形ACr十SAAC十SACEE=c2十号 BE=AA=2 km,AE=A B:=8 km,.'B'E BE+ B'B1=AA1+BB1=2+4=6(km).在Rt△AEB中，由勾股 2ab=c2+ab,a2+62+ab=c2+ab,a2+6=c2. 定理得AB'=√AE2+EB?=√82+62=10(km)..这个最 (2)证明：.(2mn)2=4m2n2,(m2-n2)2=m4+n4一2m2m2, 小距离之和是10km. .(2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4十n-2m2m2=(m2+ n2)2,∵m、n是正整数且m>n,.2mn、m2-n2、m2十n2都 E 是正整数，.2mn、m2一n2、m2+n2是勾股数.(3)48 解析：a=4,b=8,由(1)可知，S五边形ABBc=a2十b2十ab= M B.N 1 1 4+82+4X8=112,又：S△Ac=2ab=2×4X8=16, .图中空白部分的面积为112-4×16=48.(4)85、3612、 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …22·课时提优计划作业本数学八年级上))) 3.3勾股定理的简单应用 知识梳理 1.研究等腰三角形时，有时需要把等腰三角形转化为 三角形，这是研究问题的一种 策略 2.在运用勾股定理解决实际问题时，把直角三角形中三边关系“α2十b2=c2”看成方程，就把解 实际问题转化为解 问题 强化巩固 1.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离 旗杆8处，发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计） () A.10m B.6m C.15m D.17m D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一 棵树的树梢，小鸟至少需飞行 A.8 m B.10m C.12m D.14m 3.如图，有一个透明的圆柱状的玻璃杯，测得其内径CD=6cm,高BC=8cm,现有一支长 12cm的吸管随意放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最小 为 cm,最大为 cm. 4.如图，长7.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端4.5m. (1)求梯子的顶端到地面的距离. (2)若梯子底部向右滑动1.5m,则梯子顶端向下滑动多少米？ 64》 第3章勾股定理 5.如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C,C到公路AB的距离CD=80m,AC= 100m,BC=300m.一辆公交车以3m/s的速度从A处向B处行驶，若公交车鸣笛声会使以 公交车为中心170m范围内受到噪音影响，那么公交车至少 s不鸣笛才能使在城市 书房C看书的读者不受鸣笛声影响. D D (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在一棵树的10m高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树后走到离树20m处的 池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处.如果两只猴子所经过的距离相等，那么这 棵树高 m. 7.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD的长度分别为4、5、2，蚂蚁从点A出发沿长方体的 表面爬行到点M的最短路程的平方是 8.如图，某小区有两个喷泉A、B,两个喷泉的连线AB长为250m,现要为喷泉铺设供水管道 AM、BM,供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为120m,BM的长为 150m. (1)求供水点M到喷泉A、B需要铺设的管道总长， (2)求喷泉B到小路AC的最短距离. 拓展提升 9.如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km.现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P,使A、 B两个村庄到P的距离之和最小，则这个最小距离之和是多少千米？ B M A B N 《65