3.2 勾股定理的逆定理（基础强化版）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

拓展提升 错误，进而得到③错误， 13.(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√AB2-AC= 拓展提升 √=3-4(cm).(2)由题意，得BP=tcm.分两种情况.9，证明：(1)：AC⊥BD,∠CAD=45,∴AC=DC,∠ACB= ①当∠APB=90°时，如图1所示，点P与点C重合，BP= (AC=DC, ∠DCE=90°.在Rt△ABC和Rt△DEC中， AB=DE, BC=4cm,.t=4÷1=4(s);②当∠BAP=90°时，如图2所 .Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),.∠BAC=∠EDC.又 示，则CP=(t一4)cm,∠ACP=90°.在Rt△ACP中，由勾股定 理得AP2=AC2十CP2,在Rt△ABP中，由勾股定理得 ,∠CED=∠AEF,.∠AFE=∠DCE=90°，.DF⊥AB. AP2=BP2-AB2,∴.AC2+CP2=BP2-AB2,即32+(t- (2)由(1)知，Rt△ABC≌Rt△DEC,∴.EC=BC=a,DC= AC=b,DE=AB=c.:S△BCE+S△ACD=S△ABD-S△ABE, 4P=2-5子，解得：=空综上所述，当△ABP为直角三角形 ∴2BC·BC+DC·AC=AB:DF-专AB·EF,即 时1的值为4或5 2a+6=1 2 e·DF-c·EF=c·(DF-EF) cDE=3c,a+6=c2. 1 3,2勾股定理的逆定理 C(P) 知识梳理 图1 图2 1.a2+b2=c22.(1)正整(2)1382515 第2课时勾股定理的证明 强化巩固 知识梳理 1.C解析：0.32十0.42=0.52，能构成直角三角形，但不是整 数，不是勾股数，故A选项不符合题意；(32)2十(42)2≠(52)2， 直角直角 不是勾股数，故B选项不符合题意；32十42=52，是勾股数，故 强化巩固 1.C2.D解析：：S△EDA十S△CDE十S△cEB=S梯形ABCD, C选项符合题意：()'+()≠（号）广，不是勾股数，放D 1、 2ab+2c2+2b=2(a+b)2,化简，得c2=a2+b. 选项不符合题意.2.B解析：：AC2一BC2=AB2, .AC2=BC2十AB2,∴.∠B=90°.3.D解析：由a2=1, 3.c2+2ab(a十b)2=c2+2aba2+b2=c24.12解析： b2=2,c2=3,得a2十b2=c2,根据勾股定理的逆定理可判断 设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b(a>b). △ABC为直角三角形，故A选项不符合题意；由a:b:c= 根据题图1，得a十b=6.根据题图2，得a一b=2.联立，解得 3:4:5,可设a=3x,b=4x,c=5x(x≠0)，可得a2+b2= a=4, .S1=16,S2=4,∴S-S2=12.5.:图2的面积c2,根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故B 1b=2, 选项不符合题意；由∠A十∠B=∠C,根据三角形内角和定 S=c+2×2b=a+6+2×2b,c2=a2+6.6A理可以计算出∠C=90,可判断△ABC为直角三角形，放C 选项不符合题意；由∠A:∠B：∠C=3：4:5,根据三角形 解析：由题意可得，1十2b×4=41,解得ab=20.。2十 内角和定理可以计算出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，则 b2=41,.(a十b)2-2ab=41,.(a十b)2=41十2ab=41十△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意.4.6.5解析： 2X20=81,.a十b=9或a十b=-9(不合题意，舍去)，即AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,∴.AC2+BC2=AB2, a十b=9.7.53解析：Rt△ABC≌Rt△DEF,.DF= ∠C=90,斜边AB上的中线长为号AB=合×13 1 AC=9,EF=BC=5,小Sm边影scB0=S△DAc十SaBD=2×6.5(cm).5.25或7解析：设第三边长为，则x2=32十4 9×9+号×5X5=53.8.①0解析：设直角三角形的斜边 或42=x2十32，∴.x2=25或x2=7.6.等腰直角解析：由 题意得，a-b=0且a2+b2-c2=0,则a=b且a2十b2=c2, 长为c,则c2=a2+b2,大正方形的面积是13，即c2=a2+∴△ABC是等腰直角三角形.7.(1)在Rt△BCD中，∠C= b2=13,故①正确；，小正方形的面积是1，.b-a=1,则90°，BC=3,CD=4,∴.BD=5.在△ABD中，AD2=132= (b-a)2=1,即a2+b2-2ab=1,.ab=6,故④正确；根据题169，AB2+BD2=122+52=169,.AD2=AB2+BD2, 图可以得到a2十b2=13,b一a=1,而b=1不一定成立，故②∴.△ABD是直角三角形，.∠ABD=90°.(2)如图，连接 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …20 AC.∠B=90°，.AC2=BA2十BC2=202十152=625.AC=AB,CE=BD=8m,CD=2m.设旗杆高xm,则AE= DA2+CD2=242十72=625，∴.AC2=DA2+DC2,(x-2)m,AC=xm.在Rt△AEC中，由勾股定理得AE2十 六△ADC是直角三角形，∠D=90.∴.Sg边形AcD=S△ABc十CE2=AC2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17,“旗杆的高度 Sx=7AB,BC+号AD:CD=合×20X15+7×24× 为17m. 7=234. B B D B (第1题) (第2题》 2.B解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意得， D AB=10 m,CD=4 m,BD=8 m,.'CE=BD=8 m,BE= 8.120解析：设三边长分别为5xcm、12xcm、13xcm,则 CD=4m,.AE=AB-BE=10-4=6(m).在Rt△AEC中， 5x+12x+13x=60,∴x=2,∴.三边长分别为10cm、24cm、 由勾股定理得AC=√AE2+CE=√62+8=10(m)..小 26cm.102+242=262,.该三角形为直角三角形，S= 鸟至少需飞行10m.3.24解析：当吸管垂直于底面放置 10X24÷2=120(cm).9.45解析：如图，延长AP交格点时，露出杯口外的长度最大，为12-8=4(cm).当吸管底端与 于D,连接BD,则PD2=BD2=1+22=5,PB=12十3=D重合，另-端靠在B处，即如题图放置时，BD最长，露出杯 10,.PD2+DB2=PB2,∠PDB=90°，∠DPB= 口外的长度最小，连接CD,在Rt△BCD中，由勾股定理得 ∠PAB+∠PBA=45° BD=√BC2+CD=√82+6=l0(cm),.吸管露在外面的 长度为12一10=2(cm).4.(1)如图，在Rt△ABC中，由勾 股定理得AC2=AB2-BC2.,AB=7.5m,BC=4.5m, ∴.AC=√AB2-BC2=√7.52-4.5=6(m).答：梯子的顶端 到地面的距离为6m. 10.(1)证明：.CD=16cm,BD=12cm,BC=20cm,162+ 122=400=202,.CD2+BD2=BC2,,∴.∠BDC=90°， .CD⊥AB.(2)设△ABC的腰长AC=AB=xcm,则 AD=AB-DB=(x一12)cm.在Rt△ACD中，由勾股定理得 7.5 AC=AD2+CD2,即x2=（x=12+162,解得x-0,即 △ABC的腰长为9cm C-4.5- B F (2)如图，由题意得BF=1.5m,.CF=BC+BF=4.5十 拓展提升 11.(1)能.理由如下：当m=2,n=1时，a=5,b=4,c=3. 1.5=6（m),∴由勾股定理得CE=√EF2-FC2= :32十42=52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长. √7.52-62=4.5(m),∴AE=AC-CE=6-4.5=1.5(m). (2)m2十n22mnm2-n2(3)是.理由如下：，a2=(m2+ 答：梯子顶端向下滑动1.5m.5.70解析：如图，由题意可 n2)2=m4+2m2n2+n,b2=(2mn)2=4m2n2,c2=(m2- 知，CE=170m..∠CDE=90°，CD=80m,.由勾股定理得 n2)2=m4-2m2n2+n,.b2+c2=m-2m2n2+n4+ DE=√CE2-CD2=√1702-802=150(m).又CD= 4m2n2=m4+2m2n2+n,∴a2=b2+c2,.以a、b、c为边长80m,AC=100m,由勾股定理得AD=V√AC2-CD2= 的三角形一定为直角三角形 √1002-802=60(m),.AE=AD+DE=60+150= 33勾股定理的简单应用 210(m),.t=210÷3=70(s),即公交车至少70s不鸣笛才能 使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响， 知识梳理 A D E B 1.直角2.方程 强化巩固 1.D.解析：如图，过点C作CE⊥AB于点E.根据题意得， 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …21·课时提优计划作业本数学八年级上>)>) 32勾股定理的逆定理 知识梳理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形三边分别为a、b、c,且 ,那么这个三角形是直角 三角形 2.(1)满足关系a2十b2=c2的3个 数a、b、c称为勾股数. (2)常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、 ;③6、 、10;④7、24、 ;⑤8、 、17. 强化巩固 1.下列四组数中，是勾股数的是 () A.0.3、0.4、0.5 B.32、42、52 C.3、4、5 n 2.在△ABC中，若AC2一BC2=AB2,则 A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90° D.∠A=45° 3.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是 A.a2=1,b2=2,c2=3 B.a:b:c=3:4:5 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 4.在△ABC中，若AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,则边AB上的中线长为 cm. 5.给定一个三角形的两边长分别为3、4，当第三边的平方为 时，这个三角形是直角三 角形 6.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0,则△ABC是 三角形. 7.(1)如图，已知∠C=90°，AB=12,BC=3,CD=4,AD=13,求∠ABD的度数， (2)如图，在四边形ABCD中，AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.求四边形 ABCD的面积. 62》 第3章勾股定理 8.若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm,则它的面积为 cm2. 9.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB十∠PBA= °(A、B、P是网格线交点) 10.如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD= 12cm. (1)求证：CD⊥AB. (2)求△ABC的腰长. 拓展提升 11.勾股定理是一个基本的儿何定理，早在我国西汉时期的数学著作《周髀算经》中就有“勾三 股四弦五”的记载如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作“整数 直角三角形”，这三个正整数叫作一组“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老 师给出了下表，其中m、n为正整数，且m>n. m 2 3 3 4 n 1 3 3 … a 22+12 32+12 32+22 42+32 b 6 12 24 22-12 32-12 32-22 42-32 (1)观察表格，当m=2,n=1时，对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你 的理由. (2)探究a、b、c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a= ,b= c= (3)以a、b、c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请 举出反例. 《63