3.1 勾股定理的探究（基础强化版）-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

第3章 勾股定理 3.1 勾股定理的探究 第1课时 勾股定理的发现 知识梳理 勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方. 强化巩固 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，三个正方形中的两个面积分别为25和44，则第三个正方 形的面积为 ( A.69 B.18 C.19 D.20 25 (第1题) (第2题) (第6题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为 ( A.5 B.6 C.8 D.10 3.已知有一直角三角形的木板，其三边的平方和为1800，则它的斜边长为 A.10 B.20 C.30 D.40 4.在△ABC中，∠C=90°. (1)若c=13,b=12,则a= (2)若a:b=3:4,c=10,则a= ,b= 5.在一个直角三角形中，已知一条直角边的长是3cm,斜边上的中线长为2.5cm,则这个直角 三角形的面积为 cm2. 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC=12,则点C到AB的距离CD= 7.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边. (1)若c=61,a=60,求b. (2)若a=2,c=b+1,求c (3)若a:b=3:4,c=25,求b. 58》 第3章勾股定理 8.在△ABC中，若AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积是 9.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作 弧，分别相交于点M、N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°，则 AB的长为 B D D D 图1 图2 (第9题) (第10题) (第11题) 10.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A、B、C、D的面积分别为2、5、1、2，则最大的正方形E的面积是 11.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=4,AB的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、E,则AE的长为 (2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,AB=5,AC=3,则BD的长是 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CD,BE⊥CD,垂足分别为D、E. (1)求证：△ACD≌△CBE. (2)若AD=1,DE=2,求AC2. 拓展提升 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC 以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. (1)求边BC的长 (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 59 课时提优计划作业本数学八年级上)>) 第2课时勾股定理的证明 知识梳理 用勾股定理解决问题，需要 三角形，没有的时候要构造 三角形. 强化巩固 1.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图.观察图形，可以 验证公式 ) A.(a十b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2-2ab+b2 C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 b 0 (第1题) (第2题) (第3题) 2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边 AE、EB在一条直线上.证明时用到的面积相等的关系是 A,S△EDA=S△CEB B.S△EDA+S△CEB=S△CDE C.S四边形CDAE=S四边形CDEB D.S△EDA十S△CDE十S△CEB=S梯形ABCD 3.用直角边长分别为a、b,斜边长为c的四个全等直角三角形拼成如图所示的图形.大正方形 的面积可表示为(a十b)2,还可以表示为 ,于是可列等式为 ,将等式 化简、整理，得 4.将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1、图2），边长分别为6和2.若以一个直角三角 形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1、S2,则S1一S2= 2 图1 图2 图3 5.三国时期东吴数学家赵爽在《勾股圆方图注》中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出 了勾股定理的证明.已知图2中阴影部分是直角边长分别为a、b,斜边长为c的4个直角三 60 第3章勾股定理 角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理 图1 图2 6.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是41，小正方 形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b,较短的直角边为a,则a十b的值是() A.9 B.8 C.7 D.6 D M C(E) B (第6题) (第7题) (第8题) 7.到目前为止，勾股定理的证明方法已超过400种，其中一种简洁易懂的方法叫作“常春证法” 将两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF,点F在AC上，点C与点E重合， 斜边AB与斜边CD交于点M,连接AD、BD,若AC=9,BC=5,则四边形ACBD的面积 为 8.第24届国际数学家大会会标取材于赵爽弦图，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与 中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， 直角三角形较短的直角边为a,较长的直角边为b,下列说法：①a2+b2=13;②b2=1; ③a2一b2=12;④ab=6.其中正确结论序号是 拓展提升 9.如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C,E为AC上一点，连接BE、DE,DE的延长线交AB 于点F,已知DE=AB,∠CAD=45° (1)求证：DF⊥AB (2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的证明.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC= a,AC=b,AB=c.求证：a2十b2=c2. 《61第3章勾股定理 .∠ECB=∠B=45°，.∠AEC=∠ECB+∠B=45°+45°= 3.1勾股定理的探究 90°.在Rt△ACE中，由勾股定理得AE=√AC2一CE2= 第1课时勾股定理的发现 /52-42=3.∴.AB=AE+BE=3+4=7. 知识梳理 两条直角边斜边 强化巩固 1.C解析：由题意可得，AB2=BC2十AC2,即44=BC2+ M 25,∴.BC2=19,即第三个正方形的面积为19.2.C解析： .AB=AC,AD是∠BAC的平分线，.BC=2BD,AD⊥ D BC,.∠ADB=90°，AB=5,AD=3,.BD=4,.BC= 2BD=8.3.C解析：设直角三角形木板的两直角边分别为 10.10解析：由题意可得，SE=SA+SB十Sc+SD=2十5十 a、b,斜边为c.由勾股定理，得a2+b2=c2.a2+b2+c2= 1+2=10. 1. ,解析：如图1，连接BE.在Rt△ABC 1800,.2c2=1800,即c2=900,.c=30(负值舍去). 4.(1)5解析：由勾股定理，得a2+b2=c2,∴a2=c2-b2=中，由勾股定理得BC=√AB2-AC=√52-4=3.：DE 132一122=25，.a=5(负值舍去).（2)68解析：设a= 3x,则b=4x.由勾股定理，得a2+b2=c2,即(3x)2十(4x)2= 是AB的垂直平分线AE=BE,AD=BD=号AB=名则 102,解得x=2(负值舍去)，a=6,b=8.5.6解析：：直CE=AC-AE=4-BE.在Rt△CBE中，由勾股定理得 角三角形斜边上的中线长为2.5cm,.斜边长为2X2.5= BE=CE2+BC3,即BE2=(4-BE)2+3,解得BE=5, 5(cm).,一条直角边的长为3cm,∴.根据勾股定理可得另 条直角边的长为4cm,“这个直角三角形的面积为号×3X ·AE=BE=25 81 4=5(cm).6.9 解析：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ..AC2+BC2=AB2..'BC=12,AC=9,..AB2=AC?+ BC2=92+122=225,.AB=15(负值舍去).：S△Ac= 2AC·BC=2AB·CD,CD-AC:BC-9X12_36 AB 15 图1 图2 7.(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得a2+b2=c2,即602+ (2)2.5解析：如图2，过点D作DE⊥AB于点E.在 b2=612,.b=11.(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得a2十 Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√AB2一AC2= b=c2,即22+b2=(b+1)2,.b=1.5,.c=2.5.(3)设a= 3m,则b=4m.在Rt△ABC中，由勾股定理得a2十b2=c2,即 √52-32=4.∠C=90°，DC⊥AC.又AD平分∠BAC, C3m+4=25,解得m=5(负值已合去a=3m-DE=DC.:Sae=合AC·BC=2AC·DC+2AB· 1 15,b=4m=20.8.12解析：如图，取BC的中点D,连接 AD.AB-AC-5,BC=6..ADL BC,BD==3, E,即号×3×4=？×3DC+号×5DC,解得DC=1.5, .BD=BC-DC=4-1.5=2.5.12.(1)证明：，BE⊥CE, ∴AD=√AB2-BD=4,△ABC的面积=乞X6X4=12. ADLCE,∴∠CEB=∠ADC=90°，.∠EBC+∠BCE= 90°.，∠BCE+∠ACD=90°，.∠EBC=∠DCA.在△ACD ∠ADC=∠CEB, 和△CBE中， ∠DCA=∠EBC,.△ACD≌△CBE(AAS). AC=CB, D (2)△ACD≌△CBE,.BE=DC,AD=CE,,AD=1, 9.7解析：如图，设MN交BC于点D,连接EC,由作图可DE=2,∴CD=CE十DE=1+2=3,.AC2=AD2十DC2= 知，MN是线段BC的垂直平分线，.CE=BE=4,12+32=10. 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) ·19· 拓展提升 错误，进而得到③错误， 13.(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=√AB2-AC= 拓展提升 √=3-4(cm).(2)由题意，得BP=tcm.分两种情况.9，证明：(1)：AC⊥BD,∠CAD=45,∴AC=DC,∠ACB= ①当∠APB=90°时，如图1所示，点P与点C重合，BP= (AC=DC, ∠DCE=90°.在Rt△ABC和Rt△DEC中， AB=DE, BC=4cm,.t=4÷1=4(s);②当∠BAP=90°时，如图2所 .Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),.∠BAC=∠EDC.又 示，则CP=(t一4)cm,∠ACP=90°.在Rt△ACP中，由勾股定 理得AP2=AC2十CP2,在Rt△ABP中，由勾股定理得 ,∠CED=∠AEF,.∠AFE=∠DCE=90°，.DF⊥AB. AP2=BP2-AB2,∴.AC2+CP2=BP2-AB2,即32+(t- (2)由(1)知，Rt△ABC≌Rt△DEC,∴.EC=BC=a,DC= AC=b,DE=AB=c.:S△BCE+S△ACD=S△ABD-S△ABE, 4P=2-5子，解得：=空综上所述，当△ABP为直角三角形 ∴2BC·BC+DC·AC=AB:DF-专AB·EF,即 时1的值为4或5 2a+6=1 2 e·DF-c·EF=c·(DF-EF) cDE=3c,a+6=c2. 1 3,2勾股定理的逆定理 C(P) 知识梳理 图1 图2 1.a2+b2=c22.(1)正整(2)1382515 第2课时勾股定理的证明 强化巩固 知识梳理 1.C解析：0.32十0.42=0.52，能构成直角三角形，但不是整 数，不是勾股数，故A选项不符合题意；(32)2十(42)2≠(52)2， 直角直角 不是勾股数，故B选项不符合题意；32十42=52，是勾股数，故 强化巩固 1.C2.D解析：：S△EDA十S△CDE十S△cEB=S梯形ABCD, C选项符合题意：()'+()≠（号）广，不是勾股数，放D 1、 2ab+2c2+2b=2(a+b)2,化简，得c2=a2+b. 选项不符合题意.2.B解析：：AC2一BC2=AB2, .AC2=BC2十AB2,∴.∠B=90°.3.D解析：由a2=1, 3.c2+2ab(a十b)2=c2+2aba2+b2=c24.12解析： b2=2,c2=3,得a2十b2=c2,根据勾股定理的逆定理可判断 设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a、b(a>b). △ABC为直角三角形，故A选项不符合题意；由a:b:c= 根据题图1，得a十b=6.根据题图2，得a一b=2.联立，解得 3:4:5,可设a=3x,b=4x,c=5x(x≠0)，可得a2+b2= a=4, .S1=16,S2=4,∴S-S2=12.5.:图2的面积c2,根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故B 1b=2, 选项不符合题意；由∠A十∠B=∠C,根据三角形内角和定 S=c+2×2b=a+6+2×2b,c2=a2+6.6A理可以计算出∠C=90,可判断△ABC为直角三角形，放C 选项不符合题意；由∠A:∠B：∠C=3：4:5,根据三角形 解析：由题意可得，1十2b×4=41,解得ab=20.。2十 内角和定理可以计算出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，则 b2=41,.(a十b)2-2ab=41,.(a十b)2=41十2ab=41十△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意.4.6.5解析： 2X20=81,.a十b=9或a十b=-9(不合题意，舍去)，即AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,∴.AC2+BC2=AB2, a十b=9.7.53解析：Rt△ABC≌Rt△DEF,.DF= ∠C=90,斜边AB上的中线长为号AB=合×13 1 AC=9,EF=BC=5,小Sm边影scB0=S△DAc十SaBD=2×6.5(cm).5.25或7解析：设第三边长为，则x2=32十4 9×9+号×5X5=53.8.①0解析：设直角三角形的斜边 或42=x2十32，∴.x2=25或x2=7.6.等腰直角解析：由 题意得，a-b=0且a2+b2-c2=0,则a=b且a2十b2=c2, 长为c,则c2=a2+b2,大正方形的面积是13，即c2=a2+∴△ABC是等腰直角三角形.7.(1)在Rt△BCD中，∠C= b2=13,故①正确；，小正方形的面积是1，.b-a=1,则90°，BC=3,CD=4,∴.BD=5.在△ABD中，AD2=132= (b-a)2=1,即a2+b2-2ab=1,.ab=6,故④正确；根据题169，AB2+BD2=122+52=169,.AD2=AB2+BD2, 图可以得到a2十b2=13,b一a=1,而b=1不一定成立，故②∴.△ABD是直角三角形，.∠ABD=90°.(2)如图，连接 课时提优计划作业本·数学·八年级上(SK版) …20