（挑战奥数）专题七：圆环问题—人教版2025年秋季学期小学六年级数学上册思维训练

人教版2025年秋季学期小学六年级数学上册思维训练 专题七：圆环问题 班级： 姓名： 得分： 【 知识点汇总 】 ●圆 【学习策略】 ●化归思维 【 思维进阶 ►► 基础巩固 】 典型案例呈现 一座电视塔的圆形塔底的半径是30m,现在要在它的周围种上10m宽的环形草坪，草坪的面积有多大? ► 解题策略 — 文变图 ► 解题思路 — 思维导图 ► 题目解答 ✎❊ — 算术法 30+10=40(m) 3.14×(40²-30²) =3.14×700 =2198(m²) 答：草坪的面积有2198 m²。 典型案例变式1 贵州“天眼”观景台的圆形观测区半径是50m，现在要在它周围修10m宽的环形步道，步道的面积有多大？ 典型案例变式2 “黄果树瀑布” 景区有一个圆形水池，半径是20m，现在要在水池周围建5m宽的环形绿化带，绿化带的面积有多大？ 典型案例变式3 贵州“肇兴侗寨”有一个圆形鼓楼，底部半径是15m，现在要在鼓楼周围铺8m宽的环形青石板路，青石板路的面积有多大？ ► 题目解答 典型案例变式1 外圆半径：50+10=60（m） 3.14×602−3.14×502 =3.14×(3600−2500) =3.14×1100 =3454(m2) 答：步道的面积是3454平方米。 典型案例变式2 外圆半径：20+5=25（m） 3.14×252−3.14×202 =3.14×(625−400) =3.14×225 =706.5(m2) 答：绿化带的面积是706.5平方米。 典型案例变式3 外圆半径：15+8=23（m） 3.14×232−3.14×152 =3.14×(529−225) =3.14×304 =954.56(m2) 答：青石板路的面积是954.56平方米。 举一反三 练习 1 ► 在一个直径是16米的圆形花坛周围，有一条宽是2米的小路围绕。小路的面积是多少平方米? 练习 2 ► 星湖公园有一个赏鱼池，直径是40米，中间有一个圆形假山，直径是4米。赏鱼池的水面面积是多少平方米? 练习 3 ► 贵州 “镇远古镇” 有一个直径是20米的圆形码头，周围有一条宽3米的环形青石板步道。步道的面积是多少平方米？ 练习 4 ► 贵州“老干妈”厂区有一个直径是30米的圆形原料池，中间有一个直径是6米的圆形搅拌柱。原料池的可用面积（不含搅拌柱）是多少平方米？ 【 思维进阶 ►► 能力提升 】 典型案例呈现 如图，五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5,求图中阴影(粉红色)部分的面积。(单位：厘米) ► 解题策略 — 思路呈现 ► 解题思路 — 思维导图 ► 题目解答 (3.14×5²-3.14×4²)+(3.14×3²-3.14×2² =28.26+15.7+3.14 =47.1(平方厘米) 答：图中阴影部分的面积是47.1平方厘米。 举一反三 练习 1 ► 某公司俱乐部有一个圆形舞池，周长是37.68米，现准备在周围加宽1米，这样舞池面积可增加多少平方米? 练习 2 ► 电视塔的圆形塔底半径为15米，现在要在它的周围铺4米宽的环形草坪。如果每平方米草坪需要250元，那么铺完这块草坪至少需要多少元? 练习 3 ► 如图，大、小两个正方形的边长分别是大、小两个圆的半径，阴影部分的面积是10平方厘米。求圆环的面积。 练习 4 ► 图中圆环部分的面积是31.4平方厘米，求阴影部分的面积。 【 思维进阶 ►► 素养建构 】 练习 1 ► 如图，三个圆的半径分别是1厘米、2厘米和3厘米，图中阴影部分与空白部分的面积比是多少? 练习 2 ► 如图，小、中、大三个圆相交于一点A,它们的直径分别是2厘米、4厘米和6厘米。图中阴影部分面积比空白部分面积少百分之几? 练习 3 ► 如图，可以根据5个圆的半径(已知),求出5个不是同心圆组成的阴影部分的面积。 参考答案 【 思维进阶 ►► 基础巩固 】 举一反三 练习 1 ► 答案 16÷2=8（米） 8+2=10（米） 3.14×10²-3.14×8²=113.04（平方米） 答：小路的面积是113.04平方米。 练习 2 ► 答案 40÷2=20（米） 4÷2=2（米） 3.14×20²-3.14×2²=1243.44（平方米） 答：赏鱼池的水面面积是1243.44平方米。 练习 3 ► 答案 内圆半径：20÷2=10（米） 外圆半径：10+3=13（米） 步道面积=外圆面积-内圆面积 3.14×13² -3.14×10² =3.14×(169 - 100) =3.14×69 =216.66(平方米） 答：步道的面积是216.66平方米。 练习 4 ► 答案 原料池半径：30÷2=15（米） 搅拌柱半径：6÷2=3（米） 可用面积=原料池面积-搅拌柱面积 3.14×15² -3.14×3² =3.14×(225 - 9) =3.14×216 = 678.24(平方米） 答：原料池的可用面积是 678.24 平方米。 【 思维进阶 ►► 能力提升 】 举一反三 练习 1 ► 答案 半径：37.68÷3.14÷2=6（米） 6+1=7（米） 3.14×7²-3.14×6²=40.82（平方米） 答：舞池面积可增加40.82平方米。 练习 2 ► 答案 15+4=19(米） (3.14×19²-3.14×15²)×250=106760(元） 答：铺完这块草坪至少需要106760元。 练习 3 ► 答案 设大正方形的边长为R，小正方形的边长为r。 阴影部分的面积=R²-r²=1O(平方厘米） 圆环的面积=π×（R²-r²） =3.14×10 =31.4（平方厘米） 答：圆环的面积是31.4平方厘米。 练习 4 ► 答案 设大等腰直角三角形的腰长为R，小等腰直角三角形的腰长为r。 圆环的面积=π×（R²-r²）=31.4 R²-r²=31.4÷3.14=10（平方厘米） 阴影部分的面积： （R²-r²）× =10× =5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是5平方厘米。 【 思维进阶 ►► 素养建构 】 练习 1 ► 答案 阴影部分的面积：3.14×（2²-1²）=9.42（平方厘米） 空白部分的面积：3.14×1²+[3.14×（3²-2²）]=18.84（平方厘米） 所以阴影部分的面积:空白部分的面积=9.42:18.84=1:2 答：图中阴影部分与空白部分的面积比是1:2。 练习 2 ► 答案 阴影部分面积：3.14×[（4÷2）²-（2÷2）²]=9.42（平方厘米） 空白部分面积：3.14×（6÷2）2-9.42=18.84（平方厘米） （18.84-9.42）÷18.84=50% 答：图中阴影部分面积比空白部分面积少50%。 练习 3 ► 答案 半径为5的大圆面积：3.14×52=78.5 半径为3的圆面积：3.14×32=28.26 半径为1的圆面积：3.14×12=3.14 阴影面积： =78.5−28.26+3.14 =50.24+3.14 =53.38 答：阴影部分的面积是53.38 学科网（北京）股份有限公司 $