第26章反比例函数 单元同步练习题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《第26章反比例函数》单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四个点不在反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 4．反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，过点作轴，分别交反比例函数，的图像于点，．则下列说法错误的是（    ） A．若点A的横坐标为2，则点C的纵坐标为 B．若，则 C．若，则的图像关于轴对称 D．当时， 6．某公司从年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表： 年度 投入技改资金（万元） 产品成本（万元/件） 按照这种变化规律，若年已投入资金万元，预计年每件产品成本是（   ）万元 A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴、轴上，点坐标为，反比例函数与分别交于点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知反比例函数的图象过两点，则该反比例函数的表达式为 ． 9．不透明的盒子中装有除标号外完全相同的4个小球，小球上分别标有数．从盒子中随机抽取一个小球，数记为，再从剩下的球中随机抽取一个小球，数记为，则点在反比例函数图象上的概率为 ． 10．在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 11．函数与图象的一个交点坐标为，则的值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上一点，点是轴正半轴上一点，直线交反比例函数的图象于点，且，若的面积为，则的值为 ． 13．如图，点A在反比例函数的图象上，C是的中点，连接，若的面积为4，则 ． 14．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 三、解答题 15．如图，两点的坐标分别为， ，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为，反比例函数的图象经过点．求出点的坐标，并求反比例函数的解析式． 16．如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y＝的图象经过点A． (1)求点A的坐标； (2)如果经过点A的一次函数图象与y轴的正半轴交于点B，且，求这个一次函数的解析式． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求这两个函数的表达式； (2)若点C与点A关于x轴对称，连接，，求的面积． 18．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校教室进行药物喷洒消毒，她完成一间教室的药物喷洒需要5．消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，假设校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能否安全进入教室？请通过计算说明． 19．如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 20．如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标； (2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 参考答案 1．B 【分析】根据反比例函数，解答即可． 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是反比例函数，其余都不是， 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是，就在此函数图象上． 【详解】解：由得，， A.，该点在反比例函数图象上，不符合题意； B. ，该点在反比例函数图象上，不符合题意； C. ，该点在反比例函数图象上，不符合题意； D. ，该点不在反比例函数图象上，符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 4．B 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．根据题意可知反比例函数与一次函数的图象都关于直线对称，进而求出反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象关于直线对称， ∴联立，解得， ∴反比例函数与一次函数的图象交点关于点对称， 设它们的另一个交点是， ∴， ∴， ∴另一个交点坐标为． 故选B． 5．B 【分析】本题考查反比例函数的性质及点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像与性质． 根据反比例函数的图像与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．将代入得， ∴点C的坐标为， 故A正确； B．由题意可知， ， ， ， ， 故B错误； C．若，则， ∴的图象关于x轴对称，故C正确； D．当时，， ∵反比例函数的函数值随的增大而增大， ∴当时，，故D正确． 故选：B． 6．解：由统计表可知：，，，， 产品成本与投入技改资金成反比例关系， 设产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为， 当时，， ， 产品成本万元与投入技改资金万元之间的函数关系式为， 当时，， 预计年每件产品成本是万元． 故选：C． 7．解：∵四边形是矩形，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：． 8． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程求出的值，进一步求出值，即可得出结果． 【详解】解：将代入中， 可得，解得 ， 即． 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了反比例函数图象的性质． 画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据反比例函数图象点的特征找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数， 若点在反比例函数图象上，则，故其中使得点在反比例函数图象上的结果数为4， 所以使得点在反比例函数图象上的概率＝． 故答案为． 10．0 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得， 解得，， ∴， 故答案为：0． 11． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，分式的求值，根据函数解析式，可得，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：∵函数与图象的一个交点坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】过点作轴，垂足为，证明出，得到，然后根据反比例函数值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数值的几何意义，全等三角形的性质和判定，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在和中， ， ， ， 的面积为， ， ， 故答案为：． 13．16 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，三角形中线的性质，掌握这些是解题的关键． 根据三角形中线性质可得面积，再根据面积是，结合图象即可求解． 【详解】解： C是的中点，的面积为4， 的面积为8， 轴， ， ， ． 故答案为：16． 14．2 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 15．点的坐标为； 【分析】此题考查了旋转的性质，反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．证明（），推出，，得到点C的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式． 【详解】解：∵两点的坐标分别为，， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． 16．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数，一次函数，勾股定理，解答本题的关键是掌握函数图象上的点与函数解析式之间的关系． （1）设点的坐标，根据“反比例函数的图象经过点，把点的坐标代入，求得的值，即可确定点坐标； （2）设点的坐标为，结合题意，在中，根据勾股定理得：，即，由此可确定点坐标，再利用待定系数法确定直线的函数解析式． 【详解】（1）解：设点的坐标， 代入中， 得， 解得或． 经过检验或是原方程的根，但．不符合题意，舍去， 的坐标为； （2）设点的坐标为， ，， 如图，作轴交轴于， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得， 经检验是原方程的根， 点的坐标为， 设一次函数的解析式为，由于这个一次函数图象过点， ， 解得， 所求一次函数的解析式为． 17．(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)12 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形变化—轴对称． （1）先根据点B求出m值，再根据反比例函数解析式求出n值，利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）利用轴对称的性质求得C的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴点A的坐标为， 把，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，． ∵点C与点A关于x轴对称， ∴， ∴． ∴． 18．能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象性质：对于，当时，，求出；设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入求出k；在反比例函数中，令，求出y与1进行比较即可． 【详解】解：能安全进入教室，理由如下： 一间教室的药物喷洒时间为5， 当时，，故点， 设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入上式并解得， 故反比例函数表达式为， ， 当时，， 故校医早上开始对九年级一班教室进行药物喷洒消毒，早上该班学生能安全进入教室． 19．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以为一边时和当以为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得： ， 反比例函数的关系式为； （2）解：∵点的横坐标为， ， ， 由图象可知，不等式的解集为； （3）解：当以为一边时，如图所示： 把，分别代入得： ，解得：， ∴， 把代入得：，∴， 且直线与y轴交点坐标为：， 设点， 则， ， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴轴， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴， ∴轴， ∴； 当以为一条对角线时，如图， 设点， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 菱形的对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：， ∴点的坐标为：； 综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键． 20．(1)， (2)①2；②或 【分析】（1）先根据线段中点，结合点，，求得，再根据平行四边形的性质可得出可用平移得到，利用平移的性质可求得，再根据点在反比例函数的图象上求得反比例函数解析式； （2）①当时，先求得直线的解析式，再结合图形找出区域内的整点； ②结合图象，分，两种情况，找出整点． 【详解】（1）解：设点的坐标为，点， ∵E为AD的中点，， ∴，，解得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴可用平移得到， ∵，， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）①当时， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， 而， ∴是在区域W内的整点， 同理可得是在区域W内的整点，共2个； ②当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 综上所述，当或时，恰好区域W内的整点恰好为2个． 学科网（北京）股份有限公司 $