第26章反比例函数 单元达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《第26章反比例函数》单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列各式中，y与x成反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 2．已知y是x的反比例函数，当时，，那么时，y的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 3．已知反比例函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象与坐标轴不相交 D．图象必经过点 4．函数与（k为常数，且）的图象大致是（　　） A．B．C．D． 5．方程 的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知点A在双曲线上，点B在直线上，且A、B两点关于y轴对称，设点A的坐标为，则下列成立的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为　　 A．12 B．15 C．16 D．20 8．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．反比例函数中，比例系数是 ，当时， ． 10．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点在函数图象上的概率是 ． 11．直线与双曲线交于、两点，则的值为 ． 12．已知反比例函数，当时，y的取值范围是 ． 13．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2所示．则I与R之间的函数关系式是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，函数的与的图象交于点，则代数式的值为 ． 15．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，则该用电器可变电阻R应控制范围是 ． 16．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知：，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求与的函数关系式． 18．如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 19．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东城的小李决定用骑行代替开车去梦想小镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间（单位：）成反比例关系．根据以往骑行两地的经验，的一些对应值如下表： 2 1.5 1.2 1 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，用式子表示小李骑行的平均速度与骑行时间的关系． (2)安全起见，骑行速度一般不超过．小李上午8：30从家出发，请判断他能否在上午9：10之前到达梦想小镇，并说明理由． 20．已知一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． (1)求k的值 (2)求A，B两点的坐标． (3)连接与，求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系，坐标原点O为的对称中心，的顶点均在反比例函数的图象上，且点A、B的坐标分别为、． (1)_________，_________ (2)求直线AD对应的函数表达式． (3)设过点A、C的正比例函数为，根据图象直接写出使的函数值大于的函数值的x的取值范围． 22．在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 23．近年来，新能源汽车产销两旺，成为推动经济运行，且率先实现整体好转的重要发力点．某新能源汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王老师在活动期间购买了价格为12万元的这款新能源汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； (2)王老师若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ (3)王老师每月付款不少于多少元，可以确保在规定期限内结清余额？ 24．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点C使的周长最小，求点C坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点坐标；若不存在请说明理由． 参考答案 1．D 【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量的乘积是否一定，如果乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例，据此进行判断即可． 【详解】解： A、由，比值一定，y与x成正比例关系，不是反比例关系，不符合题意； B、，即，比值一定，y与x成正比例关系，不是反比例关系，不符合题意； C、，乘积不一定，不是反比例关系，不符合题意； D、，乘积一定，y与x成反比例关系，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例的意义，熟练掌握对应的乘积一定的两种相关联的量成反比例是解决此题的关键． 2．B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据待定系数法，可得反比例函数解析式，再把自变量的值代入求值即可． 【详解】解：设反比例函数为， 当时，， ∴， 解得：． ∴反比例函数为． 当时，． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数图象与性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由知，此反比例函数的图象位于第二、四象限，故原描述错误，不符合题意； B、由知，在每一象限内，y随x的增大而增大，故原描述错误，不符合题意； C、由于，，则此图象与坐标轴不相交，故原描述正确，符合题意； D、由于时，，则此图象不经过点，故原结论错误，不符合题意． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数的图象和性质和反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数与， ∴当时，，一次函数的图象过一，三，四象限，双曲线过一，三象限； 当时，，一次函数的图象过一，二，三象限，双曲线过二，四象限； 故满足题意的只有选项A； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，函数图象的交点与方程的根． 画和的函数图象，由函数图象的交点与方程的根之间的关系，即可得方程 的根的个数． 【详解】解：和的函数图象如图所示， 根据二次函数和反比例函数图象的性质，结合图象可知， 和有且只有一个交点， ∴方程 的根的个数为． 故选：． 6．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据关于轴对称的点的坐标特征求出点B的坐标，然后分别代入解析式进行整理即可． 【详解】解：∵A、B两点关于y轴对称，点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 将点A的坐标，代入，得； 将点B的坐标，代入，得， ∴； 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的坐标特征，菱形的性质，求得点的坐标，进而根据点的坐标求出的值是解题的关键．要求的值，只需求出点坐标即可，根据菱形的性质可得，所以点的纵坐标等于点的纵坐标，等于4，过点作于点，根据勾股定理求出，所以，从而得到点的横坐标，进而根据点的坐标求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是菱形， ，， 又，， 点的纵坐标等于点的纵坐标，等于4，，，， ， 在直角中，， ， ， 点的横坐标为4， ， ， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 9． 【分析】将函数解析式变为，根据反比例函数的定义即可得出答案，再将代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的比例系数是， 当时，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义．形如的函数称为反比例函数，其中为自变量，为函数，为反比例系数，还考查了反比例函数的函数值，熟练掌握知识点是解题的关键． 10． 【分析】本题考查反比例函数图象上点，树状图法求概率，画出树状图，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 共有12种等可能的结果，点在函数图象上的情况有两种情况， ∴； 故答案为： 11．16 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是把两个函数关系式联立成方程组并能正确求解．由题意得出，，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵、在双曲线上， ∴，且A和B关于原点对称． ∴，， ∴， 故答案为：16． 12． 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由反比例函数可知：，则在每个象限内，随的增大而增大， ∴当时，则， ∴当时，则的取值范围是， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是反比例与一次函数的交点问题，将P点坐标代入到两个解析式，可以得到和，将代数式变形为，代入即可解决． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为：， 由条件可得：， ， 当时，则， 根据函数图象可得：当时，， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是用待定系数法求函数的解析式；根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， 设，则， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象的平移问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论； （2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：，将点C的坐标代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）设平移后的一次函数的解析式为：， ∵轴，且， ∴， 把点代入中，得：， ∴， ∴平移后的一次函数的解析式为：． 19．(1) (2)小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇，见解析。 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式。 （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论。 【详解】（1）（1）根据表中数据可知， 所以 答：用式子表示小李骑行的平均速度v与骑行时间t的关系为。 （2）小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 理由：从上午8：30到上午9：10，用时40min，即h。 当时， (km/h) 因为骑行速度一般不超过30km/h， 所以小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 答：小李不能在上午9：10之前到达梦想小镇。 20．(1) (2)， (3)8 【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，以及反比例函数与一次函数的综合运用： （1）首先把A的横坐标为3代入两个函数的解析式中，然后就可以确定k的值； （2）利用两个函数的解析式组成方程组，解方程组就可以得到A，B两点的坐标； （3）先求出直线与x轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出的面积． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于A和B两点，其中有一个交点A的横坐标是3． ∴当时，， 解得：； （2）解：当时，一次函数为，反比例函数为， 由， 解得：， ∴， ∴，； （3）解：由（1）得直线解析式为， 令，则， 解得， ∴直线与x轴交点坐标为， ∴． 21．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数与几何图形，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）先把B点坐标代入求出解析式，然后代入B点坐标求出m值即可； （2）根据对称性求出点C和D的坐标，利用待定系数法求直线的解析式即可； （3）根据图象得到直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数解析式得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点A的坐标为； 故答案为：，； （2）∵点O为的对称中心， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）解：如图，∵直线在双曲线上方时的自变量x的取值范围为或， ∴的函数值大于的函数值的x的取值范围为或． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）把，，代入计算即可得解； （2）由题意可得，结合（1）可得，即可得解； （3）将代入（2）中的关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：把，，代入可得，力F所做的功是； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴F与s之间的函数解析式； （3）解：当时，， 解得． 23．(1)，首付款为3万元 (2)每月应付万元 (3)他每月至少应付万元，可在期限内结清余款 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，然后再根据实际意义进行解答； （1）从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线，形成的矩形面积等于的绝对值，由图可知，即可求出解析式． （2）在（1）的基础上，知道自变量，便可求出函数值． （3）知道了自变量的范围，利用解析式即可求出因变量的范围． 【详解】（1）解：由图象可知与成反比例，设与的函数关系式为， 把代入关系式得， ， ， （万元）． 答：首付款为3万元； （2）解：当时，（万元）， 答：每月应付万元； （3）解：当时，， 答：他每月至少应付万元，可在期限内结清余款． 24．(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，“将军饮马”数学模型，等腰三角形的性质，熟练掌握以上模型与性质是解题的关键， （1）将点代入直线上，可先求出点，即可求出反比例函数解析式，再联立直线和反比例函数解析式可求得点B的坐标； （2）过点作关于轴对称的点，连接，交轴于点，利用数学模型“将军饮马”构造三角形，求出的直线解析式为：，令，得到，从而得到点C坐标； （3）设，根据，，得到，，，使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一：①，②，③，代入后求出值，即可得到坐标． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数交于两点， ∴ 解得：或， ∴． （2）解：过点作关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，则的周长最小， ∵ ∴， 设的直线解析式为：， ∴ 解得： ∴的直线解析式为：， 令，则， ∴． （3）解：设， ∵，， ∴，，， ∵使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一： ①， ②， ③， 情况①：， 两边同时平方得：， 解得：， ∴； 情况②：， 两边同时平方得：， 解得：（舍去）或， ∴； 情况③：， 两边同时平方得：， 解得：或， ∴或， ∴在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，点坐标为：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $