精品解析：重庆江北知易外国语学校2025-2026学年高二上学期10月考试数学试题

重庆江北知易外国语学校2025-2026学年（上）10月考试 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 6. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为0 B. 已知两点、，过点的直线与线段MN有公共点，则的斜率k的取值范围为 C. 直线恒过定点 D. 经过和的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ） A. C的方程为 B. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 C. 当A，B，P三点不共线时， D. 若点，则在C上存在点M，使得 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 直线与直线平行，则实数______． 13. 与圆关于直线对称的圆的标准方程为______. 14. 若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 17. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 18. 已知圆C经过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若点在圆C上，求的最大值与最小值； （3）过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程． 19. 在平面直角坐标系中，两点，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； （3）过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆江北知易外国语学校2025-2026学年（上）10月考试 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再结合斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角大小． 【详解】由直线方程， 则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为． 故选：D． 2. 已知圆，则下列各点在圆上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 3. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 4. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 5. 若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A. ±2 B. C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 6. 已知圆与圆交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 7. 已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两圆恰有两条公切线时两圆相交，即圆心距满足，列不等式即可求出的取值范围． 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 8. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解. 【详解】圆，即，圆心，半径, 设弦的中点为，则,，且， 所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以， 所以的最小值为. 故选：A． 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知直线被圆截得的弦为，则（　　） A. 半径为5 B. 圆心 C. 圆心到直线距离为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的方程易得圆心和半径，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可逐一判断各选项. 【详解】由配方得：， 则圆心为，半径为，故A错误，B正确； 圆心到直线的距离为，故C正确； 又，故D错误. 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则m的值为0 B. 已知两点、，过点的直线与线段MN有公共点，则的斜率k的取值范围为 C. 直线恒过定点 D. 经过和的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据三点共线与斜率的关系求解判断即可；对于B，根据两点间的斜率公式，利用数形结合求出直线斜率的取值范围即可判断；对于C，化简直线方程为，联立方程组，即可求解判断；对于D，先求出交点坐标，分斜率不存在和斜率存在进行讨论，结合点到直线的距离公式列式求解判断即可. 【详解】对于A，由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线斜率相等， 而，， 则，解得，故A正确； 对于B，由、，， 则，， 由图可知，要使过点的直线与线段MN有公共点， 则或，即的斜率k的取值范围为，故B错误； 对于C，由， 则， 令，解得，则直线恒过定点，故C正确； 对于D，联立，解得， 可知直线与的交点坐标为，即所求直线过点， 若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若所求直线斜率存在，设直线方程为，即. 则原点到该直线的距离，解得， 此时方程为. 综上所述：所求直线方程为或，故D错误. 故选：AC. 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ） A. C的方程为 B. 在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得 C. 当A，B，P三点不共线时， D. 若点，则在C上存在点M，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合两点的距离公式计算即可判断A； 利用对称的特点即可判断B； 利用坐标表示向量的线性运算即可判断C； 结合点到直线的距离即可判断D. 【详解】选项A：设，由条件，，即，所以C的方程为，故A错误； 选项B：由对称性可知，存在D，E满足条件，故B正确； 选项C：， ，所以，故，故C正确； 选项D：由知，M的轨迹是线段B的垂直平分线，其方程为，圆C的圆心到l的距离，所以直线1与圆C相交，故在C上存在点M，使得，故D正确. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 直线与直线平行，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 13. 与圆关于直线对称的圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出圆心关于直线对称的坐标，结合半径，代入圆的标准方程得解. 【详解】由题意得，圆，化简得， 所以圆心坐标为，半径， 设圆心关于直线的对称点的坐标为 得，解得，则所求圆的圆心坐标为，半径也为， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 14. 若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆，画出图象，平行移动直线观察与半圆有交点的情况，得出的取值范围. 【详解】如图所示，曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆， 直线是斜率为的直线，是直线的纵截距. 当直线过点时，取得最小值，此时； 当在第二象限与曲线相切时，取得最大值， 此时，到，即的距离为1， 所以，所以. 显然，所以. 所以实数b的取值范围是. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由（1）得，解得， 所以的周长为. 16. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 17. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 18. 已知圆C经过点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若点在圆C上，求的最大值与最小值； （3）过原点的直线l交圆C于M，N两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为． （3）或． 【解析】 【分析】（1）可设圆心为，由求出圆心坐标及半径进行求解； （2）由表示原点与圆C上的点间的距离，进行求解； （3）分直线的斜率存在与不存在进行求解． 【小问1详解】 由已知可设圆心为， 则，即， 解得，∴，， ∴圆C的方程为． 【小问2详解】 表示原点与圆C上的点间的距离， 而原点O在圆C外，，圆C的半径， ∴的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 当l垂直于x轴时，l即为y轴，将代入圆C的方程， 得， ∴，， 此时截得的弦长为，满足条件： 当l不垂直于x轴时，设l的方程为y＝kx， 圆心C到直线l的距离， 由点到直线的距离公式得，解得． ∴直线l的方程为x＝0或． 19. 在平面直角坐标系中，两点，点满足． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； （3）过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）设，根据已知列方程化简可得； （2）法一：根据已知圆，利用圆系方程设出所求，根据圆心在已知圆上即可得解；法二：求出公共弦所在直线方程，然后求出交点坐标即可得解； （3）利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，结合基本不等式求解可得. 【小问1详解】 设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． 【小问3详解】 如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得． 设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $