精品解析：吉林省长春市东北师范大学附属中学新城校区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

东北师大附中（新城校区）初三年级上学期 （数学学科）阶段测试 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 2. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，注意算术平方根的非负性和立方根的符号性质． 根据平方根和立方根的定义，算术平方根为非负数，立方根可为负数，逐一判断各选项． 【详解】解：选项A中，，故本选项错误； 选项B中，，故本选项正确； 选项C中，，故本选项错误； 选项D中，，故本选项错误． 故选：B． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵ ，即， ∴ ，，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和求代数式的值，属于基础题，解题的关键是理解一元二次方程的解，并能将其代入方程得到代数式的值． 利用方程根的定义，将已知方程代入所求表达式直接计算． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∴ ． 故选：B． 5. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为4，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似，以及相似图形性质，根据题意得到四边形与四边形的相似比为，进而利用相似图形性质求解，即可解题． 【详解】解：， ， 四边形与四边形位似，位似中心是， 四边形与四边形的相似比为， 四边形的周长为4， 则四边形的周长为12， 故选：C． 7. 如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点分别在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键．如图：作于点D，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式求出，再求出，由余弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图：作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点E，轴于点F，可证明，得到，，设，得到，设直线的函数解析式为，求得直线的函数解析式为，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ， ， ， ，， 点A、点C在函数的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， ，即， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点C在x轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简．对分母进行有理化，先化简根号再计算． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，题目中六块草坪可以拼成一个矩形，这个矩形的长为，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：六块面积相等的草坪可以拼成一个矩形， 这个矩形的长为，宽为， 每一块草坪的面积都为， ， “■”应补全的代数式为， 故答案为： ． 11. 如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与位似图形、点坐标的中点公式，熟练掌握点坐标与位似图形是解题关键．取的中点为点，则，再根据位似图形的性质可得，从而可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，利用点坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：如图，取的中点为点， ∴， ∵以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，，，即点B是的中点， ∴，解得， ∴， 又∵点为的中点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，在四边形中，，，，点，分别为线段、上的动点，点、分别为、的中点，则长度的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由勾股定理可得，由三角形中位线定理可得，当最长时，长度最大，即当点N与点B重合时，最长，由此即可求得答案． 本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确分析、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， ∴当最长时，长度最大，即当点N与点B重合时，最长， 此时， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中为对角线的中点，连接，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出． 【详解】解：，是的中点， ，， ， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 14. 如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据等边对等角的性质求出，然后求出，根据等边对等角求出，然后求出是直角，即可得到①正确；根据互余关系求出，再根据等角对等边的性质求出，然后求出，从而判断②正确；根据直角三角形的性质求出和相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出，再根据全等三角形对应边相等可得，从而判断出③正确；根据角的互余关系可以求出，再根据可知，然后求出，然后求出，从而得到，判断出④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故③正确； 根据角的互余关系，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出，然后证明是证明的关键，也是本题的难点． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解题的关键． 先利用二次根式的乘法法则运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由于方程不易因式分解，采用求根公式法求解． 【详解】解：∵方程，，，， ∴， ∴， ∴方程的解为，． 18. 如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，结合正弦函数的应用解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，正弦函数的应用，熟练掌握性质和正弦函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，点处到地面的距离为， ∴于点D， ∵， ∴ 答：点到地面的距离为． 19. 某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． （1）求9月份营业额． （2）求10、11月份营业额的月平均增长率． 【答案】（1） 440万元 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题，根据题意找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键． （1）根据增长后的量增长前的量（增长率），结合9月份比8月份增加即可计算； （2）设月平均增长率为x，用x表示出11月份营业额列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵8月份营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加10%， ∴ 9月份营业额 （万元）； 答：9月份营业额为440万元． 【小问2详解】 解：设10、11月份营业额的月平均增长率为x， 则10月份营业额为万元，11月份营业额为万元， 根据题意，， 解得（负值已舍去）， 答：10、11月份营业额的月平均增长率为． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点，连接，使； （2）在图②中，在边上找一点，连接，使； （3）在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）如图，取格点，连接交于点，根据矩形的性质即可得出，从而得出； （2）如图，取格点、，连接交于点，连接，由网格特点得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，由平行线分线段成比例定理可得，即可得出； （3）如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，根据矩形的性质可得，从而得到，由网格特点得出四边形是平行四边形，由平行线分线段成比例定理得出，从而得出． 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接交于点，即为所求， ， 由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点， ， ； 【小问2详解】 解：如图，取格点、，连接交于点，连接，即为所作， ， 由网格特点可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取格点，连接交于点，取格点、，连接交于点，连接，即为所求， ， 由网格特点可得四边形是矩形，对角线、交于点， ， ， 由网格特点可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， ． 21. 如图，在中，． （1）实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，角平分线尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作已知角的平分线的方法即可作图； （2）由角平分线结合已知条件得到，再加上公共角及的性质，即可证明． 小问1详解】 解：如图，即为所作： 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ∵， ∴，， ， ∵， ， ． 22. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长18米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，这个最小值是；（3）当时，围成的生物园最大面积为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法求最值，完全平方公式特点，解题的关键在于熟练掌握配方法． （1）根据配方法整理即可； （2）类比题干求代数式的最小值步骤，整理求代数式的最小值，即可解题； （3）根据题意得到米，米，利用长方形面积公式表示出围成的生物园的面积，再结合配方法求解，即可解题． 【详解】解：（1）， ， 即在横线上添上一个常数项为， 故答案为：； （2）代数式有最小值， ， 当时，有最小值， 当时，代数式有最小值，这个最小值是． （3）设垂直于墙的一边长为米， 即米，米， 则围成的生物园的面积为 ， ， ， ， 当时，围成的生物园最大面积为． 23 综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，，根据相似三角形的性质得到，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】解：（1），理由如下： ， ，， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，如图③， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图，在中，，点从点出发，沿方向向终点运动，过点作交折线于点（点不与点重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． （1）的值为___________． （2）当点与点重合时，求的长． （3）点在边上，当是直角三角形时，求的值． （4）点关于直线的对称点为点，当点到直线的距离为时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或； （4）的长为或或． 【解析】 【分析】（1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， 由（1）得 ∴在中，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴， 则 ∴， ∵ ∴， ∴ 整理得 解得：， ∴， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 则， ∴， 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：①点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ②当点D线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，对称的性质，三角形相似，等腰三角形的判定，正切函数等知识，涉及分类讨论思想的应用以及数形结合思想；掌握这些知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中（新城校区）初三年级上学期 （数学学科）阶段测试 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，正确是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 4. 已知是方程的一个根，则的值为（ ） A 1 B. C. 3 D. 5. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，位似中心是，若，且四边形的周长为4，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 36 7. 如图，在正方形网格中，的位置如图，其中点分别在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为8，则的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 化简___________． 10. 如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草，并且使每一块草坪的面积都为．小明为了解决这个问题，他设每条道路的宽为，并列出一个不完整的方程为，则“■”应补全的代数式为_________． 11. 如图，平面直角坐标系中，，，，以为位似中心，把在点同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为___________． 12. 如图，在四边形中，，，，点，分别为线段、上的动点，点、分别为、的中点，则长度的最大值为___________． 13. 如图，在四边形中为对角线的中点，连接，若，则的度数为______． 14. 如图，中，，，点是的中点，点在线段上，，交于点，过点作的垂线交的延长线于点，给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17 解方程：． 18. 如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 19. 某商场今年8月的营业额为400万元，9月份营业额比8月份增加，10、11月份营业额的月平均增长率相同，11月份的营业额达到万元，求11月份营业额的月平均增长率． （1）求9月份营业额． （2）求10、11月份营业额的月平均增长率． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹． （1）在图①中，在边上找一点，连接，使； （2）在图②中，在边上找一点，连接，使； （3）在图③中，在边上找一点，在边上找一点，连接，使． 21. 如图，在中，． （1）实践操作：利用尺规作平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． 22. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如，求代数式的最小值： 当时，有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长18米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，请用配方法求当为何值时，围成的生物园的最大面积？最大面积是多少？ 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，点分别在上，已知，交于点是的中点． 猜想证明：（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由． 深入探究：（2）如图2，在（1）的条件下，连接．若，求的值． 拓展应用：（3）如图3，在平行四边形中，，对角线与交于点为上一点，交于点交于点，连结．若平分，则的长为___________． 24. 如图，在中，，点从点出发，沿方向向终点运动，过点作交折线于点（点不与点重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到． （1）的值为___________． （2）当点与点重合时，求的长． （3）点在边上，当是直角三角形时，求的值． （4）点关于直线的对称点为点，当点到直线的距离为时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $