专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训（1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训 (1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测) 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 动点问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 电费和水费问题 题型十二 比例分配问题 题型十三 日历问题 题型十四 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用 拓展训练二 一元一次方程实际综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一:用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1) 审:弄清题意和题目中的数量关系。 (2) 设:用字母表示题目中的一个未知量。 (3) 找:找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 (4) 列:根据这个相等关系列出方程。 (5) 解:解所列的方程,求出未知数的值。 (6) 验:检验方程的解是否符合问题的实际意义。 (7) 答:写出答案。 2.设未知数的三种方法: (1) 直接设未知数:题目求什么就设什么为未知数。 (2) 间接设未知数:对于一些应用题,如果直接设所求的量为未知数,可能不容易列方程,这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数,进而求出所求的量。 (3) 设辅助未知数:如果前两种方法都行不通,便可设某个量为辅助未知数,辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁,一般情况下,解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量 增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量-降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度 时间 时间=路程 速度 速度=路程 时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行,注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行,注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率 工作时间 工作效率=工作量 工作时间 工作时间=工作量 工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下,把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价(成本价) 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题(包括日历中的数字规律) 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字,则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律; ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1.(24-25七年级上 江苏无锡 期中)某运输队运煤,第一天运了总量的,第二天运煤恰好是第一天的,还剩下吨,设一共运煤吨,则可列出方程( ) A. B. C. D. 2.(2025七年级上 江苏苏州 模拟预测)若一个角的补角比这个角大,则这个角是 . 【经典例题一 行程问题】 【例1】(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)甲、乙两站相距375千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行25千米,慢车行了2小时后,一列快车从乙站开往甲站,每小时行40千米,快车行了几小时后与慢车相遇? 1.(24-25七年级上 江苏徐州 期中)如图,机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处,他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走.当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时,经过了多少秒?( ) A.30秒 B.60秒 C.90秒 D.120秒 2.(24-25七年级上 江苏扬州 期中)我国古代名著《九章算术》中有一问题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”意思为:有只野鸭从南海起飞历经7天到达北海,有只大雁从北海起飞历经9天到达南海,如果野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过多少天能相遇?假设经过天相遇,则可列一元一次方程为 . 3.(24-25七年级上 江苏南通 阶段练习)一天,某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行,并以各自的速度匀速行驶,两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地,此时两车相距20千米,甲车在服务区C地休息了20分钟,然后按原速度开往B地;乙车行驶2小时10分钟时也经过C地,未停留继续开往A地. (1)乙车的速度是_千米/小时,B、C两地的距离是_千米;A、C两地的距离是_千米 (2)求甲车的速度; (3)这一天,乙车出发多长时间,两车相距200千米? 4.(2025七年级上 江苏南京 模拟预测)如下图,现有两条乡村公路和长长1600m.一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶;另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶,并且两人同时出发. (1)经过多少分钟摩托车追上自行车? (2)两人均在行驶途中时,经过多少分钟在行进路线上相距150m? 【经典例题二 配套问题】 【例2】(24-25七年级上 江苏泰州 阶段练习)某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母22个或螺栓16个.为使每天生产的螺栓和螺母恰好配套.应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名? 1.(24-25七年级上 江苏徐州 阶段练习)制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿,1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿.现有12立方米的木材,则下列方案能制作尽可能多的桌子的是( ) A.2立方米木材制作桌腿,10立方米制作桌面 B.3立方米木材制作桌腿,9立方米制作桌面 C.4立方米木材制作桌腿,8立方米制作桌面 D.5立方米木材制作桌腿,7立方米制作桌面 2.(24-25七年级上 江苏宿迁 阶段练习)现有工人34人,平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个,又知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套,要使每天生产的大小齿轮刚好配套,怎么分配工人.设安排x人生产了大齿轮,由题意可设方程为 . 3.(24-25七年级上 江苏 期中)某工厂需要生产一批太空漫步器(如图),每套设备由1个支架和2套脚踏板组装而成.工厂现共有33名工人,每人每天平均生产60个支架或100套脚踏板,为使每天生产的支架和脚踏板恰好配套,应安排生产支架和脚踏板的工人各多少名? 4.(24-25七年级上 江苏无锡 期中)完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来,用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品.苏州(姑苏)是中国眼镜的发源地,明代崇祯初年(),苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大. 索材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图),每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成.工厂现共有名工人,平均每人每天生产个镜框或个镜腿. 任务解决 任务一:应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套? 任务二:若每副镜架的成本为元,要达到的利润率(利润率利润成本),则每副镜架的出厂价应定为多少元? 【经典例题三 工程问题】 【例3】(2025 江苏 模拟预测)某校图书馆组织学生将图书进行重新分类整理,若安排一个学生整理需要小时,学校安排部分学生先整理了小时,为了加快进度,又增加了名学生一起整理小时后完成,假设每个学生的效率相同,则第一批安排了多少名学生整理? 1.(24-25七年级上 江苏南京 假期作业)制作一副广告牌,徒弟单独做需20天完成,师傅单独做需12天完成,现由徒弟单独做4天后,师徒二人一起完成余下的任务,则师傅做了( ) A.4天 B.5天 C.6天 D.7天 2.(24-25七年级上 江苏扬州 阶段练习)一项工作,甲独做需天,乙独做需天,如果两人合做天后,余下的工作再由甲独做 天完成. 3.(24-25七年级上 江苏连云港 期中)某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服定单,甲组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件,乙组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件. (1)如果两个小组此月一共实际完成了件,那么此月人均定额是多少件? (2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等,那么此月人均定额是多少件? 4.(24-25七年级上 江苏常州 期中)阅读下列材料,完成相应任务. 数学课堂上,李老师出示了如下信息: 信息一:某服装厂计划用布料加工成学生校服,已知每布料可以加工2件上衣或3条裤子,2件上衣需要配1条裤子. 信息二:一人整理这批校服需要完成,现计划由一部分人先整理,然后增加2人与他们一起整理,完成这项工作(假设这些人的工作效率相同). 任务一:根据信息一李老师提出问题:应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配套?能加工成多少套校服? 小颖和小彬分别列出了尚不完整的方程如下: 小颖列的方程是“” 小彬列的方程是“” ①小颖同学所列方程中的x表示_,方程中?处应填_; ②小彬同学所列方程中的x表示_,方程中的表示_. 任务二:小亮根据信息二提出了问题:应安排多少人先整理?请你解决这个问题,并写出解答过程. 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】(24-25七年级上 江苏扬州 阶段练习)某个体服装商清仓甩卖,将一件衣服的原标价连续两次降,这时的标价为289元,已知这件衣服进价是原标价的,这件衣服进价多少元? 1.(24-25七年级上 江苏苏州 期中)受季节影响,某商品每件售价按原价降低再降价6元后的售价是100元,那么该商品每件原售价可表示为( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 江苏 单元测试)某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元,利润率为.为了让利顾客,提高销量,今年五一期间,该商场按同一标价打九折销售该品牌电器.那么五一期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为 3.(24-25七年级上 江苏盐城 期中)“元旦”期间,某文具店购进100只两种型号的文具进行销售,其进价和售价如下表: 型号 进价(元只) 售价(元只) A型 10 12 B型 15 23 若该店购进这100只文具共花费1300元,则A,B两种型号的文具各有多少只?若全部售出,总利润是多少? 4.(24-25七年级上 江苏南京 期中)某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件售价35元,且利润为进价的;乙种商品每件进价30元,进价比售价少 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元? (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件,且乙种商品比甲种商品少,若全部卖出,求该商场的利润是多少元? (3)在“五一”期间,该商场对甲、乙两种商品进行如表优惠促销活动:按上述优惠条件,若小王第一天只购买甲种商品一次性付款245元,第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元,那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件? 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】(24-25七年级上 新疆吐鲁番 期中)一张试卷有25道选择题,做对一题得4分,做错一题扣1分,某同学做完了25道题,共得了70分,那么他做对的题数是多少? 1.(24-25七年级上 陕西西安 期中)足球比赛记分规则为:胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分,某队进行了14场比赛,其中负5场,共得分19分,若设胜场次数为x,则可列方程为( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 辽宁盘锦 期中)12月4日为江苏南京法制宣传日,某校组织全体学生参加法制知识模拟预测,共设20道选择题(各题分值相同),每题必答,下表记录了其中3名参赛者的得分情况,若参赛者得76分,则他答对了 题. 参赛者 答对题目 答错题目 得分 18 2 88 20 0 100 12 8 52 3.(24-25七年级上 江苏南京 期中)为响应河南省“2024全民阅读”系列活动,某校开展“书香校园”文学阅读与知识模拟预测活动.知识模拟预测为百分制,共设20道选择题,各题分值相同,每题必答. A,B,C三位参赛者得分情况如下表所示,求参赛者C答对的题数. 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 4.(24-25七年级上 河北廊坊 期中)以下是2022年世界杯女篮比赛决赛中三个国家的积分榜: 国家 比赛场次 胜场 负场 积分 波多黎各 5 2 3 7 韩国 5 1 4 6 波黑 5 0 5 5 已知每个国家总比赛场次为5场.请仔细观察表中数据,完成以下问题: (1)由表可得负一场积_分,所有参赛国家最高可能积_分. (2)若一个国家负场(,且为整数),用含的式子表示该国家的总积分为_; (3)某国家的胜场总积分能否等于它的负场总积分的2倍?请通过列方程计算说明; (4)已知中国队时隔28年追平历史最好成绩,夺得世界杯亚军,若中国队胜场总积分是负场总积分的8倍,则中国队的总积分为_分. 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】(24-25七年级上 江苏 阶段练习)初三年级准备观看话剧《老舍五则》,票价每张50元,一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠,售票员说:30人以上的团体票有两种优惠方案可选择:方案一:全体人员可打8折;方案二:若打9折,有4人可以免票.一班班主任思考一会儿说,我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的,求一班学生的人数. 1.(24-25七年级上 山西朔州 期中)某超市推出如下优惠方案: (1)一次性购物不超过100元不享受优惠; (2)一次性购物超过100元,但不超过300元一律九折; (3)一次性购物超过300元一律八折; 兰兰两次购物分别付款80元,252元.如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款( ) A.288元 B.288元或332元 C.332元 D.288元或316元 2.(24-25七年级上 江苏无锡 期中)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.该企业计划将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工.若分配到A生产线1.8吨,分配到B生产线3.2吨,两条生产线同时开工,则该企业的加工时间为 小时;若要使该企业加工这5吨原材料的时间最短,则分配到A生产线 吨.说明:该企业的加工时间为从由生产线开始加工到两条生产线都停止加工的时间. 3.(24-25七年级上 天津静海 阶段练习)甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过元,超出元的部分按收费;在乙商场累计购物超过元,超出元的部分按收费.已知小红在同一商场累计购物元,其中. (1)当时,小红在甲商场需花费_元,在乙商场需花费_元. (2)分别用含的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费. (3)小红累计购物多少元时,在甲乙两商场实际花费相同? 4.(24-25七年级上 湖北十堰 期中)当地时间10月30日,国家地区奥委会协会(间称“国际奥协”第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕,在当次的颁奖典礼上,中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖,乒乓球一直是中国的“国球”,这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现,还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关,某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球,市场调查情况如下:甲、乙两家体育用品商店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球,两家商店乒乓球拍标价均为每副80元,乒乓球的标价均为每盒20元,甲商店每卖一副球拍免费赠送一盒乒乓球,乙商店全部按标价打9折出售,现该班需购买球拍5副,乒乓球盒(不少于5盒). (1)去甲商店购买总费用为 元;去乙商店购买总费用为 元.(请用含的代数式表示) (2)当购买多少盒乒乓球时,甲、乙两家商店所需费用一样? (3)当购买40盒乒乓球时,怎样购买最划算? 【经典例题七 数字问题】 【例7】(24-25七年级上 福建福州 阶段练习)个连续奇数的和是,其中最大的一个数是多少? 1.(24-25七年级上 江苏苏州 期中)幻方是一种中国传统的数字游戏,游戏规则如下:将数字填入正方形的格子中,使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等,如图是填写了部分数字的幻方,根据幻方的游戏规则,其中的值为( ) A. B. C. D. 2.(2025 河北沧州 模拟预测)“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法,最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出,在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”. 如图1,计算47 51,将乘数47计入上行,乘数51计入右行,然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后按斜行加起来,得2397. 如图2,用“格子乘法”表示两个两位数相乘,则a的值为 . 3.(24-25七年级上 江苏盐城 期中)数学综合与实践课上,王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律,根据设计了“”的图案(教材第70页).我们知道分数可以写成小数,反过来,无限循环小数可以写成分数,一般地,任何一个无限循环小数都可以写成分数形式.我们以无限循环小数为例进行探究:设…,两边同乘以10得:,即,解得, ∴.请仿照这一方法解决以下问题: (1)无限循环小数写成分数为 . (2)大小比较: 1.(选填“>”“=”或“<”) (3)请把无限循环小数写成分数. 4.(24-25七年级上 安徽合肥 期中)探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学,通过自主学习课本知道了:一般地,任何一个无限纯循环小数都可以写成分数(,是整数,)的形式,如以无限循环小数,,为例: 设,由……可知,……,所以.解方程,得.于是,. 设,由……可知,……,所以.解方程,得.于是,. 设,由……可知,……,所以.解方程,得.于是,. 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题: 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢?无限混循环小数可以化成分数吗?如,,,,分别可以化成什么分数呢?请你参与该学校学习小组同学们的思考,试着解决以上问题. 【经典例题八 几何问题】 【例8】(24-25七年级上 江苏南京 课后作业)如图,现有竹篱笆120米,靠墙围成一个长方形菜地(墙可作菜地的一个长边,其他三面用竹篱笆围成),要使菜地的长是宽的2倍,则菜地的长和宽各是多少米? 1.(24-25七年级上 浙江湖州 期中)有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个底面积为的正方形盒内,它们之间互相叠合,如下图所示,已知露在外的部分中,红色,黄色和绿色三块面积之比为.记没被盖住的两部分的面积分别为和,则的值为( ) A.16 B.17 C.18 D.19 2.(24-25七年级上 山东青岛 期中)如图,将一根绳子折成三段,然后按如图所示方式剪开.剪1刀,绳子变为4段;剪2刀,绳子变为7段;剪15刀,绳子变为 段.若绳子剪开后,正好剪得103段,则剪了 刀. 3.(24-25七年级上 安徽安庆 期中)如图,长方形被分成六个大小不一的正方形,已知中间一个小正方形的面积为4,求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差. 4.(24-25七年级上 江苏苏州 阶段练习)如图,在长方形中,,,,点在边上,且,动点从点出发,以1个单位/秒的速度沿路径运动,同时动点从点出发,以2个单位/秒的速度沿路径运动,当其中一点停止时,另一个点也随之停止,设点、运动的时间为秒. (1)当秒时,线段_; (2)当点在边上运动时,若,求的值; (3)在点、运动过程中,是否存在某一时刻,使得四边形的面积为15?若存在,求出所有符合条件的的值;若不存在,请说明理由. 【经典例题九 动点问题】 【例9】(2025七年级上 江苏南京 模拟预测)数轴上A、B两点对应数为, 4.点P从向右2单位/秒移动,点Q从4向左1单位/秒移动,经过几秒两点相遇? 1.(24-25七年级上 江苏宿迁 期中)在数轴上,点表示的数为,点表示的数为15,动点从点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动.设运动时间为秒,当点到、两点距离之和为40时,则的值是( ) A.10 B.15 C.20 D.25 2.(2025 四川成都 模拟预测)已知滑块沿滑槽从点向点运动,到达点会有一个短暂停留,然后滑块又从点运动到点.已知滑块长度为,某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动;当滑块右端点到达点时停顿,然后再以小于的速度匀速返回.设时间为时,.由点向点运动过程中,当和时,与之对应的的两个值互为相反数,从点到点与点到点整个过程总用时(含停顿时间).在整个往返过程中,若,则的值是 . 3.(25-26七年级上 江苏 阶段练习)如图,点P,Q在数轴上表示的数分别是、4,点P以每秒2个单位的速度运动,点Q以每秒1个单位的速度运动.设点P,Q同时出发,运动时间为t秒. (1)若点P,Q同时向右运动3秒,则点P表示的数为_,点P,Q之间的距离是_个单位; (2)经过_秒后,点P,Q重合; (3)试探究:经过多少秒后,点P,Q两点间的距离为15个单位. 4.(25-26七年级上 四川广元 阶段练习)已知数轴上点在原点左侧,到原点距离为个单位长度,点在点的右侧,点与点的距离为个单位长度,点表示的数与点表示的数互为相反数.动点从出发,以每秒个单位的速度向右运动,点从点出发,以每秒个单位长度的速度向左运动,设运动时间为秒,当点到达点,点点的运动都停止. (1)点表示的数为_,点表示的数为_,点表示的数为_; (2)用含的代数式表示点到点和点的距离:_,_; (3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度? 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】(24-25七年级上 四川绵阳 阶段练习)甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁.若将甲的岁数增加7岁,乙的岁数扩大2倍,丙的年龄缩小到原来的,则三人岁数相等.丙的年龄是多少岁? 1.(24-25七年级上 河南周口 期中)某校书法兴趣小组计划组织学生写春联.如果每人写6副,那么计划多写7副;如果每人写5副,那么比计划少13副.设有x名同学,则( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 江苏镇江 阶段练习)新年联欢,老师为同学们准备了A、B两种礼物,A礼物单价a元,重m千克,B礼物单价元,重千克,为了增加趣味性,老师把礼物随机组合装在盲盒里,每个盲盒里均放两个,装好后,称重盲盒,发现: 称重情况 重量最大的盲盒 重量介于最大和最轻之间 重量最轻的盲盒 盲盒个数 12个 20个 8个 若这些礼物共花费836元,则 元. 3.(24-25七年级上 陕西延安 期中)习近平总书记指出,要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人.良好的身体素质是所有的前提保障,体育锻炼是增强体质最有效的手段,某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球,其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元,购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元. (1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元? (2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152件,体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1副羽毛球拍和3桶羽毛球,刚好够分,请问学校购买了多少副羽毛球拍,多少桶羽毛球? 4.(24-25七年级上 重庆丰都 期中)某购物中心销售甲、乙两种产品,甲种产品每件进货成本为40元,售价为60元;乙种产品每件售价为48元,其利润率高达. (1)若该购物中心同时购进甲、乙两种产品共50件,恰好总进价为1700元,则该商场购进甲种商品多少件? (2)在“元旦”期间,该商场进行如下的优惠促销活动: 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过200元 不优惠 超过200元,不超过300元 按总金额打八折 超过300元 其中300元及以下的部分打八折,超过300元的部分优惠 按上述优惠条件,若一次性购买甲、乙商品若干件,实际付款324元,求此打折前的甲、乙商品总金额. 【经典例题十一 电费和水费问题】 【例11】(24-25七年级上 江苏南京 期中)某市收取水费规定如下:每月每户用水若不超过20立方米,则每立方米水价为2.5元;若超过20立方米,则超过部分每立方米按4.0元收费.某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米3.0元,那么这户居民这个月共用了多少立方米的水? 1.(24-25七年级上 江苏南京 假期作业)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10立方米,按每立方米a元收费;用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工6月份缴水费16a元,则该职工6月份实际用水量为( ) A.13立方米 B.14立方米 C.15立方米 D.16立方米 2.(2025 内蒙古呼和浩特 模拟预测)为节约用电,某市实行“阶梯电价”,具体收费方法是第一档每户用电不超过240度,每度电价0.6元;第二档用电超过240度,但不超过400度,则超过部分每度比第一档提价0.05元;第三档用电超过400度,超过部分每度比第一档提价0.3元,某居民家12月份用电165度,则该居民12月份需要交电费 元;如果该居民12月份交电费222元,则该居民家12月份用电 度. 3.(24-25七年级上 浙江台州 期中)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息: 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价:元/吨 单价:元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 (说明:①每户生产的污水量等于该户自来水用量;②水费=自来水费用+污水处理费) 已知小王家2025年1月用水15吨,交水费30元;2月份用水26吨,交水费61元. (1)求a,b的值; (2)如果小王家3月份上交水费108元,则小王家这个月用水多少吨? 4.(24-25七年级上 辽宁大连 期中)随着生活水平的提高,家庭对冰箱的需求也越来越高.在购买冰箱时,需要综合考虑冰箱的价格、耗电量情况等因素.某人打算从当年生产的两款冰箱中选购一台,表是这两款冰箱的部分基本信息.如果电价是元,不考虑维修费用对决策的影响,请你分析他购买、使用哪款冰箱综合费用较低. 表21-1 两款冰箱的部分基本信息 型号 能效等级 售价 平均每年耗电量 A 1级 4000元/台 2级 3500元/台 【经典例题十二 比例分配问题】 【例12】(24-25七年级上 江苏常州 阶段练习)学校把一批花按分配给八年级和七年级同学栽种.已知七年级比八年级多分了棵.八、七年级各分了多少棵? 1.(2025七年级上 江苏南京 模拟预测)如果甲、乙、丙三村合修一条公路,计划出工84人,按出工,求各村出工的人数. ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人,依题意,得; ②设甲村出工人,依题意,得; ③设乙村出工人,依题意,得; ④设丙村出工人,依题意,得. 上面所列方程中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25七年级上 重庆沙坪坝 阶段练习)茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶,其中A原料成本价为10元/千克,B原料成本价为15元/千克,按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润.由于物价上涨,A原料上涨20%,B原料上涨10%,配制后的总成本增加.茶百道为了拓展市场,打算再投入现总成本的10%做广告宣传,使得销售成本再次增加,如果要保证每千克的利润不变,则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 3.(24-25七年级上 河南南阳 阶段练习)如图,两根铁棒直立于桶底水平的桶中,在桶中加入水后,一根铁棒在水面以上的长度是总长度的,另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的,已知两根铁棒的长度之和是31厘米,桶内水深多少厘米? 4.(2025 江苏盐城 模拟预测)如图,初三年级准备制作一个长的横幅,横幅内容定为16个字,对横幅的有关数据作如下规定:每个字的字宽是相同的,每两个字之间的字距均相等,边空宽:字宽:字距,试求横幅字距是多少? 【经典例题十三 日历问题】 【例13】(24-25七年级上 河南周口 阶段练习)如图,这是2022年11月份的日历,小康在此日历上用一个“十字”框出了5个数,若框出的5个数中最大数与最小数的和为30,求这5个数的和. 1.(24-25七年级上 广东佛山 期中)如图是2025年1月份的日历,由如图所示的框,框出三个数,,,以下结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.(24-25七年级上 江苏苏州 期中)对连续的偶数2,4,6,8……排成如右图的形式.将图中的十字框上下左右移动,使框住的五个数之和等于,则这五个数中位置在最中间的数是 . 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 … … 3.(24-25七年级上 重庆 阶段练习)小芳将自然数按右面的格式排列后,每次用(即4行3列)的长方形都可以框出12个数(如图).有一次她发现框出的12个数的和是2010.那么这12个数中最大的数是多少? 4.(24-25七年级上 河南省直辖县级单位 期中)如图是某月的月历. (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系? (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗?若将十字框中间的数设为x,请用含有的式子表示十字框中五个数的和. (3)在该月的月历上用十字框框出个数,能使这个数的和为吗? 【经典例题十四 古代问题】 【例14】(24-25七年级上 陕西西安 期中)《算法统宗》中有这样一个问题:隔墙听得客分银,不知人数不知银,七两分之多四两,九两分之少半斤,问:人、银各几何?题目大意:几个人分银子,若每人分7两,则剩余4两;若每人分9两,则差8两,问有多少个人?多少两银子? 1.(24-25七年级上 四川广元 期中)在中国数学名著《九章算术》中,有这样一个问题:“今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十.问家数、牛价各几何?”大意是:几家人凑钱合伙买牛,如果每7家共出190钱,那么还缺少330钱;如果每9家共出270钱,又多了30钱.问共有多少户人家,每头牛的价钱是多少钱?设共有x户人家,则可列方程为( ) A. B. C. D. 2.(2025 湖北恩施 模拟预测)我国古代问题:“以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳五折测之,绳少一尺,问绳长井深各几何?”其题意是:用绳子测量水井深度,如果将绳子折成三等份,那么每等份绳长比水井深度多四尺;如果将绳子折成五等份,那么每等份绳长比水井深度少一尺,问水井和绳子长度各是多少?答:绳子的长度是 尺,水井的深度是 尺. 3.(24-25七年级上 江苏南京 假期作业)《算法统宗》中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,其中有一首“以碗知僧”,大意是:山上有一古寺叫都来寺,在这座寺庙里,3个和尚合吃一碗饭,4个和尚合分一碗汤,一共用了364只碗.请问都来寺里有多少个和尚.利用方程知识可以解决这个有趣的问题,我们试一下吧! 以碗知僧 魏巍古寺在山中,不知寺内几多僧,三百六十四只碗,恰合用尽不差争, 三人共食一碗饭,四人共尝一碗羹,请问先生能算者,都来寺内几多僧. -摘自(明)程大位著《算法统宗》 4.(24-25七年级上 浙江金华 期中)相传有神龟出于洛水,其背上有此图案(图1),史称“洛书”,图2是洛书的数字表示.这也就是术数中常说的“九宫格”,就是将已知的9个数填入的方格中,使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等,图3,图4的幻方均满足此规律. (1)请填出图3幻方空格中的数. (2)求图4幻方中的值. 【拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用】 1.(24-25七年级上 黑龙江哈尔滨 期中)如图,分别为数轴上的两点,点对应的数为,点对应的数为. (1)在数轴上与点距离个单位的位置所表示的数是 ; (2)现有一只电子蚂蚁从点出发,以单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发,以单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇,请求出点对应的数是多少? (3)若当电子蚂蚁从点出发时,以单位/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发,以单位/秒的速度也向右运动,求出当两只电子蚂蚁相距个单位时,电子蚂蚁位置对应的数是多少? 2.(25-26七年级上 河南平顶山 阶段练习)阅读下面材料: 在数轴上5与所对的两点之间的距离:; 在数轴上与3所对的两点之间的距离:; 在数轴上与所对的两点之间的距离:. 在数轴上点、分别表示数、,则、两点之间的距离. 回答下列问题: (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_,数轴上表示和的两点之间的距离是_,数轴上表示1和的两点之间的距离是_;数轴上表示和的两点之间的距离是_. (2)当_时,和的两点之间的距离是5. (3).时,_ 3.(25-26七年级上 山东济南 期中)我们知道:如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、,C为线段的中点,则点C在数轴上对应的数x可以表示为,已知M、N两个点对应的数分别为和2. (1)如图1,两个点同时出发沿着数轴运动,点M向左运动,点N向右运动,M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度,若t秒后它们之间的距离为15个单位长度,求t的值; (2)如图2,两个点出发沿着数轴运动,点M比点N晚出发1秒,点M向右运动,点N向左运动,M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度,求点N出发几秒后“”为的中点; (3)如图3,三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4,M、N两个点同时出发沿着数轴运动,点M向左运动,点N向右运动,速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度.当M到达点P时返回,N到达点Q时返回,直到M、N相遇时停止运动,且 M返回时速度变为每秒2个单位长度,N返回时速度变为每秒1个单位长度.在M、N出发的同时,动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动,到H点时停止运动,求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中,M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t(写出计算过程). 【拓展训练二 一元一次方程实际综合应用】 1.(24-25七年级上 山东德州 阶段练习)(1)如图,是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图,由6个颜色不同的正方形组成,设中间最小的一个正方形边长为1,求这个长方形色块图的面积? (2)某工厂在此图案的基础上,加工制作出地毯,并按成本价提高40%后标价,又以八折出售可获得利润60元. ①求该商品的成本价为多少元? ②若按七五折(即75%)出售则可获得利润多少元? 2.(25-26七年级上 江苏南京 期中)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息: 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价:元/吨 单价:元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (说明:①每户的污水量等于该户自来水用量;②水费自来水费用污水处理费.) 已知小李家7月用水16吨,交水费元,8月份用水25吨,交水费元. (1)求,的值; (2)如果小李家9月份上交水费元,则小李家这个月用水多少吨? 3.(2025 江苏宿迁 模拟预测)在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下,人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商,他们之间的对话如下: 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少? 我有三种型号的安全头盔,批发价分别是型元个;型元个;型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案: ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个,共需多少钱? (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个,请你研究一下该商店的进货方案有哪几种? 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1.(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)如图所示,将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案,其中第①个图案用了6个“”,第②个图案用了11个“”,第③个图案用了16个“”,第④个图案用了21个“”,…,按此规律排列下去,则第几个图案用的“”个数是51个? 2.(24-25七年级上 江苏南京 阶段练习)小明将连续的偶数,排成如图所示的形式,并用一个十字形框架框住其中的五个数,请你仔细观察十字形框架中的数字的规律,并回答下列问题: (1)图中十字形框架里的五个数之和是_; (2)设中间的数为,用含的代数式表示十字形框中的五个数的和; (3)若将十字形框上下左右移动,可框住另外的五个数,这五个数的和能等于2024吗?若能,写出这五个数;若不能,请说明理由. 3.(24-25七年级上 河南郑州 期中)【问题提出】小颖思考:数轴是“数形结合”的工具之一,它揭示了数与点之间的内在联系.那么点与点之间的关系,能否借助数轴来研究呢?在研究行程问题时,常将行驶的汽车抽象成点,能否借助数轴来解决行程问题呢?以下是他的研究片段: 【特例观察】已知:数轴上有三个点,其中点是线段中点. (1)如图1,点和点表示的数分别是和4,则线段的中点表示的数为_; 如图2,点和点表示的数分别是0和7,则线段的中点表示的数为_; 【规律归纳】点为线段的中点 点表示的数 ... 0 1 2 .... 点表示的数 .... 3 4 8 ... 点表示的数 ... 1 2 5 .... (2)猜想:经过大量的观察,小颖发现:若点表示的数是,点表示的数是,则线段的中点表示的数即为_(用含,的代数式表示); 经验证可得,猜想是合理的. 【迁移应用】(3)已知、两地相距,甲、乙、丙车分别从、两地同时沿同一路线朝同一方向驶往地,甲车从地出发速度是,乙车从地出发速度是,丙车从地出发速度是.以地为原点、以自向的方向为正方向,小颖建立了数轴如图3所示,请解决下列问题: ①小时后,甲车到达的位置用数轴上的数表示为_,乙车到达的位置用数轴上的数表示为_,丙车到达的位置用数轴上的数表示为_; ②问:当为何值时其中一车正好到另外两辆车的距离相等? 1.(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个,则黑色琴键的个数为( ) A.52 B.48 C.42 D.36 2.(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)如图所示的是某月的月历,任意选取“H”形框中的7个数(如阴影部分所示).请你运用所学的数学知识来研究,当这7个数的和是105时,“H”形框中的正中间的数是( ) A.13 B.14 C.15 D.16 3.(25-26七年级上 河南 阶段练习)商家获得的利润按照如下公式计算:利润售价进价售价税率,若税率由调整为,且商品的进价和利润都未改变,则商品的售价是原来的( ) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 4.(25-26七年级上 江苏无锡 阶段练习)“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一,对于其来源于何处,如今有各种传说.图1即“洛书”,数出图1中各处的圆圈和圆点个数,用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字表示,分别填入图2中正方形对应方格内,得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方,则的值是( ) A. B. C.1 D. 5.(24-25七年级上 江苏宿迁 期中)在数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,且a,b满足.点O是数轴原点.如图,将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上,木棒的右端与数轴上的B点重合,以每秒2个单位长度的速度向点A移动,木棒出发6秒后,动点P从B点出发,以每秒3个单位长度的速度向点A移动,且当点P到达A点时,木棒与点P同时停止移动,设点P移动的时间为t秒,当t为( )时,P点恰好距离木棒2个单位长度. A.3秒 B.4秒 C.14秒 D.4秒或14秒 6.(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)某人在银行存有一笔钱,已知年利率为,一年到期后所得利息为元,则一年前他在银行存了 元. 7.(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)甲、乙、丙三人同做某种零件,已知在相同的时间内,甲、乙、丙三人做的零件个数比为.现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件,则丙做了 个零件. 8.(25-26七年级上 江苏南京 课后作业)在去年的“双十一”活动中,中百超市对某种商品作调价,按原售价的八折出售,此时该商品的利润率是12%.若该商品的进价是每件1200元,则该商品的原售价是每件 元. 9.(2025 江苏苏州 模拟预测)如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案,依此规律继续摆下去,若第n个图案中白色纸片的个数是2023,则n的值为 . 10.(2025七年级上 浙江宁波 模拟预测)如图所示,已知长方形的长,内有边长相等的小正方形和小正方形,其重叠部分为长方形,设小正方形边长为a,则的长为 (用a的代数式表示),若长方形的宽,长方形的周长为8,则图中阴影部分周长和为 . 11.(25-26七年级上 江苏宿迁 阶段练习)熊妈妈买回一篮桃子,灵灵和花花按计划吃,如果它俩每天吃4个,则多出26个;如果它俩每天吃6个,则少8个,请你算算熊妈妈一共买回了多少个桃子?计划吃几天? 12.(2025七年级上 四川成都 模拟预测)一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动.图①是一个正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,长比高多,则这个正方形纸板的边长为为多少? 13.(24-25七年级上 辽宁大连 期中)我们知道,,反过来,,那么是否也能写成分数的形式呢?小明的解答如下: 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得,即 解这个方程,得 所以. (1)在以上解答过程中,由①得到②,根据的理由是:_; (2)类比小明的解答方法,将无限循环小数写成分数的形式. 14.(25-26七年级上 江苏镇江 阶段练习)某商场经销甲、乙两种商品,甲种商品每件售价60元,利润率为;乙种商品每件进价50元,售价80元. (1)甲种商品每件进价为_元,乙种商品的利润率为_. (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件,恰好总进价为2100元,则分别购进甲、乙两种商品多少件? (3)在“元旦”期间,该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动: 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元,但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠,超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件,若小华一次性购买乙种商品实际付款504元,则小华在该商场购买乙种商品多少件? 15.(25-26七年级上 江苏无锡 阶段练习)“幸福是奋斗出来的”,在数轴上,若C到A的距离刚好是3,则C点叫做A的“幸福点”,若C到A、B的距离之和为6,则C叫做A、B的“幸福中心” (1)如图1,点A表示的数为,则A的幸福点C所表示的数应该是 ; (2)如图2,点M表示的数是,点N表示的数为4,点C就是M、N的幸福中心,则C所表示的数可以是 (填一个即可); (3)如图3,点A所表示的数为,点B所表示的数为4,点P所表示的数为8,点Q从点P出发,以2个单位/s的速度向左运动,当经过多少时间点Q是点A和B的“幸福中心”? 学科网(北京)股份有限公司 $ 专题03 用一元一次方程解决问题重难点题型专训 （1个知识点+14大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 动点问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 电费和水费问题 题型十二 比例分配问题 题型十三 日历问题 题型十四 古代问题 拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用 拓展训练二 一元一次方程实际综合应用 拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题 知识点一：用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某运输队运煤，第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨，设一共运煤吨，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题干信息找出等量关系并据此列式是解题的关键． 根据“第一天运了总量的，第二天运煤恰好是第一天的，还剩下吨”可得出相应的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 2．（2025七年级上·江苏苏州·模拟预测）若一个角的补角比这个角大，则这个角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（几何问题），读懂题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 设这个角为，则它的补角为，依据题意可得，解方程即可求出这个角的度数． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为， 依据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【经典例题一 行程问题】 【例1】（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）甲、乙两站相距375千米，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行25千米，慢车行了2小时后，一列快车从乙站开往甲站，每小时行40千米，快车行了几小时后与慢车相遇？ 【答案】快车行了5小时后与慢车相遇 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设快车行了x小时后与慢车相遇，根据相遇时两者路程和等于总路程375千米列方程解决即可． 【详解】解：设快车行了x小时后与慢车相遇，由题意得： ， 解得：， 答：快车行了5小时后与慢车相遇． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）我国古代名著《九章算术》中有一问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思为：有只野鸭从南海起飞历经7天到达北海，有只大雁从北海起飞历经9天到达南海，如果野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能相遇?假设经过天相遇，则可列一元一次方程为 ． 【答案】 【分析】题主要考查了一元一次方程的实际应用（相遇问题），读懂题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 把总路程看作单位“1”，从而可得野鸭与大雁每天的速度，即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇，则可列一元一次方程为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）一天，某客运公司的甲、乙两辆客车分别从相距380千米的A、B两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车行驶2小时时甲车先到达服务区C地，此时两车相距20千米，甲车在服务区C地休息了20分钟，然后按原速度开往B地；乙车行驶2小时10分钟时也经过C地，未停留继续开往A地． (1)乙车的速度是______千米/小时，B、C两地的距离是______千米；A、C两地的距离是______千米 (2)求甲车的速度； (3)这一天，乙车出发多长时间，两车相距200千米？ 【答案】(1)120，260，120 (2)甲车的速度是 (3)乙车出发1小时或小时，两车相距200千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，即行程问题． （1）用乙的路程除以乙的时间，即为乙的速度；算出B、C两地的距离，然后再算出A、C两地的距离； （2）用甲的路程除以甲的时间，即为甲的速度； （3）根据题意，要进行分类讨论，未相遇和相遇以后相距200千米，分别进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，乙车用了10分钟行驶了20千米， 故乙车的速度为：， B、C两地的距离是， A、C两地的距离是， 故答案为：120，260，120； （2）由（1）可知，A、C两地的距离是， 甲车的速度是； （3）设乙车出发x小时，两车相距200千米，根据题意得 ，或， 解得，或， 乙车到达A地用的时间为：， ， 乙车行驶小时，早已到达A地， 此时当甲车距离A地200千米时，两车正好相距200千米， ， 乙出发小时，两车相距200千米， 答：乙车出发1小时或小时，两车相距200千米． 4．（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】(1)经过4min摩托车追上自行车． (2)两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【分析】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 【详解】（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用（行程问题），解题关键是根据路程关系建立方程，注意相距问题要分情况讨论． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母22个或螺栓16个．为使每天生产的螺栓和螺母恰好配套．应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【答案】应安排生产螺栓和螺母的工人分别为11名和16名 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设安排人生产螺栓，根据螺母的数量是螺栓的数量的2倍，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设安排人生产螺栓，则安排人生产螺母，由题意，得： ， 解得：， ∴， 答：应安排生产螺栓和螺母的工人分别为11名和16名． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿．现有12立方米的木材，则下列方案能制作尽可能多的桌子的是（    ） A．2立方米木材制作桌腿，10立方米制作桌面 B．3立方米木材制作桌腿，9立方米制作桌面 C．4立方米木材制作桌腿，8立方米制作桌面 D．5立方米木材制作桌腿，7立方米制作桌面 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程应用，设x立方米木材制作桌面，立方米木材制作桌腿，则制作桌面数量为个，制作桌腿数量为条，再根据制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿列出方程求解即可． 【详解】解：设x立方米木材制作桌面，立方米木材制作桌腿，则制作桌面数量为个，制作桌腿数量为条， 由题意得，， 解得， ∴， ∴2立方米木材制作桌腿，10立方米制作桌面能制作尽可能多的桌子， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）现有工人34人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10个，又知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，要使每天生产的大小齿轮刚好配套，怎么分配工人．设安排x人生产了大齿轮，由题意可设方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．设安排x人生产了大齿轮，则的人生产小齿轮，进而得到每天加工的大齿轮的数量为，小齿轮的数量为，根据2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，得到大齿轮数量的3倍和小齿轮数量的2倍相等，列出方程即可．读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． 【详解】解：设安排x人生产了大齿轮，则的人生产小齿轮，由题意，得： ，即：； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏·期中）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由1个支架和2套脚踏板组装而成．工厂现共有33名工人，每人每天平均生产60个支架或100套脚踏板，为使每天生产的支架和脚踏板恰好配套，应安排生产支架和脚踏板的工人各多少名？ 【答案】15人生产支架，18人生产脚踏板正好配套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系，设人生产支架，则人生产脚踏板，根据支架总数的2倍等于脚踏板总数，列方程即可求解． 【详解】解：设人生产支架，则人生产脚踏板， 由题意得：， 解方程得， （人）， 答：15人生产支架，18人生产脚踏板正好配套． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品．苏州（姑苏）是中国眼镜的发源地，明代崇祯初年（），苏州眼镜技师孙云球将制造眼镜技术进一步发扬光大． 索材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率（利润率利润成本），则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】任务一：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好配套；任务二：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． （1）设名工人生产镜框，则名工人生产镜腿．根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据定价=成本利润率即可求解． 【详解】解：（1）设名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． 由题意，得， 解方程，得． ． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好配套． （2）（元）． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 【经典例题三 工程问题】 【例3】（2025·江苏·模拟预测）某校图书馆组织学生将图书进行重新分类整理，若安排一个学生整理需要小时，学校安排部分学生先整理了小时，为了加快进度，又增加了名学生一起整理小时后完成，假设每个学生的效率相同，则第一批安排了多少名学生整理？ 【答案】第一批安排的学生有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一批安排的学生有人，根据工作效率工作时间工作人数工作总量结合题意，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设第一批安排的学生有人， 根据题意得： 解得， 答：第一批安排的学生有人． 1．（24-25七年级上·江苏南京·假期作业）制作一副广告牌，徒弟单独做需20天完成，师傅单独做需12天完成，现由徒弟单独做4天后，师徒二人一起完成余下的任务，则师傅做了（    ） A．4天 B．5天 C．6天 D．7天 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设师傅做了天，工作总量为单位1，根据“师徒二人一起完成的工作量徒弟单独做4天的工作量工作总量”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设师傅做了天，工作总量为单位1， 根据题意，得， 解得， 答：师傅做了天． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一项工作，甲独做需天，乙独做需天，如果两人合做天后，余下的工作再由甲独做 天完成． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题目中的相等关系．设余下的工作再由甲独做天完成，把这项工作看作“”，则甲的效率为，乙的效率为，最后根据甲乙合作的量余下的量工作总量，列方程即可求解． 【详解】解：设余下的工作再由甲独做天完成，则甲的效率为，乙的效率为， 根据题意得：， 解得：， 即余下的工作再由甲独做天完成， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）某服装公司由甲、乙两个小组共同完成一批羽绒服定单，甲组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍多件，乙组的名工人月份完成的总工作量比此月人均定额的倍少件． (1)如果两个小组此月一共实际完成了件，那么此月人均定额是多少件？ (2)如果两组工人此月人均实际完成的工作量相等，那么此月人均定额是多少件？ 【答案】(1)此月人均定额是件； (2)此月人均定额是件． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决实际问题的关键是找相等关系． 设此月人均定额是件，则甲组完成的工作量是件，乙组完成的工作量是件，根据两个小组此月一共实际完成了件，列方程求解即可； 设此月人均定额是件，则甲组人均实际完成的工作量是，乙组人均实际完成的工作量是，根据两组工人此月人均实际完成的工作量相等，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设此月人均定额是件， 根据题意可得：， 解得： 答：此月人均定额是件； （2）解：设此月人均定额是件， 根据题意可得：， 解得：， 答：此月人均定额是件． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应任务． 数学课堂上，李老师出示了如下信息： 信息一：某服装厂计划用布料加工成学生校服，已知每布料可以加工2件上衣或3条裤子，2件上衣需要配1条裤子． 信息二：一人整理这批校服需要完成，现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作（假设这些人的工作效率相同）． 任务一：根据信息一李老师提出问题：应如何安排布料加工上衣和裤子才能刚好配套？能加工成多少套校服？ 小颖和小彬分别列出了尚不完整的方程如下： 小颖列的方程是“” 小彬列的方程是“” ①小颖同学所列方程中的x表示________，方程中？处应填________； ②小彬同学所列方程中的x表示________，方程中的表示________． 任务二：小亮根据信息二提出了问题：应安排多少人先整理？请你解决这个问题，并写出解答过程． 【答案】任务一：①校服的套数，；②加工上衣的布料长度，加工的裤子的数量的2倍；任务二：2人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 任务一：①表示加工一件上衣所需的布料，表示套校服中上衣的总数，则表示校服的套数，据此可得？处应填加工套校服中的裤子所需的布料； ②表示加工上衣的布料长度，方程中的表示加工的裤子的数量的2倍； 任务二：设应安排人先整理，将整理这批校服的工作总量看作为“1”，则每个人的工作效率为，根据一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作建立方程，解方程即可得． 【详解】解：任务一：①小颖同学所列方程中的表示校服的套数，方程中？处应填， 故答案为：校服的套数，． ②小彬同学所列方程中的表示加工上衣的布料长度，方程中的表示加工的裤子的数量的2倍， 故答案为：加工上衣的布料长度，加工的裤子的数量的2倍． 任务二：设应安排人先整理， 将整理这批校服的工作总量看作为“1”，则每个人的工作效率为， 由题意得：， 解得， 答：应安排2人先整理． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）某个体服装商清仓甩卖，将一件衣服的原标价连续两次降，这时的标价为289元，已知这件衣服进价是原标价的，这件衣服进价多少元？ 【答案】280元 【分析】本题主要考查了百分数的应用．设这件衣服原标价为x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这件衣服原标价为x元，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：这件衣服进价为280元． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）受季节影响，某商品每件售价按原价降低再降价6元后的售价是100元，那么该商品每件原售价可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设商品的原价为x元，根据题意列出方程，解关于x的方程即可求解． 【详解】解：设商品的原价为x元． 由题意得， 解得． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏·单元测试）某商场按标价销售某品牌电器一件可获利1250元，利润率为．为了让利顾客，提高销量，今年五一期间，该商场按同一标价打九折销售该品牌电器．那么五一期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为 【答案】875元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．设某品牌电器的进价为元，则标价为元，根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设某品牌电器的进价为元，则标价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 五一期间销售一件该品牌电器可获得的纯利润为875元． 故答案为：875元． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）“元旦”期间，某文具店购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价如下表： 型号 进价（元只） 售价（元只） A型 10 12 B型 15 23 若该店购进这100只文具共花费1300元，则A，B两种型号的文具各有多少只？若全部售出，总利润是多少？ 【答案】该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只，总利润为元 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列出方程求解是关键． 根据题意，设该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只，由此列方程求解即可． 【详解】解：设该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只， 依题意得， 解得， ∴ ， 利润为： （元）， 答：该店购进种型号的文具只，则购进种型号的文具只，总利润为元． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期中）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在“五一”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表优惠促销活动：按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款245元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品的售价为元 (2)若全部卖出，该商场的利润是元 (3)这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15或16件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：每件甲种商品的进价为（元）， 每件乙种商品的售价为（元）， 故每件甲种商品的进价为元，每件乙种商品的售价为元； （2）解：设该商场购进件甲种商品，则购进件乙种商品， 由题意可得：， 解得：， （元）， 故若全部卖出，该商场的利润是元； （3）解：（元），（元），（元）， ，， 故小王第一天只购买甲种商品时没有优惠，购进数量为（件）， 设小王第二天购买件乙种商品， 由题意可得：或， 解得或， ∴（件）或（件）， 故这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15或16件． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（24-25七年级上·新疆吐鲁番·期中）一张试卷有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分，某同学做完了25道题，共得了70分，那么他做对的题数是多少？ 【答案】他做对的题数是19道 【分析】本题考查解一元一次方程．设他做对的题数是道，根据某同学做完了25道题，共得了70分，列出方程进行求解即可．正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设他做对的题数是道，则做错道，由题意，得：， 解得：； 答：他做对的题数是19道． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）足球比赛记分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，某队进行了14场比赛，其中负5场，共得分19分，若设胜场次数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一方程的实际应用，设该队胜了x场，根据题中的等量关系：平场得分胜场得分分，列出方程，即可解题 【详解】解：设该队胜了x场，则该队平了场， 胜场得分是分，平场得分是分． 根据等量关系列方程得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）12月4日为江苏南京法制宣传日，某校组织全体学生参加法制知识模拟预测，共设20道选择题（各题分值相同），每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者得76分，则他答对了 题． 参赛者 答对题目 答错题目 得分 18 2 88 20 0 100 12 8 52 【答案】16 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，列出一元一次方程是解题的关键．设答对一题得分，答错一题扣分，参赛者答对了题，根据题意列出方程即可得到答案． 【详解】解：设答对一题得分，答错一题扣分，参赛者答对了题， 由题意得， 解得， ， 解得， ， 解得． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识模拟预测活动．知识模拟预测为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【答案】参赛者C答对的题数为13 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先根据题意求出答对一道题得5分，错一道扣1分，再设参赛者C答对的题数为x，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由参赛者A可得，答对一题得（分）， 结合参赛者B可得，答错一题扣（分）. 设参赛者C答对的题数为x， 根据题意，得， 解得：． 答：参赛者C答对的题数为13． 4．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）以下是2022年世界杯女篮比赛决赛中三个国家的积分榜： 国家 比赛场次 胜场 负场 积分 波多黎各 5 2 3 7 韩国 5 1 4 6 波黑 5 0 5 5 已知每个国家总比赛场次为5场．请仔细观察表中数据，完成以下问题： (1)由表可得负一场积___________分，所有参赛国家最高可能积___________分． (2)若一个国家负场（，且为整数），用含的式子表示该国家的总积分为___________； (3)某国家的胜场总积分能否等于它的负场总积分的2倍？请通过列方程计算说明； (4)已知中国队时隔28年追平历史最好成绩，夺得世界杯亚军，若中国队胜场总积分是负场总积分的8倍，则中国队的总积分为___________分． 【答案】(1)1；10 (2)分 (3)不能，理由见解析 (4)9 【分析】（1）根据波黑负的场次和得分可求出负1场得分，根据韩国得分可求出胜1场的分数，即可得出最高得分； （2）根据“胜场分数+负场分数=总积分”可得结果； （3）根据总积分的关系得出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可． （4）解题方法同（3） 【详解】（1）波黑胜场为0，负场为5，积分为5， 所以，负1场得分为（分） 韩国胜1场负4场，积分为6分， 所以，胜1场的得分为：（分）， 因为共5场，最多5场全胜， 所以，最高得分为：（分） 故答案为：1；10； （2）由（1）知，胜1场得2分，抽1场得1分，总场数为5场， 又，负m场，胜场， 所以，总积分为：分 故答案为：分 （3）不能， 设胜场为x场，则负场为场，根据题意得， 解得， 因为比赛场次不能为分数， 所以，胜场总积分不能等于它的负场总积分的2倍 （4）设中国队胜场为n场，则负场为场，根据题意得， 解得， 所以，负场为：场 则中国队的总积分为：（分） 故答案为：9 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分，另外第三问的解答要注意结合实际进行判断． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（24-25七年级上·江苏·阶段练习）初三年级准备观看话剧《老舍五则》，票价每张50元，一班班主任问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说：30人以上的团体票有两种优惠方案可选择：方案一：全体人员可打8折；方案二：若打9折，有4人可以免票．一班班主任思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，求一班学生的人数． 【答案】一班有36名学生 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意，设有名学生，打8折的钱数打9折的钱数，列方程即可． 【详解】解：设一班有名学生， 由题意可知：， 解得：， 答：一班有36名学生． 1．（24-25七年级上·山西朔州·期中）某超市推出如下优惠方案： （1）一次性购物不超过100元不享受优惠； （2）一次性购物超过100元，但不超过300元一律九折； （3）一次性购物超过300元一律八折； 兰兰两次购物分别付款80元，252元．如果兰兰一次性购买和上两次相同的物品应付款（    ） A．288元 B．288元或332元 C．332元 D．288元或316元 【答案】D 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第一次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元． （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315． 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此均可以按照8折付款： 360×0.8=288元 395×0.8=316元 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4a＋1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时间为（2b＋3）小时．该企业计划将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工．若分配到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨，两条生产线同时开工，则该企业的加工时间为 小时；若要使该企业加工这5吨原材料的时间最短，则分配到A生产线 吨．说明：该企业的加工时间为从由生产线开始加工到两条生产线都停止加工的时间． 【答案】 9.4 2 【分析】（1）把a=1.8，b=3.2分别代入4a＋1和2b＋3，比较即可得答案； （2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线（5-x）吨，要使加工这5吨原材料的时间最短，则两个生产线要同时停止加工，据此列方程求出x的值即可得答案． 【详解】（1）∵分配到A生产线1.8吨，分配到B生产线3.2吨， ∴A生产线加工时间为4×1.8+1=8.2（小时），B生产线加工时间为2×3.2+3=9.4（小时）， ∵8.2<9.4， ∴该企业的加工时间为9.4小时， 故答案为：9.4 （2）设分配到A生产线x吨，则分配到B生产线（5-x）吨， ∵加工这5吨原材料的时间最短， ∴两个生产线要同时停止加工， ∴4x+1=2(5-x)+3， 去括号得：4x+1=10-2x+3， 移项、合并得：6x=12， 解得：x=2， ∴分配到A生产线2吨， 故答案为：2 【点睛】本题考查代数式求值及一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列方程是解题关键． 3．（24-25七年级上·天津静海·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过元，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物超过元，超出元的部分按收费．已知小红在同一商场累计购物元，其中． (1)当时，小红在甲商场需花费______元，在乙商场需花费______元． (2)分别用含的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费． (3)小红累计购物多少元时，在甲乙两商场实际花费相同？ 【答案】(1)， (2)甲商场所花费用为元；在乙商场所花费用为元 (3)500元 【分析】在甲商场累计购物超过元，超出元的部分按收费，则多出的元按收费，于是得到小红在甲商场所花费用为；在乙商场累计购物超过元，超出元的部分按收费，则多出的元按收费，于是得到小红在乙商场所花费用为； 与的思路一样，用代替即可； 当时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样 本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，小红在甲商场所花费用为元；在乙商场所花费用为元； 故答案为，． （2）解：， 小红在甲商场所花费用为元； 在乙商场所花费用为元． （3）解：当时，解得， 所以当时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样． 4．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）当地时间10月30日，国家地区奥委会协会（间称“国际奥协”第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当次的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家体育用品商店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店乒乓球拍标价均为每副80元，乒乓球的标价均为每盒20元，甲商店每卖一副球拍免费赠送一盒乒乓球，乙商店全部按标价打9折出售，现该班需购买球拍5副，乒乓球盒（不少于5盒）． (1)去甲商店购买总费用为 元；去乙商店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示） (2)当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样？ (3)当购买40盒乒乓球时，怎样购买最划算？ 【答案】(1)， (2)当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样 (3)在甲店购买5副球拍，乙店购买35盒乒乓球，最划算，所需费用为1030元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值． （1）利用总价单价数量，结合甲、乙两家店给出的优惠方案，即可用含x的代数式表示出去甲、乙两家店购买所需总费用； （2）根据甲、乙两家店所需费用一样，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）结合两店给出的优惠方案，找出更省钱的方案，再求出该方案所需总费用即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 去甲店购买总费用为元； 去乙店购买总费用为元． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 解得， 答：当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样； （3）解：当时， 方案1：去甲商店购买，需要元钱； 方案2：去乙商店购买，需要元钱； 方案3：在甲商店购买5副球拍，在乙商店购买35盒乒乓球，需要元钱； ∵， ∴方案3最划算． 答：在甲店购买5副球拍，乙店购买35盒乒乓球，最划算，所需费用为1030元． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）个连续奇数的和是，其中最大的一个数是多少？ 【答案】最大的一个数是 【分析】设中间的一个奇数为，根据题意列出方程，解出即可．此题主要考查了一元一次方程解应用题，掌握列方程的关键语句是解题关键． 【详解】解：设中间的一个奇数为， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：最大的一个数是． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）幻方是一种中国传统的数字游戏，游戏规则如下：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等，如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，其中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，先假设未知数，再根据题意列出方程，解之即可，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵每行、每列和每条对角线上的数字和都相等， ∴，，，， ∴，，，，， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2025·河北沧州·模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”． 如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397． 如图2，用“格子乘法”表示两个两位数相乘，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题一元一次方程得应用，能够理解新定义列出方程是解题关键． 根据“格子乘法”可得，解方程即可可得． 【详解】解：根据题意可得，如图 解得， 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）数学综合与实践课上，王老师和同学们一起利用循环小数的循环规律，根据设计了“”的图案（教材第70页）．我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数，一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．我们以无限循环小数为例进行探究：设…，两边同乘以10得：，即，解得， ∴．请仿照这一方法解决以下问题： (1)无限循环小数写成分数为 ． (2)大小比较： 　　1．（选填“＞”“＝”或“＜”） (3)请把无限循环小数写成分数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题干转化思想是解题关键． （1）设，两边同乘以10，得到，求出的值； （2）设，两边同乘以10，得到，求出，即可得到答案； （3）设，两边同乘以100得到，解得：，再根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 故答案为； （2）解：设， 两边同乘以10得：，即， 解得：，即无限循环小数写成， 即， 故答案为：； （3）解：设， 两边同乘以100得，，即， 解得：，即无限循环小数写成分数为， 则． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）探究与发现 某学校七年级数学学习小组同学，通过自主学习课本知道了：一般地，任何一个无限纯循环小数都可以写成分数（，是整数，）的形式，如以无限循环小数，，为例： 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 设，由……可知，……，所以．解方程，得．于是，． 学习小组的同学们进一步思考讨论并提出了以下问题： 课本上这种将一个无限纯循环小数写成分数的化归方式属于什么思想的运用呢？无限混循环小数可以化成分数吗？如，，，，分别可以化成什么分数呢？请你参与该学校学习小组同学们的思考，试着解决以上问题． 【答案】课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． ；；；；． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，仿照题干中的方法，通过方程形式，即可把无限小数化成整数形式． 【详解】解：课本上这种化归方式属于方程（巧妙设元）思想的运用；无限混循环小数可以化成分数． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 设， 由……可知，……， 所以． 解方程，得． 于是，． 方法2：，则． 设，由……可知，……， 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 设，由……可知，…… 所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以，． 于是，． ，则， 由上面解答知． 所以． 于是，． ，则， 设，由……，所以． 解方程，得，即． 可知，． 于是． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图，现有竹篱笆120米，靠墙围成一个长方形菜地（墙可作菜地的一个长边，其他三面用竹篱笆围成），要使菜地的长是宽的2倍，则菜地的长和宽各是多少米？ 【答案】菜地的长为60米，宽为30米 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，根据题意找等量关系是解题的关键． 设菜地的宽为米，则长为米，根据题意可得等量关系：菜地的长边菜地的宽米，列方程求解即可． 【详解】解：设菜地的宽为米，则长为米， 由题意，可得， 解得：， ∴， 答：即菜地的长为60米，宽为30米． 1．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面积为的正方形盒内，它们之间互相叠合，如下图所示，已知露在外的部分中，红色，黄色和绿色三块面积之比为．记没被盖住的两部分的面积分别为和，则的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确平移图形，明确平移后黄色部分与绿色部分面积相等是解题的关键．先将黄色部分向左平移，黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积，即可得出平移后黄色部分与绿色部分面积相等，设露在外的部分中，红色，黄色和绿色三块面积分别为，根据平移后黄色部分面积：红色部分面积=空白部分面积：绿色部分面积列方程求出x，进而求出结论． 【详解】解：已知露在外的部分中，红色，黄色和绿色三块面积之比为， 设露在外的部分中，红色，黄色和绿色三块面积分别为， 如图，将黄色部分向左平移， ∴黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积， ∵红黄绿三块一样大的正方形，整个盒子为正方形， ∴平移后，黄色部分与绿色部分面积相等， ∴平移前，黄色的面积是，绿色的面积是， ∴平移后黄色部分与绿色部分面积为：，右上角空白部分面积为：， 平移后黄色部分面积：红色部分面积=空白部分面积：绿色部分面积， ， ， ， 解得：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开．剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；剪15刀，绳子变为 段．若绳子剪开后，正好剪得103段，则剪了 刀． 【答案】 46 34 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，根据剪法，可得出剪n（n为正整数）刀时，绳子变成段，代入，可求出剪15刀时绳子的段数，由剪得103段，可列出关于n的一元一次方程，解之可得出n的值． 【详解】解：观察图形，可得出：每剪1刀，绳子的段数增加3段， ∴剪n（n为正整数）刀时，绳子变成段． 当时，（段）； 当剪得103段时，， 解得：． ∴剪15刀，绳子变为46段；若绳子剪开后，正好剪得103段，则剪了34刀． 故答案为：46，34． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【答案】192 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解最小的正方形边长为2，依次表示，，，可得，，再利用长方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由中间最小的正方形面积为4，得最小的正方形边长为2， 如图其他正方形的边长分别为a，b，c，d， 由图知，，， ，， ∵为长方形， ∴， ∴， 解得， 则，最大的正方形面积为，， 故最大正方形的面积与最小正方形的面积之差为192． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在长方形中，，，，点在边上，且，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿路径运动，当其中一点停止时，另一个点也随之停止，设点、运动的时间为秒． (1)当秒时，线段______； (2)当点在边上运动时，若，求的值； (3)在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形的面积为15？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】本题考查了长方形内的动点问题，涉及到的知识点包括路程、速度与时间的关系，以及三角形和四边形的面积计算．解题的关键在于能够准确地根据题目条件建立数学模型，特别是正确地表示出动点P和Q的位置随时间变化的关系，并能够分情况讨论点Q在不同位置时四边形面积的计算方法．通过设立方程或不等式解决问题，体现了方程思想和分类讨论的思想方法． （1）根据点Q的运动速度和路径，先求出，再用得到； （2）根据点Q在上时的运动情况表示出，点P在上时表示出，再根据列方程求解； （3）分点Q在上和点Q在上两种情况，分别根据四边形面积公式列方程求解． 【详解】解：（1）当秒，， ， ，即． 故答案为：2．　　 （2）点Q在边上运动， ，则； 点P在边上运动，，， ， ， ， 解得， （3）存在，理由如下： 当点Q在上（） ，，， ， 令，解得，，符合题意； 当点Q在上（）， ，，，，，，， ， 令，解得，，不合题意，舍去； 当点Q在上（） ，，，， , ， 令， 解得，，符合题意． 综上，存在某一时刻，使得四边形的面积是15，此时或． 【经典例题九 动点问题】 【例9】（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）数轴上A、B两点对应数为， 4．点P从向右2单位/秒移动，点Q从4向左1单位/秒移动，经过几秒两点相遇？ 【答案】2秒 【分析】本题考查了数轴上的动点，有理数的加法，一元一次方程的应用，用代数式表示数轴上的点是解题的关键．先用代数式表示点运动后的点的位置，再根据两点相遇列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒． P点从出发向右运动，t秒后其位置为：， Q点从4出发向左运动，t秒后其位置为： ∴ 解得， ∴经过2秒后，点P与点Q相遇． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动．设运动时间为秒，当点到、两点距离之和为40时，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，设点P表示的数为n，可得，再解方程并进一步解答即可. 【详解】解：设点P表示的数为n， ∴，， ∵点到、两点距离之和为40，即， 当时，， 当时， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故选：B 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知滑块沿滑槽从点向点运动，到达点会有一个短暂停留，然后滑块又从点运动到点．已知滑块长度为，某次滑块在滑槽内以的速度由点向点运动；当滑块右端点到达点时停顿，然后再以小于的速度匀速返回．设时间为时，．由点向点运动过程中，当和时，与之对应的的两个值互为相反数，从点到点与点到点整个过程总用时（含停顿时间）．在整个往返过程中，若，则的值是 ． 【答案】6或20 【分析】设，根据题意得出方程，求出，再求出往返的时间，再分情况讨论，得出相应的一元一次方程，即可解答． 本题考查一元一次方程的应用，分类讨论的思想方法．根据题意得出方程是关键． 【详解】解：设， 则， 则； 则从到需要：， 则从到的速度为：， 当从到时，，则； 当从到时，，则，则总时间为 即或时，． 故答案为：6或20. 3．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如图，点P，Q在数轴上表示的数分别是、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动．设点P，Q同时出发，运动时间为t秒． (1)若点P，Q同时向右运动3秒，则点P表示的数为______，点P，Q之间的距离是______个单位； (2)经过______秒后，点P，Q重合； (3)试探究：经过多少秒后，点P，Q两点间的距离为15个单位． 【答案】(1)，9 (2)12 (3)经过1秒或3秒或9秒或27秒后，点、两点间的距离为15个单位 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的表示，数轴上的数向右移动加向左移动减，难点在于（3）分情况讨论．（1）根据数轴上的数向右移动加列式计算即可得解；用点运动的路程加上两数原来的距离再减去点运动的距离计算即可得解； （2）由题意可知点表示的数是：，点表示的数是：，当点、重合时，，求解方程即可； （3）分四种情况讨论并分别列出方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：运动3秒时，点表示的数是：， 点表示的数是：， 点、之间的距离是：； 故答案为：，9； （2）解：∵点、同时出发向右运动，运动时间为秒， 则秒后点表示的数是：，点表示的数是：， 点、重合时，，解得：． ∴经过12秒后，点、重合． （3）解：设运动时间为��秒，初始距离为12，分四种方向组合讨论： ‌P向左，Q向右‌：距离增大，方程为，解得； ‌ P向右，Q向右‌：P追及Q，方程为，解得； ‌ P向左，Q向左‌：P远离Q，方程为，解得； ‌ P向右，Q向左‌：距离增大，方程为，解得， 答：经过1秒或3秒或9秒或27秒后，点、两点间的距离为15个单位． 4．（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）已知数轴上点在原点左侧，到原点距离为个单位长度，点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度，点表示的数与点表示的数互为相反数．动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒，当点到达点，点点的运动都停止． (1)点表示的数为______，点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示点到点和点的距离：______，______； (3)经过多长时间、两点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)，，； (2)，； (3)秒，秒． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，数轴上的点表示有理数等知识．解决本题的关键是根据点运动的方向和距离用含的代数式表示出点在数轴上的位置． （1）根据点、、在数轴上的位置关系分别写出点、、表示的数即可； （2）根据点运动的方向和速度用含的代数式表示出点，根据数轴上两点之间的距离写出表示、的代数式； （3）把点、表示的数用含的代数式表示出来，根据两点之间的距离为个单位长度，列出关于的方程，解方程即可求出运动的时间． 【详解】（1）解：点在原点左侧，到原点距离为个单位长度， 点表示的数为， 点在点的右侧，点与点的距离为个单位长度， 点表示的数为， 点表示的数与点表示的数互为相反数， 点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：动点从出发，以每秒个单位的速度向右运动，运动的时间为秒， 点表示的数为， ，， 故答案为：，； （3）解：点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为， 又点表示的数为， 当、两点间的距离为个单位长度时， 可得：， 整理得：， ， 解得：秒或秒． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁．若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数扩大2倍，丙的年龄缩小到原来的，则三人岁数相等．丙的年龄是多少岁？ 【答案】丙的年龄为76岁． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，此题的关键是根据题干逆向思考，假设出变化后的年龄为x，从而得出三人的实际年龄．再列出方程求解即可． 【详解】解：设当变化后年龄相等时，三人的年龄都为岁， 则实际甲为岁，乙为：岁，丙为岁，根据题意得： ， （岁）， 答：丙的年龄为76岁． 1．（24-25七年级上·河南周口·期中）某校书法兴趣小组计划组织学生写春联．如果每人写6副，那么计划多写7副；如果每人写5副，那么比计划少13副．设有x名同学，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“如果每人写6副，则比计划多了7副”可知计划总数为；又由“如果每人写5副，则比计划少13副”可知春联总数为，根据计划总数相等即可列出方程． 【详解】解：设这个兴趣班有x个学生， 由题意可列方程：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，根据该班人数表示出春联数量进而得出方程是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）新年联欢，老师为同学们准备了A、B两种礼物，A礼物单价a元，重m千克，B礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，老师把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两个，装好后，称重盲盒，发现： 称重情况 重量最大的盲盒 重量介于最大和最轻之间 重量最轻的盲盒 盲盒个数 12个 20个 8个 若这些礼物共花费836元，则 元． 【答案】10 【分析】根据，A礼物重m千克，B礼物重千克，可知A礼物比B礼物1千克，又因为每个盲盒里均放两个，所以重量最大的盲盒是两个A礼物，重量最轻的盲盒是两个B礼物，重量介于最大和最轻之间的是1个A礼物和1个B礼物，再根据重量最大的盲盒12个，重量介于最大和最轻之间的盲盒20个，重量最轻的盲盒8个，由这些礼物共花费836元，可列方程求解． 【详解】解：∵A礼物重m千克，B礼物重千克， ∴A礼物比B礼物1千克， ∵每个盲盒里均放两样， ∴所以重量最大的盲盒是两个A礼物，重量最轻的盲盒是两个B礼物，重量介于最大和最轻之间的是1个A礼物和1个B礼物， 根据题意，得 ， 解得：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题关键是能判断出重量最大的盲盒是两个A礼物，重量最轻的盲盒是两个B礼物，重量介于最大和最轻之间的是1个A礼物和1个B礼物． 3．（24-25七年级上·陕西延安·期中）习近平总书记指出，要培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．良好的身体素质是所有的前提保障，体育锻炼是增强体质最有效的手段，某校决定购买一些羽毛球拍和羽毛球，其中每副羽毛球拍的价格比一桶羽毛球贵12元，购买5副羽毛球拍和4桶羽毛球一共需要330元． (1)每副羽毛球拍和每桶羽毛球的价格分别是多少元？ (2)该校一共购买了羽毛球拍和羽毛球152件，体育教研组决定为兴趣组的同学每人配1副羽毛球拍和3桶羽毛球，刚好够分，请问学校购买了多少副羽毛球拍，多少桶羽毛球？ 【答案】(1)每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元 (2)学校购买了38副羽毛球拍，114桶羽毛球 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设学校购买了副羽毛球拍，则购买了桶羽毛球，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：设每桶羽毛球的价格为元，则每副羽毛球拍的价格为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每副羽毛球拍的价格为42元，每桶羽毛球的价格为30元． （2）解：设学校购买了副羽毛球拍，则购买了桶羽毛球， 由题意得，， 解得：， 则， 答：学校购买了38副羽毛球拍，114桶羽毛球． 4．（24-25七年级上·重庆丰都·期中）某购物中心销售甲、乙两种产品，甲种产品每件进货成本为40元，售价为60元；乙种产品每件售价为48元，其利润率高达． (1)若该购物中心同时购进甲、乙两种产品共50件，恰好总进价为1700元，则该商场购进甲种商品多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过200元 不优惠 超过200元，不超过300元 按总金额打八折 超过300元 其中300元及以下的部分打八折，超过300元的部分优惠 按上述优惠条件，若一次性购买甲、乙商品若干件，实际付款324元，求此打折前的甲、乙商品总金额． 【答案】(1)20件 (2)420元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用乙种产品每件进货成本售价利润率），可求出乙种产品每件进货成本，设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件，利用进货总价进货单价购进数量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设打折前的甲、乙商品的总金额为元，利用实际付款金额超过300元的部分，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：乙种产品每件进货成本为（元． 设该商场购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意得：， 解得：． 答：该商场购进甲种商品20件； （2）解：设打折前的甲、乙商品的总金额为元， 根据题意得：， 解得：． 答：打折前的甲、乙商品的总金额为420元． 【经典例题十一 电费和水费问题】 【例11】（24-25七年级上·江苏南京·期中）某市收取水费规定如下：每月每户用水若不超过20立方米，则每立方米水价为2.5元；若超过20立方米，则超过部分每立方米按4.0元收费．某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米3.0元，那么这户居民这个月共用了多少立方米的水？ 【答案】30立方米 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设这户居民这个月共用水x立方米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这户居民这个月共用水x立方米， 则， 解得． 1．（24-25七年级上·江苏南京·假期作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【答案】A 【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解． 【详解】解：设该职工6月份实际用水量为x立方米， 10a+2a（x﹣10）＝16a， 解得：x＝13， 故选：A． 【点睛】此题考查了含有参数的一元一次方程，与学生生活联系密切．抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解是解题的关键． 2．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）为节约用电，某市实行“阶梯电价”，具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度比第一档提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度比第一档提价0.3元，某居民家12月份用电165度，则该居民12月份需要交电费 元；如果该居民12月份交电费222元，则该居民家12月份用电 度． 【答案】 99 360 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由，利用该居民12月份需要交电费的金额该居民12月份的用电量，可求出该居民12月份需要交电费的金额；设该居民家12月份用电x度，求出用电量为240度及400度时需交电费金额，由，可得出，再根据该居民12月份交电费222元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴该居民12月份需要交电费（元）； 设该居民家12月份用电x度， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：， 即该居民家12月份用电360度． 故答案为：99，360． 3．（24-25七年级上·浙江台州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2025年1月用水15吨，交水费30元；2月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值； (2)如果小王家3月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ 【答案】(1) (2)40吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得， 解得：， ∴， 解得：； （2）由题意可知，（元），（元），（元）． 设小王家这个月用水吨， 由题意，得， 解得． 答：小王家这个月用水40吨． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）随着生活水平的提高，家庭对冰箱的需求也越来越高．在购买冰箱时，需要综合考虑冰箱的价格、耗电量情况等因素．某人打算从当年生产的两款冰箱中选购一台，表是这两款冰箱的部分基本信息．如果电价是元，不考虑维修费用对决策的影响，请你分析他购买、使用哪款冰箱综合费用较低． 表21－1    两款冰箱的部分基本信息 型号 能效等级 售价 平均每年耗电量 A 1级 4000元/台 2级 3500元/台 【答案】当使用年数时，型号冰箱的综合费用较低；当使用年数时，A型号冰箱的综合费用较低 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用的知识，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等． 设冰箱的使用年数是，先用代数式表示出两种型号冰箱的综合费用，再算出两款空调综合费用相等时的使用年限，再计算两款空调综合费用不相等时的使用年限，然后即可求解； 【详解】解：设冰箱的使用年数是，则A型号冰箱的综合费用是， 型号冰箱的综合费用是， 当两款冰箱的综合费用相等时，列方程 ， 解得． 为了比较两款冰箱的综合费用，我们把表示型号冰箱的综合费用的式子变形为型号冰箱的综合费用与另一个式子的和，即， 也就是 这样，当时，是负数，这表明型号冰箱的综合费用较低； 当时，是正数，这表明A型号冰箱的综合费用较低． 【经典例题十二 比例分配问题】 【例12】（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）学校把一批花按分配给八年级和七年级同学栽种．已知七年级比八年级多分了棵．八、七年级各分了多少棵？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设八年级和七年级各分了棵和棵，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设五年级和六年级各分了棵和棵， 根据题意，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ，， 八、七年级各分了棵和棵． 1．（2025七年级上·江苏南京·模拟预测）如果甲、乙、丙三村合修一条公路，计划出工84人，按出工，求各村出工的人数． ①设甲、乙、丙三村分别出工人、人、人，依题意，得； ②设甲村出工人，依题意，得； ③设乙村出工人，依题意，得； ④设丙村出工人，依题意，得． 上面所列方程中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由甲、乙、丙三村按出工，可得出工人数之间的关系，再根据计划出工84人列出方程，注意所设未知数不同时，所列方程也不同． 【详解】解：①正确， ②应得方程， ③应得， ④应得． 故选：A． 2．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）茶百道生产的一种由A、B两种原料按一定比例配制而成的奶茶，其中A原料成本价为10元/千克，B原料成本价为15元/千克，按现行价格销售每千克奶茶可获得4.8元的利润．由于物价上涨，A原料上涨20%，B原料上涨10%，配制后的总成本增加．茶百道为了拓展市场，打算再投入现总成本的10%做广告宣传，使得销售成本再次增加，如果要保证每千克的利润不变，则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 元 【答案】 【分析】设配制比例为，则原液上涨后的成本是元，原液上涨后的成本是元，配制后的总成本是，根据题意可得方程，解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差． 【详解】解：设配制比例为，由题意得： 解得x=， 则原来每千克成本为： ＝12（元）， 原来每千克售价为：（元） 此时每千克成本为：（元）， 此时每千克售价为：（元）， 则此时售价与原售价之差为：（元）． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键是计算出配制比例，以及原售价和此时售价． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 【经典例题十三 日历问题】 【例13】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，这是2022年11月份的日历，小康在此日历上用一个“十字”框出了5个数，若框出的5个数中最大数与最小数的和为30，求这5个数的和．    【答案】 【分析】设最大数为，则其余四个数分别为，，，，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设最大数为，则其余四个数分别为，，，， 根据题意得， 解得， ∴最大数为22， ∴5个数分别为8，14，15，16，22． 这5个数的和为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，表示出每个数，根据题意列出方程． 1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）如图是2025年1月份的日历，由如图所示的框，框出三个数，，，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用−日历问题，根据横排相邻的日期，下面的数总比上面的数多7，判断各结论即可． 【详解】解：根据图示知：，， 所以， 观察选项可知，选项C符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）对连续的偶数2，4，6，8……排成如右图的形式.将图中的十字框上下左右移动，使框住的五个数之和等于，则这五个数中位置在最中间的数是 ． 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 … … 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意确定五个数是解题的关键． 设五个数中位置在最中间的数为，由题意知，五个数从小到大依次为，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设五个数中位置在最中间的数为， 由题意知，五个数从小到大依次为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）小芳将自然数按右面的格式排列后，每次用（即4行3列）的长方形都可以框出12个数（如图）．有一次她发现框出的12个数的和是2010．那么这12个数中最大的数是多少？ 【答案】179 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据数的排列规律设出最小数，列出这12个数的和的方程并求解． 先设框出的12个数中最小的数为，根据数的排列规律表示出这12个数，再根据它们的和为2010列出方程，求解出后，进而求出最大的数． 【详解】解：设最小数为x，则12个数依次为，，，，，，，，，，，， 根据题意得： 解得， 所以12个数中最大的数为． 4．（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【分析】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【详解】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 【经典例题十四 古代问题】 【例14】（24-25七年级上·陕西西安·期中）《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问：人、银各几何？题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两，问有多少个人？多少两银子？ 【答案】有6个人，46两银子 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设有个人，根据银子的量是一定的，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设有个人，由题意，得：， 解得：， （两）； 答：有6个人，46两银子． 1．（24-25七年级上·四川广元·期中）在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多了30钱．问共有多少户人家，每头牛的价钱是多少钱？设共有x户人家，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据“如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱”可知每头牛的价钱是，“如果每9家共出270钱，又多了30钱” 可知每头牛的价钱是，即可得到答案． 【详解】解：如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱， 每头牛的价钱是； 如果每9家共出270钱，又多了30钱， 每头牛的价钱是； 则可列方程为． 故选：A． 2．（2025·湖北恩施·模拟预测）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳五折测之，绳少一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺，问水井和绳子长度各是多少？答：绳子的长度是 尺，水井的深度是 尺． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设井深为尺，用代数式表示绳长是解此题的关键． 设井深为尺，则绳长为：尺，根据把将绳子折成五等份，那么每等份绳长比水井深度少一尺，列方程求解即可． 【详解】解：设井深为尺，则绳长为：，依题意得： ． 解得， 则． 答：绳长是尺，井深是尺． 故答案为：；． 3．（24-25七年级上·江苏南京·假期作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 【答案】624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设寺里有x个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤” 可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗；根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量喝汤用碗的数量碗的总数，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设都来寺里有x个和尚，根据题意得． ． 答：都来寺里有624个和尚． 4．（24-25七年级上·浙江金华·期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 【拓展训练一 一元一次方程与数轴综合应用】 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为． (1)在数轴上与点距离个单位的位置所表示的数是 ； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请求出点对应的数是多少？ (3)若当电子蚂蚁从点出发时，以单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以单位/秒的速度也向右运动，求出当两只电子蚂蚁相距个单位时，电子蚂蚁位置对应的数是多少？ 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（）设在数轴上距离点个单位长度的点表示的数是，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； （）设点对应的数是，分点在点的右边和点在点的左边两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； （）设点对应的点所表示的数是，分点在点的右边和点在点的左边两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可； 本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：设在数轴上距离点个单位长度的点表示的数是， 则， 解得或， 故答案为：或； （2）解：设点对应的数是， 则， 解得， ∴点对应的数是； （3）解：设点对应的点所表示的数是， ①当点在点的右边时， 则， 解得； ②当点在点的左边时， 则， 解得； 答：电子蚂蚁位置对应的数是或． 2．（25-26七年级上·河南平顶山·阶段练习）阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：． 在数轴上点、分别表示数、，则、两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是__________． (2)当_____时，和的两点之间的距离是5． (3)．时，_____ 【答案】(1)3，2，4， (2)或4 (3)或3 【分析】本题主要考查绝对值、在数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据材料中提供的方法解答即可； （2）根据材料中的方法列绝对值方程求解即可； （3）分三种情况，分别去掉绝对值符号，得到关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示1和的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：3，2，4，． （2）解：∵和的两点之间的距离是5， ∴， ∴，解得：或4． 故答案为：或4． （3）解：当时，，解得：； 当时，，无解； 当时，，解得：． 综上，或3． 故答案为：或3． 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）我们知道：如果A 、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为的中点； (3)如图3，三个定点P 、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且 M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程）． 【答案】(1) (2) (3)或或 10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可得：点 M，N 对应的数是，，再根据t 秒后它们之间的距离为 15 个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）由题意可得点 M，N 对应的数是，，再根据“”为的中点列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）当时，点M，N，K对应的数是，，，根据题意列出一元一次方程，解方程即可；之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合，点M，N继续运动所对应的数是，，同理列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 则：， 解得：； （2）解：由题意可得：点M，N对应的数是，， 当时，两点都在表示的点右边，此时不可能“”为的中点，故， 则 ∴． ∴点N出发6秒后“”为的中点； （3）解：当时，点M，N，K对应的数是，，， 当点M是中点时，， ∴； 当点K时中点时，， ∴． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动，当点M与点P重合时，点N返回并与点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是，， 当点N为中点时，， ∴， ∴． 所以或或 10． 【拓展训练二 一元一次方程实际综合应用】 1．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图，是一块在电脑屏幕上出现的长方形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个长方形色块图的面积？ （2）某工厂在此图案的基础上，加工制作出地毯，并按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元． ①求该商品的成本价为多少元？ ②若按七五折（即75%）出售则可获得利润多少元？ 【答案】（1）143 （2）①该商品的成本价为500元；②按七五折（即）出售则可获得利润25元 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，找出等量关系并列出方程是解题的关系． （1）设右下方两个相等的正方形的边长为x，用含x的代数式分别表示这些正方形的边长，再根据长方形的对边相等建立方程求解； （2）①根据营销问题的等量关系列方程求解；②根据利润=售价-成本求解即可． 【详解】解：（1）设右下方两个相等的正方形的边长为x， ， ， ， 则这个长方形色块图的面积为， 故答案为：143； （2）①设商品的成本价为x， ， ， 答：该商品的成本价为500元； ②． 答：按七五折（即）出售则可获得利润25元． 2．（25-26七年级上·江苏南京·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【分析】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【详解】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下： 你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？ 我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五折优惠 ②一次性累计购买个及以上九折优惠 (1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？ (2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？ 【答案】(1)共需要元 (2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，一元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键． （1）根据题意列出算式得，即可求解； （2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 元． 答：共需要元； （2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：， 个； 当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔， 根据题意得：， 解得：不符合题意，舍去． 该商店的进货方案有种， 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔； 方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔． 【拓展训练三 一元一次方程的应用规律问题】 1．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示，将形状、大小完全相同的“”与线段按照一定规律摆成下列图案，其中第①个图案用了6个“”，第②个图案用了11个“”，第③个图案用了16个“”，第④个图案用了21个“”，…，按此规律排列下去，则第几个图案用的“”个数是51个？ 【答案】第⑩个图案用的“”个数是51个 【分析】 本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，由题意可得第个图案用了个“”，再根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：第①个图案用了个“”， 第②个图案用了个“”， 第③个图案用了个“”， 第④个图案用了个“”， …， 第个图案用了个“”， 由题意可得：, 解得：， 故第⑩个图案用的“”个数是51个． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）小明将连续的偶数，排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： (1)图中十字形框架里的五个数之和是___________； (2)设中间的数为，用含的代数式表示十字形框中的五个数的和； (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2024吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)80 (2) (3)这五个数的和不能等于2024．理由见解析 【分析】此题考查整式的加减，一元一次方程的应用． （1）将5个数相加计算求解； （2）设中间的数为x，则另外四个数分别为，，，，将五个数相加即可得出结论； （3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（2）的结论可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：80； （2）解：设中间的数为x，则另外四个数分别为，，，， ∴； （3）解：不能，理由如下： 设中间的数为x， 根据题意得：， 解得：， ∵x是整数， ∴这五个数的和不能等于2024． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）【问题提出】小颖思考：数轴是“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．那么点与点之间的关系，能否借助数轴来研究呢？在研究行程问题时，常将行驶的汽车抽象成点，能否借助数轴来解决行程问题呢？以下是他的研究片段： 【特例观察】已知：数轴上有三个点，其中点是线段中点．      （1）如图1，点和点表示的数分别是和4，则线段的中点表示的数为__________； 如图2，点和点表示的数分别是0和7，则线段的中点表示的数为__________； 【规律归纳】点为线段的中点 点表示的数 ．．． 0 1 2 ．．．． 点表示的数 ．．．． 3 4 8 ．．． 点表示的数 ．．． 1 2 5 ．．．． （2）猜想：经过大量的观察，小颖发现：若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数即为__________（用含，的代数式表示）； 经验证可得，猜想是合理的． 【迁移应用】（3）已知、两地相距，甲、乙、丙车分别从、两地同时沿同一路线朝同一方向驶往地，甲车从地出发速度是，乙车从地出发速度是，丙车从地出发速度是．以地为原点、以自向的方向为正方向，小颖建立了数轴如图3所示，请解决下列问题： ①小时后，甲车到达的位置用数轴上的数表示为__________，乙车到达的位置用数轴上的数表示为_________，丙车到达的位置用数轴上的数表示为_________； ②问：当为何值时其中一车正好到另外两辆车的距离相等？    【答案】（1），；（2）；（3）①，，；②当为或或或或或时，其中一车正好到另外两辆车的距离相等 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据图并结合数轴即可得解； （2）根据表格的数据总结归纳出结论即可； （3）①根据路程速度时间，结合数轴表示出各个点表示的数即可；②表示出甲乙、乙丙、甲丙之间的距离，再根据题意，分三种情况，分别列出方程，解方程即可得解． 【详解】解：（1）由图可得：如图1，点和点表示的数分别是和4，则线段的中点表示的数为； 如图2，点和点表示的数分别是0和7，则线段的中点表示的数为； （2）由表格可得：若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数即为； （3）①由题意可得：小时后，甲车到达的位置用数轴上的数表示为，乙车到达的位置用数轴上的数表示为，丙车到达的位置用数轴上的数表示为； ②由①可得：甲、乙之间的距离为，甲、丙之间的距离为，乙、丙之间的距离为， ∵其中一车正好到另外两辆车的距离相等， ∴当甲车到乙车和丙车的距离相等时，， 解得：或； 当乙车到甲车和丙车的距离相等时，， 解得：或； 当丙车到甲车和乙车的距离相等时，， 解得：或； 综上所述，当为或或或或或时，其中一车正好到另外两辆车的距离相等． 1．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个，则黑色琴键的个数为（   ） A．52 B．48 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设白色琴键的个数为个，黑色琴键的个数为个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设白色琴键的个数为个，黑色琴键的个数为个 由题意，得： 解得： 所以白色琴键的个数为个，黑色琴键的个数为个 故选：D ． 2．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，当这7个数的和是105时，“H”形框中的正中间的数是（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答时根据条件的数量关系建立方程是关键． 设中间的数是，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：设中间的数是， 这个数分别是，，，，，，， 由题意得：, 化简得：， 解得：． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河南·阶段练习）商家获得的利润按照如下公式计算：利润售价进价售价税率，若税率由调整为，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原售价为，现售价为，进价为，利润为，根据利润公式，分别列出税率调整前后的方程，联立求解与的比值即可，根据所给等量关系得到原来的售价和实际售价的代数式并读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原售价为，现售价为，进价为，利润为， 原税率时：， 整理得：， 新税率时：， 整理得：， 则， 故选：． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图1即“洛书”，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字表示，分别填入图2中正方形对应方格内，得到一个每一横、每一列以及对角线上的数的和均为15的幻方，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先根据每一列上的数的和为15建立方程，则，再根据对角线上的数的和为15建立方程，则，由此即可得． 【详解】解：∵在图2的正方形中，每一列上的数的和为15， ∴， ∴， ∵在图2正方形中，对角线上的数的和为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 【答案】B 【分析】本题先根据绝对值与平方数的非负性求出、的值，再确定木棒和点在数轴上的位置表达式，最后分情况讨论点与木棒的位置关系来求解的值．本题主要考查了数轴上的动点问题以及绝对值和平方数的非负性，熟练掌握数轴上点的移动规律和绝对值、平方数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，． ∵木棒从右端与点重合开始以每秒个单位长度向移动，出发秒后点才出发， ∴木棒移动的总时间为秒，木棒右端表示的数为，木棒左端表示的数为． ∵点从点出发，以每秒个单位长度向移动，移动时间为秒， ∴点表示的数为． 当点在木棒左侧个单位时， ， ， ， 解得． 当点在木棒右侧，距离木棒左端个单位时： ， 解得（舍去，因为）． 综上，． 故选：B． 6．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）某人在银行存有一笔钱，已知年利率为，一年到期后所得利息为元，则一年前他在银行存了 元． 【答案】 【分析】本题考查了利率问题，先明确利息的计算公式，再根据已知的利息和年利率通过公式变形求出本金. 【详解】解：设一年前他在银行存了元 ， 解得， 一年前他在银行存了元； 故答案为： ． 7．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了 个零件． 【答案】24 【分析】本题考查了列方程解应用题，设未知数，利用等量关系列方程是解题的关键. 【详解】解：设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得： ， 解得：， ， 故答案为： ． 8．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）在去年的“双十一”活动中，中百超市对某种商品作调价，按原售价的八折出售，此时该商品的利润率是12%．若该商品的进价是每件1200元，则该商品的原售价是每件 元． 【答案】1680 【分析】本题需要根据利润率的公式，结合商品的进价、折扣与原售价的关系来建立方程求解原售价． 【详解】解：设该商品的原售价是每件x元 商品按原售价的八折出售，那么售价为元 已知进价是每件1200元，利润率是，根据利润率公式： 利润率=，可列出方程： 化简方程： 两边同时乘以1200： 计算右边： 移项： 计算右边： 两边同时除以0.8：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握根据利润率公式，结合售价、进价的关系建立方程求解商品原售价是解题的关键． 9．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图是用灰白两种颜色的纸片按一定的规律摆成的图案，依此规律继续摆下去，若第n个图案中白色纸片的个数是2023，则n的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，由题干中所给图案得出第个图案中白色纸片的个数为，令，求解即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为， 第2个图案中白色纸片的个数为， 第3个图案中白色纸片的个数为， …， 第个图案中白色纸片的个数为， 令， 解得：， 故答案为：． 10．（2025七年级上·浙江宁波·模拟预测）如图所示，已知长方形的长，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形，设小正方形边长为a，则的长为 （用a的代数式表示），若长方形的宽，长方形的周长为8，则图中阴影部分周长和为 ．    【答案】 / 20 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用．设小正方形的边长为a，可得出和的长，再根据长方形的周长为8，可建立关于a的方程求解，进而可求阴影部分周长． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴； 根据题意得：， ∵， ∴，，， ∴， ∵长方形的周长为8， ∴， 即， ∴， ∴图中阴影部分周长和为 ． 故答案为：；20 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）熊妈妈买回一篮桃子，灵灵和花花按计划吃，如果它俩每天吃4个，则多出26个；如果它俩每天吃6个，则少8个，请你算算熊妈妈一共买回了多少个桃子？计划吃几天？ 【答案】一共买回了94个桃子，计划吃17天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设计划吃x天，根据“如果它俩每天吃4个，则多出26个；如果它俩每天吃6个，则少8个，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设计划吃x天，根据题意得： ， 解得：， 此时一共买回了个桃子． 答：一共买回了94个桃子，计划吃17天． 12．（2025七年级上·四川成都·模拟预测）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为为多少？ 【答案】正方形的边长 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据正方形边长相等这一条件列出方程． 设长方体的高为，根据正方形纸板边长相等的关系列出方程，求解出高的值，进而求出正方形纸板的边长． 【详解】解：设长方体的高为， 则， 解得：， ， 答：正方形的边长为6cm． 13．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）我们知道，，反过来，，那么是否也能写成分数的形式呢？小明的解答如下： 设① 则② 把等式②的两边分别减去①的两边得，即 解这个方程，得 所以． (1)在以上解答过程中，由①得到②，根据的理由是：____________； (2)类比小明的解答方法，将无限循环小数写成分数的形式． 【答案】(1)等式的性质 (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，等式的性质． （1）根据等式的性质求解即可解答； （2）仿照题目中的方法列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由①得到②等式两边同乘以， 故答案为：等式的性质； （2）解：设， 则， 得，， 解得， ∴． 14．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元． (1)甲种商品每件进价为_____元，乙种商品的利润率为_____． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共45件，恰好总进价为2100元，则分别购进甲、乙两种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场针对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 一次性购物总金额 优惠措施 不超过450元 不优惠 超过450元，但不超过600元 按售价打9折优惠 超过600元 其中600元部分打8.2折优惠，超过600元的部分打3折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，则小华在该商场购买乙种商品多少件？ 【答案】(1)40；； (2)购进甲商品15件，乙商品30件； (3)小华在该商场购买乙种商品7件或8件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲的进价为x元/件，根据甲的利润率为，求出x的值； （2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是2100元，列出方程求解即可； （3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲的进价为x元/件， 则， 解得：， 故甲的进价为40元/件； 乙商品的利润率为． 故答案为：40；； （2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， ， 答：购进甲商品15件，乙商品30件； （3）解：由题意，小华打折前应付款超过450元， 设小华打折前应付款为y元， ①打折前购物金额超过450元，但不超过600元， 由题意得， 解得：， （件）， ②打折前购物金额超过600元， ， 解得：， （件）， 综上可得小华在该商场购买乙种商品7件或8件． 15．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心” (1)如图1，点A表示的数为，则A的幸福点C所表示的数应该是 ； (2)如图2，点M表示的数是，点N表示的数为4，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是 （填一个即可）； (3)如图3，点A所表示的数为，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，点Q从点P出发，以2个单位/s的速度向左运动，当经过多少时间点Q是点A和B的“幸福中心”？ 【答案】(1)2或 (2)2（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）根据“幸福点”的定义即可得到答案； （2）根据“幸福中心”的定义即可求解； （3）设运动t秒，则P运动后所表示的数是，分两种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：，， ∴A的幸福点C所表示的数应该是2或， 故答案为：2或； （2）解：∵， ∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心． 故C所表示的数可以是（答案不唯一）， 故答案为：2（答案不唯一）； （3）解：设运动，则点Q运动后所表示的数是， ∵点A所表示的数为，点B所表示的数为4， ∴，P不可能在线段上， 当Q在B右侧时，， 解得， 当Q在A左侧时，， 解得， ∴当经过或时，点Q是点A和B的“幸福中心”． 学科网（北京）股份有限公司 $