第4章 一元一次方程（单元自测，苏科版江苏专用）数学小升初衔接

**基本信息** 苏科版新教材一元一次方程单元卷，覆盖方程定义、解法及应用，融合古代数学（《算学启蒙》追及问题）与生活情境（阶梯水价、购物方案），梯度设计适配小升初衔接巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元一次方程定义、解的意义、古代追及问题|基础概念辨析，渗透数学文化| |填空题|6/18|方程变形、参数问题、阶梯水价计算|结合生活实际，培养模型意识| |解答题|8/72|解方程、同解问题、购物方案优化、新定义“完美有理数对”|分层设计，综合考查运算能力与推理能力，体现创新应用|

第4章 一元一次方程 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可． 【详解】一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程． 依次判断各选项： 选项：，满足三个条件，是一元一次方程； 选项：，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件； 选项：，含有和两个未知数，不满足条件； 选项：，未知数的最高次数为，不满足条件； 故选． 2．关于的方程的解是3，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】解：∵方程的解是， ∴将代入方程得， 解得：． 3．某商品进价每件100元，按标价八折销售后，每件获利20元，则该商品标价为（   ） A．120元 B．140元 C．150元 D．160元 【答案】C 【分析】利用“利润=售价进价”的关系列方程求解即可． 【详解】解：设该商品的标价为元． ∵商品按标价八折销售， ∴实际售价为元． 根据利润=售价进价，可得方程： 解得 即该商品标价为150元． 4．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“甲日行八十里，乙日行六十里，乙先走八日，问甲何日追及之．”意思是：甲每天走80里，乙每天走60里，乙先走8天，问甲几天可以追上乙？设甲x天可以追上乙，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲追上乙时，甲走的总路程等于乙走的总路程，即可列出方程. 【详解】解：设甲天可以追上乙， ∵乙先走天， ∴乙一共行走的天数为天，甲走的总路程为里，乙走的总路程为里， ∵甲追上乙时两人路程相等， ∴列方程得. 5．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】根据，求出x、y的值，代入即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，或， ∴或1， 故选：A． 6．解方程 ，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程去分母的操作，解题思路为找到方程分母的最小公倍数，将方程每一项同时乘以该最小公倍数，注意不要漏乘常数项，分子为多项式时要整体加括号，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是6， ∴方程两边同时乘以6去分母，得：，B选项符合题意． 7．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵若，可得或，∴A变形错误； B选项：∵若，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得，∴B变形错误； C选项：∵中分母不为，隐含条件，等式两边同乘可得，∴C变形正确； D选项：∵若，当时，与无意义，该变形不成立，∴D变形错误． 8．在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的求解及正整数解的确定，关键是先将方程变形为用含的代数式表示，再分别对甲、乙的说法进行分析验证． （1）对于甲的说法，将代入的表达式计算，或代入原方程验证解的正确性； （2）对于乙的说法，根据为正整数且为正整数，确定的取值范围，再逐一代入验证，判断是否存在其他值使为正整数． 【详解】解：解方程，得． 验证甲的说法：当时，， 代入左边，右边， 左边=右边，故甲的说法正确； 验证乙的说法：∵方程有正整数解， ∴是正整数，且为正整数， ∴，解得， ∴的可能取值为1，2，3． 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数； 当时，，不是正整数； 当时，，不是正整数； ∴只有时方程有正整数解，故乙的说法正确． 综上，甲、乙都正确， 故选：A． 9．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将代入错误方程，求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 将代入上述方程得：， 解得， 则原方程为， 方程两边乘12得：， 即， 整理得， 移项、合并同类项得， 解得， 故选：B． 10．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把方程改写成用含的式子表示的形式______． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，先移项，再系数化为1即可． 【详解】解：， ． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义可知，未知数的次数为且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得，且， ∴． 13．若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 14．绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗．圣水寺里的和尚一共有( )个． 【答案】624 【分析】设圣水寺里的和尚一共有个，根据3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗列方程求解即可． 【详解】解：设圣水寺里的和尚一共有个， 由题意得， 解得， ∴圣水寺里的和尚一共有624个． 15．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为__________． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【答案】 【分析】本题考查了阶梯计费问题；先判断该同学家的用水量包含哪些阶梯，由表格可知第一阶梯的水费为元，第二阶梯的水费为元，该同学家的用水量明显包含三个阶梯．该同学家缴纳的总水费扣除第一、二阶梯的总水费，就能得出第三阶梯的水费，从而得出第三阶梯的用水量． 【详解】解：根据表格知，，则该同学家的用水量包括第三阶梯费用． 设该同学这一年的用水量为， 依题意得：， 解得： 答：该同学家这一年的用水量为． 故答案为300． 16．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入方程，化简后得到关于k的方程，由“无论k为何值，总是它的解”，可得k的系数和常数项均为零，从而求出a和b，进而可求的值． 【详解】解：∵关于x的方程，无论k为何值，总是它的解， ∴， ， ， ， ∵无论k为何值，总是它的解， ∴，此时， ∴，， ∴． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1得到结果； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1得到结果． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 18．已知关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】解方程得，代入后得，求解后可得答案． 【详解】解：解方程， 得：， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴， 即， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 即的值为． 19．我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔．如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟千米时，以米/分的速度奋起直追，而乌龟仍然以米/分的速度爬行，那么小白兔大概需要多少分钟就能追上乌龟？ 【答案】小白兔大概需要分钟就能追上乌龟 【分析】设小白兔大概需要分钟就能追上乌龟，根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案 【详解】解：1千米米， 设小白兔大概需要分钟就能追上乌龟， 根据题意，得：， 解得：， 答：小白兔大概需要分钟就能追上乌龟． 20．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 21．A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 22．定义：若有理数、满足等式，则称、是“完美有理数对”，记作．如：数对，都是“完美有理数对”． (1)通过计算判断数对，是不是“完美有理数对”； (2)若是“完美有理数对”，求的值； (3)若是“完美有理数对”，求代数式的值． 【答案】(1)是“完美有理数对”， 不是“完美有理数对” (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，一元一次方程，解答本题的关键是会用新定义解答问题． （1）根据“完美有理数对”定义进行判断，即可； （2）根据新定义可得关于的一元一次方程，再解方程即可； （3）根据“完美有理数对”的定义得出，再代入原式计算即可 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“完美有理数对”； ∵，，而 ∴不是“完美有理数对”； （2）解：∵是“完美有理数对” ∴， 解得：， ∴m的值为 （3）解：∵是“完美有理数对” ∴， ∴ ， ∴ ． 23．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：．根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果，求x的值． (2)直接写出代数式的最小值及相应的x的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)最小值是5，x的取值范围是 【分析】（1）①，即可得到答案； ②由题意可得：，即可得到答案； （2）代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据分析，可得①； ②如果，则， 或， 解得或． （2）解：代数式表示数轴上数x所对应的点到4和所对应的两点距离之和， 当时，代数式的最小值是：， 即代数式的最小值是5，x的取值范围是． 24．点P，点A和点B均是数轴上的点，点P到点A的距离为，点P到点B的距离为，规定：若，其中表示与中较大的值，表示与中较小的值，则称点P为线段的“倍关联点”，例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，此时，满足，则P是线段的 “3倍关联点”． (1)如图1，点A所表示的数为， ①若点B所表示的数为4，点P表示的数为，则k的值为　　　 ， ②若点P代表的数为0，P为线段的“3倍关联点”，求点B所表示的数； (2)已知点P为线段的“倍关联点”，若点P从数轴上表示的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，点A从数轴上表示的点出发,以每秒2个单位长度的速度向右运动，点B从数轴上表示20的点出发,以每秒2个单位长度的速度向左运动，三个点同时运动，设运动的时间为t秒，求当t取何值时k的值最小，请直接写出t的取值． 【答案】(1)①；②或或或 (2)或 【分析】（1）①先求出，即可求出，再由求解即可； ②设点表示的数为， ，，由题意得，整理得，，再分类讨论求解即可； （2）由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，，当且仅当时，取得最小值为1，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∴， ∴； ②设点表示的数为， ∴，， ∵P为线段的“3倍关联点” ∴ 整理得，， 当时，则，解得； 当时，则，解得 综上：点B所表示的数为或或或； （2）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， ∵ ， ∵， ∴， 当且仅当时，取得最小值为1， 或， 即或时的值最小． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第4章一元一次方程单元自测卷 【新教材，苏科版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，是一元一次方程的是() A.4x-5=3 B.m-3=2 m C.x-3y=4 D.X2-3x=42 2.关于x的方程2x+a=0的解是3，则a的值为() A.4 B.-4 C.6 D.-6 3.某商品进价每件100元，按标价八折销售后，每件获利20元，则该商品标价为() A.120元 B.140元 C.150元 D.160元 4.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“甲日行八十里，乙日行六十里，乙先走八日， 问甲何日追及之，”意思是：甲每天走80里，乙每天走60里，乙先走8天，问甲几天可以追上乙？设甲x 天可以追上乙，则可以列出的方程为() A.80x=60(x+8) B.80x=60(x-8) C.60x=80(x+8) D.60x=80(x-8) 5.若=3，川=2，且x>y,则x+y的值为() A.5或1 B.-5或-1 C.5或-1 D.-5或1 6解方程分=1 3，去分母正确的是() A.3(x-1)=1-2(x+2) B.3(x-1)=6-2(x+2) C.2(x-1)=6-3(x+2) D.3x-1=6-2x+4 7.下列等式的变形中，正确的是() 1/5 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若m=川，则m=n B.若a=b,则a+1=b-1 a_b C.若。=e,则a=b ma=b D.若a=b,则cc 8.在关于x的一元一次方程2 ③-一1=3一m中，m是正整数.对下面两个说法判断正确的是) 甲：当m=4时，方程的解为x=-} 3: 乙：若方程有正整数解，则m=2 A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确C.只有甲正确 D.只有乙正确 3-牛0-2，去分母时，方程右边的2忘记乘12，因而求出的解为x=1,则原方程正 9.小明解方程4 3 确的解为() 5 A.x=17 B.x=-17 17 5 5 C.x=- D.x= 17 10.已知关于x的一元一次方程2026x+3=2x+b的解为x=-3,那么关于y的一元一次方程 20260+1)+3=20+0+b的解为y=（) A.1 B.-1 C.-3 D.-4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.把方程3x+5y-5=0改写成用含x的式子表示y的形式 12.若方程(k-)内+4=0是关于x的一元一次方程，则k的值为 13.若x=3是关于x的方程2ax-br=6的解，则代数式2026-6a+3b的值是 14.绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个 碗.圣水寺里的和尚一共有( )个. 15.为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费=第 一阶梯水价×第一阶梯用水量+第二阶梯水价×第二阶梯用水量+第三阶梯水价×第三阶梯用水量.该市某 同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为 m3, 某市居民用水阶梯水价表： 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 阶梯 户年用水量V(m) 水价（元/m) 第一阶梯 0≤V≤180 5 第二阶梯 180<V≤260 第三阶梯 V>260 9 kox-2a=3--6x+bk 16.已知a,b为定值，关于x的方程2 6一，无论k为何值，-1总是它的解，则b的值为 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分：共8小题，共72分） 17.解下列方程： (1)3(2-3)=x+1: 0-32x+1=1 (22 3 3y-m_2m-卫=1-y的解相同，求m的值. 18.己知关于y的方程2(0y+3)=5(y+3)-6与方程2-3 19.我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后战胜了小白兔.如果在第二次赛跑中，小白兔知耻 而后勇，在落后乌龟1千米时，以102米分的速度奋起直追，而乌龟仍然以2米分的速度爬行，那么小白 免大概需要多少分钟就能追上乌龟？ 20.在解关于x的方程3 2x,12+“-1时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-”这一项乘 6 以公分母6，求出方程的解为x=-2, (1)求a的值： (2)写出正确的求解过程， 21.A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备.市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品 牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等.经洽谈，甲商 场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球：乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球 3/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 打八折. (1)每套队服的价格为. 元和每个篮球的价格为 元. (2)若联合购买120套队服和a(a>12)个篮球，请用含a的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的 费用： (3)在(2)的条件下，若a=45,假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合 算？ 22.定义：若有理数a、b满足等式a-b=ab+2,则称a、b是“完美有理数对”，记作(a,b).如：数对 都是“完美有理数对” (1)通过计算判断数对 是不是“完美有理数对”： (2)若(m,8)是“完美有理数对”，求m的值； (3)若(m,n)是“完美有理数对”，求代数式5n-5m+5mn+3的值. 23.大家知道=5-0，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离.又如式子6-3引，它 在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两 点的距离可表示为：AB=口-.根据以上信息，回答下列问题： (1)点A、B在数轴上分别表示实数x和-1. ①用代数式表示A、B两点之间的距离： ②如果AB=2,求x的值. (2②)直接写出代数式r++r-4的最小值及相应的x的取值范围. 24.点P,点A和点B均是数轴上的点，点P到点A的距离为PA,点P到点B的距离为PB,规定：若 d+d,=k(d,-d),其中d表示PA与PB中较大的值，d,表示PA与PB中较小的值(PA≠PB),则称点P 为线段AB的“k倍关联点”，例如：若点P表示的数为O,点A表示的数为-2，点B表示的数为1，此时 d=2,d,=1,满足d+d2=3(d-d,),则P是线段AB的“3倍关联点” A 5432寸0123452520110方05105202方 图1 备用图 (1)如图1，点A所表示的数为-2， 4/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ ◆ ①若点B所表示的数为4，点P表示的数为-3，则k的值为 ②若点P代表的数为O,P为线段AB的“3倍关联点”，求点B所表示的数； (2)已知点P为线段AB的“k倍关联点”，若点P从数轴上表示-5的点出发，以每秒1个单位长度的速度 向右运动，点A从数轴上表示-10的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点B从数轴上表示20的 点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，三个点同时运动，设运动的时间为t秒(<10)，求当t取何 值时k的值最小，请直接写出t的取值. 5/5