专题01 等式与方程重难点题型专训（3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题01 等式与方程重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 判断是否是方程的解 题型三 列方程 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质 拓展训练一 根据等式的性质判断变形是否正确 拓展训练二 利用等式的性质解方程 拓展训练三 有规律的方程的解 知识点一：方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程，根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、不是整式方程，故不是一元一次方程，不符合题意； B、未知数的最高次数是2次，故不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：3． 知识点二：方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入中，求解a即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故选C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如果是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，理解方程的解得定义是解题关键．根据题意，将代入方程，然后求解即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ 解得： 故答案为：． 知识点三： 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）用“”、“”、“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设，，分别表示“”、“”、“”的质量，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：． 2（2025·江苏南京·模拟预测）若，表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化．如下表： 0 1 3 … 1 3 5 9 … 则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．将关于的一元一次方程化为，然后根据表格得出当时，，即可求出关于的一元一次方程的解． 【详解】解：关于的一元一次方程可化为， 由表格可知，当时，， 关于的一元一次方程的解为． 故答案为：． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义逐项判断即可，掌正确理解方程的定义是解题的关键． 【详解】、，不是方程，不符合题意； 、是代数式，不是方程，不符合题意； 、是不等式，不符合题意； 、是方程，符合题意； 故选：． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·单元测试）含有未知数的 是方程，例如：． 【答案】等式 【分析】根据方程的概念即可解答． 【详解】含有未知数的等式是方程， 故答案为：等式． 【点睛】本题考查了方程的定义，属于应知应会题目，熟知方程的概念是关键． 3．（24-25七年级·江苏常州·假期作业）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·单元测试）现有四个整式： (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成___________个方程； (2)请列出（1）中所有的一元一次方程，并解方程． 【答案】(1)5 (2)，，解方程得，解方程得 【分析】（1）根据题意列出所有的等式，再根据方程的定义即可得到结果； （2）找出所有的一元一次方程，求出解即可． 【详解】（1）解：等式有：，，，，，， ∴一共可以组成5个方程； （2）解：由（1）得一元一次方程有，， ， 去分母得：， 解得：； ， 去分母得：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟知方程的定义和解一元一次方程的方法是解题的关键． 【经典例题二 判断是否是方程的解】 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）是下列哪个方程的解？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解“使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解”，熟记方程的解的定义是解题关键．根据方程的解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以不是方程的解，则此项不符合题意； B、因为，所以是方程的解，则此项符合题意； C、因为，所以不是方程的解，则此项不符合题意； D、因为，所以不是方程的解，则此项不符合题意； 故选：B． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·单元测试）观察下表，关于x的方程的解是（    ） x … 0 1 2 … … −5 1 3 5 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解， 根据表格可知当时，，则此题可解. 【详解】解：当时，， 所以方程的解是. 故选：B. 2．（2025七年级上·江苏·模拟预测） 方程 的解．（填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】本题考查方程的解，关键是掌握：方程的解是指使方程两边相等的未知数的值． 把分别代入方程的左右两边计算，再比较两边值是否相等即可判断． 【详解】解：把，，代入方程， ∵方程左边，右边， ∴方程左边≠右边， ∴不是方程的解． 故答案为：不是． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解等知识点，掌握等式的性质成为解题的关键． 根据由表格中的数据即可解答． 【详解】解：根据表格可知当时，， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 4．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 【经典例题三 列方程】 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）某班30位同学，在绿色护植活动中共种树72棵，已知女生每人种2棵，男生每人种3棵，设女生有人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设女生x人，男生就有（30-x）人，再表示出男、女生各种树的棵数，根据题中等量关系式：男生种树棵数+女生种树棵数=72棵，列方程解答即可． 【详解】设女生x人， ∵共有学生30名， ∴男生有（30-x）名， ∵女生每人种2棵，男生每人种3棵， ∴女生种树2x棵，男生植树3（30-x）棵， ∵共种树72棵， ∴2x+3(30-x)=72， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确找准数量间的相等关系是解题关键. 1．（2025·江苏·模拟预测）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可. 【详解】解：大量筒中的水的体积为：， 小量筒中的水的体积为：， 则可列方程为：. 故选A. 【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可. 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）列式表示：比大5的数等于的2倍与的差 ． 【答案】 【分析】比大5的数为，的2倍与的差为，即可得出答案． 【详解】比大5的数等于的2倍与的差表示为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了列方程，弄清题意，把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）汽车队运送一批货物若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完，求这批货物共有多少吨？若设这批货物共有吨，则所列的方程为 ． 【答案】 【分析】设这批货物共有x吨，根据题意可知等量关系为：两种装法中车辆的数量是一定的，据此列方程． 【详解】解：设这批货物共有x吨， 由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可； （2）直接列出等式即可； （3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边， 所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力． 【经典例题四 已知方程的解，求参数】 【例4】（24-25七年级上·江苏无锡·随堂练习）已知是方程的解，那么a的值是（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．将已知解代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．12 C．14 D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．把代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于x的方程的解，则m的值为 【答案】2 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，把代入关于x的方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先将方程变形为，令，根据题意可得，求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 令， 根据题意可得， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时，对应的整式的值． x 0 1 0 (1)求a，b的值． (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，通过观察，找到合适的对应值代入求解并掌握解一元一次方程的步骤是关键． （1）观察表格数据，利用时，整式值为可以求出b的值，然后再利用时，整式值为0，代入b的值求得a的值，代入求解即可； （2）代入数据，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴为， 解得． 【经典例题五 等式的性质】 【例5】（25-26七年级上·江苏无锡·课后作业）下列不是直接运用等式的基本性质1变形的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质是关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由，得，运用了等式的基本性质，不符合题意； B、由，得，是加法交换律，没有运用等式的基本性质变形，符合题意； C、由，得，运用了等式的基本性质，不符合题意； D、由，得，运用了等式的基本性质，不符合题意； 故选：B. 1．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（   ） 解分式方程： 解：……① ……② ……③ ……④ 经检验：是原方程的解． A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题可根据等式的基本性质，对解分式方程的各个步骤进行分析，判断其是否依据等式基本性质进行变形．等式基本性质1为：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；等式基本性质2为：等式两边同时乘以（或除以）相等的非零的数或式子，两边依然相等．本题主要考查了等式的基本性质以及解分式方程的步骤．熟练掌握等式的基本性质，并能根据其判断方程变形是否合理是解题的关键． 【详解】解：步骤①：将分式方程变形为，是因为方程两边同时乘以了，依据的是等式基本性质2． 步骤②：由得到，是根据去括号法则进行的变形，没有使用等式的基本性质． 步骤③：由得到，是在等式两边同时加上了，即等式两边同时加上同一个整式，依据的是等式基本性质1． 步骤④：是对进行合并同类项得到的，没有使用等式的基本性质． 所以根据等式基本性质的步骤是①③． 故答案为：C． 2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）由，用含x的代数式表示y，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为： 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示的框图表示解方程的流程． （1）第步变形的名称是 ； （2）第步系数化为的依据是 ，结果是 ． 【答案】 移项 等式基本性质 【分析】（）利用等式的基本性质移项即可； （）根据等式的基本性质判断即可； 本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：（）第步骤的名称是移项； （）第系数化为这一步骤的依据是等式的基本性质，结果是， 故答案为：（）移项；（）等式基本性质，． 4．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）解方程：． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 _____，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边都除以，得．……第五步 (1)横线处的步骤为_____，这一步的依据是_____． (2)该同学的解答过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____， (3)请直接写出该方程正确的解． 【答案】(1)移项，等式的基本性质 (2)一；去分母时，常数项没有乘最小公倍数 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．注意去分母时，不要漏乘． （1）根据等式的基本性质，进行作答即可； （2）第一步出现错误，去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：横线处的步骤为移项，这一步的依据是：等式的基本性质； （2）从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，常数项没有乘最小公倍数； （3）解： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得， 方程两边同除以，得． 【拓展训练一 根据等式的性质判断变形是否正确】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1解答即可； （2）根据等式的基本性质2解答即可； （3）根据等式的基本性质1和2解答即可； （4）根据等式的基本性质1和2解答即可． 【详解】（1）解：∵，等式两边同时加上得：． （2）解：，等式两边同时除以得：． （3）解：，先两边同时减去得， 再同时乘以得：． （4）解：，先两边同时减去1得， 再同时除以得：． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）（1）解方程：； （2）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道解方程题：． 小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下： 小赵：； 小李：； ①这两名同学中，第一步变形结果正确的是______（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是______； ②请写出完整的解题过程． 【答案】（1）；（2）①小李，等式性质2（等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立）；②见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤进行求解即可； （2）①根据等式的性质判断即可； ②按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解方程： 去分母： 移项合并： 化系数为1： （2）①解：根据题意可得： 等号两边同时乘以4，可得：， ∴小李同学的第一步正确；等式性质2（等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立）． 故答案为：小李，等式性质2（等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立） ②解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：． 【拓展训练二 利用等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）新冠肺炎疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． (1)根据题意列出方程； (2)利用等式的性质求出x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，利用等式的性质解方程，寻找题中等量关系，熟练掌握等式的性质是解题的关键； （1）根据题中条件，求出第二批出动的医护人员总数，再根据第二批和第八批医护人员共130名列出方程； （2）利用等式的性质解方程． 【详解】（1）因为第八批该市共出动了x名医护人员，所以第二批共出动了名医护人员． 根据题意，得． （2）将（1）中方程整理，得． 方程两边同时减去10，得． 方程两边同时除以4，得． 2．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算、数字的变化特点，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的式子． （1）根据题目中给出的式子的特点，可以写出第六个等式； （2）根据题目中式子的特点，写出第个等式，然后通过计算说明成立即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 第个等式为：， 理由：设， 则， ， ， ， 即成立． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）（）解方程：． （）下面是小雅同学解一元一次方程的过程，请同学们仔细阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 系数化为，得．……第五步 任务： ①以上求解过程中，第一步变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________． ②从第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． ③该方程的正确解为__________． 【答案】（）；（）①等式的性质；乘法分配律；②三，移项没有变号；③ 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可求解； （）①根据等式的性质和乘法运算律即可求解；②根据移项要变号即可判定求解；③根据解一元一次方程的步骤求出方程的解即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （）①第一步变形的依据是等式的性质；第二步去括号时依据的运算律是乘法分配律， 故答案为：等式的性质；乘法分配律； ②从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项没有变号， 故答案为：三，移项没有变号； ③解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 故答案为：． 【拓展训练三 有规律的方程的解】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）阅读下列材料． 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．⑦ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________． (2)仿照上述探究过程，请你分别将和表示成分数的形式． 【答案】(1)等式的基本性质2；等式的基本性质1 (2) 【分析】（1）根据等式的性质进行填空即可； (2)设两边同时乘以，可得，解方程可得结论；设两边同时乘以，可得，解方程可得结论；对于因为，所以设两边同时乘以，可得，解方程得出即可． 【详解】（1）解：从步骤①“两边同乘以”到步骤②，所以变形的依据是等式的基本性质2；从步骤⑤到步骤⑥，“两边同时减去”变形的依据是等式的基本性质1. （2）解：设， ， ， ， ， ， ． 解：设， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等式的基本性质与一元一次方程的应用，仿照示例列方程是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析，；（3）能，见解析， 【分析】（1）观察方程，可得出规律； （2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方程，然后解方程即可； （3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） （2）正确． 验证如下： 把代入到方程中，左边， 右边，所以是方程的解，小明的推测正确． 第四个方程为． （3）（为正整数，且）． 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 ﹣（x﹣2）＝1 x＝ 　 　　 2 ﹣（x﹣3）＝1 x＝ 3 x＝ ．．． ．．． ．．． （2）方程﹣（x﹣a）＝1的解是x＝，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 【答案】（1）；（2），方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【分析】（1）根据去括号，移项，合并，系数化为1的步骤求解即可； （2）把代入方程中求出a的值，然后找出（1）中方程的规律即可得到答案． 【详解】解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：； （2）∵方程的解是， ∴， ∴， 解得， ∵方程的解为， 方程的解为， 方程的解为， ∴方程的解为， ∴方程是（1）中所给出的一列方程中的一个方程，且是第11个方程． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，数字类的规律型探索，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． 1．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、当时，由，等式两边同时除以，得；当时，等式两边同时除以无意义，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得到，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时乘以，得，该选项等式变形错误； 、由，等式两边同时除以，得，该选项等式变形正确； 故选：． 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得 故选：A 3．（2025·江苏·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值及方程的解，先整理得，根据表格数据，得出当时，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 观察表格数据，得出当时，则； 即关于的方程的解是 故选：D． 5．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，灵活运用等式的性质进行变形是解题的关键． 令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以5．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，从而求得S即可解答． 【详解】解：令， 由等式的基本性质二，等式两边都乘以5可得： ， 由等式的基本性质一，将两个等式相减得： ，即， ∴． 故选：D． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 ． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了等式的性质，利用等式的性质将转化为，再转为为比例式即可求解． 【详解】解：由可得：， 即（或）． 故答案为：（或）． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解得概念，解题的关键是将方程的解代入方程后再解关于a的方程．将代入方程后解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入中可得： ， 解得：． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． 0 2 0 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及代数式求值，据表格提供的数据可直接得出方程的解． 【详解】解：由，化简得： 根据表格得：当时，， 故的解为． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 【答案】 【分析】本题考查了根据方程及其解的规律推导特定方程，解题的关键是找出解的数值与方程中第一个分式的分母、第二个分式的分子中常数项的对应关系． 设方程的解为，观察已知方程：当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为；当时，第一个分式分母为，第二个分式分子为，由此得规律：解为的方程是；将代入规律式，即可得到对应方程． 【详解】解：设方程的解为， 由已知规律：解为时，方程第一个分式的分母为，第二个分式的分子为，右边恒为1， 故方程形式为． 当时，，， 代入得方程：． 故答案为：． 10．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·课后作业）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)＝ (2)＝ 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握等式的性质2是解题的关键． （1）方程两边同时除以5，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）是不是方程和的解？ 【答案】是方程和的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 13．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是； （2）将分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则是该方程的解，否则不是． 【详解】（1）解：当时， 左边， 右边， 左边=右边， ∴是该方程的解． （2）解：当时， 左边， 右边， 左边≠右边， ∴不是方程的解． 【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 14．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）天平右边托盘有3个一样的小铁块，每个铁块重，左边托盘有5个一样的砝码，每个砝码重，天平平衡表示．请你编一道实际生活情境的应用问题，满足等量关系，并和同学交流． 【答案】某文具店零售钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，买3支钢笔与买5本笔记本的价钱恰好相同，用等量关系表示为（答案不唯一） 【分析】本题考查了根据等量关系列方程，正确理解题意是解题的关键． 根据实际生活中的实例，只要满足等量关系即可，答案不唯一． 【详解】解：某文具店零售钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元，买3支钢笔与买5本笔记本的价钱恰好相同，用等量关系表示为（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等式与方程重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断各式是否是方程 题型二 判断是否是方程的解 题型三 列方程 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 等式的性质 拓展训练一 根据等式的性质判断变形是否正确 拓展训练二 利用等式的性质解方程 拓展训练三 有规律的方程的解 知识点一：方程的定义 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）已知是关于的一元一次方程，则 ． 知识点二：方程的解 解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如果是关于的方程的解，则 ． 知识点三： 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）用“”、“”、“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设，，分别表示“”、“”、“”的质量，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2（2025·江苏南京·模拟预测）若，表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化．如下表： 0 1 3 … 1 3 5 9 … 则关于的一元一次方程的解是 ． 【经典例题一 判断各式是否是方程】 【例1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·江苏无锡·单元测试）含有未知数的 是方程，例如：． 3．（24-25七年级·江苏常州·假期作业）下列各式是方程的有 ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 4．（24-25七年级上·江苏无锡·单元测试）现有四个整式： (1)若选择其中两个整式用等号连接，则共能组成___________个方程； (2)请列出（1）中所有的一元一次方程，并解方程． 【经典例题二 判断是否是方程的解】 【例2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）是下列哪个方程的解？（　　） A． B． C． D． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·单元测试）观察下表，关于x的方程的解是（    ） x … 0 1 2 … … −5 1 3 5 … … … A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏·模拟预测） 方程 的解．（填“是”或“不是”） 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）整式的值随着x的取值的变化而变化，下表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 4．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【经典例题三 列方程】 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）某班30位同学，在绿色护植活动中共种树72棵，已知女生每人种2棵，男生每人种3棵，设女生有人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏·模拟预测）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）列式表示：比大5的数等于的2倍与的差 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）汽车队运送一批货物若每辆车装4吨，还剩下8吨未装；若每辆车装4.5吨，恰好装完，求这批货物共有多少吨？若设这批货物共有吨，则所列的方程为 ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【经典例题四 已知方程的解，求参数】 【例4】（24-25七年级上·江苏无锡·随堂练习）已知是方程的解，那么a的值是（    ） A．5 B．1 C． D． 1．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）已知是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．12 C．14 D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于x的方程的解，则m的值为 3．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时，对应的整式的值． x 0 1 0 (1)求a，b的值． (2)求关于x的方程的解． 【经典例题五 等式的性质】 【例5】（25-26七年级上·江苏无锡·课后作业）下列不是直接运用等式的基本性质1变形的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 1．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）如图，在框中解分式方程的4个步骤中，根据等式基本性质的是（   ） 解分式方程： 解：……① ……② ……③ ……④ 经检验：是原方程的解． A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 2．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）由，用含x的代数式表示y，得 ． 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图所示的框图表示解方程的流程． （1）第步变形的名称是 ； （2）第步系数化为的依据是 ，结果是 ． 4．（24-25七年级上·山西晋城·阶段练习）解方程：． 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……第二步 _____，得，……第三步 合并同类项，得，……第四步 方程两边都除以，得．……第五步 (1)横线处的步骤为_____，这一步的依据是_____． (2)该同学的解答过程从第_____步开始出现错误，错误的原因是_____， (3)请直接写出该方程正确的解． 【拓展训练一 根据等式的性质判断变形是否正确】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 3．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）（1）解方程：； （2）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道解方程题：． 小赵与小李两名同学的第一步变形结果分别如下： 小赵：； 小李：； ①这两名同学中，第一步变形结果正确的是______（填“小赵”或“小李”），这一步的变形依据是______； ②请写出完整的解题过程． 【拓展训练二 利用等式的性质解方程】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）新冠肺炎疫情期间，某市共出动八批，共计1362名医护人员驰援武汉，他们是新时代最可爱的人．第二批和第八批医护人员共130名乘坐飞机返回该市，其中第二批的人数是第八批人数的3倍还多10名，设第八批该市共出动了x名医护人员． (1)根据题意列出方程； (2)利用等式的性质求出x的值． 2．（2025·安徽·模拟预测）观察下列等式： …… (1)根据上述规律，写出第六个等式为 ． (2)请写出第个等式，并利用整式的乘除说明你写出的等式成立． 3．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）（）解方程：． （）下面是小雅同学解一元一次方程的过程，请同学们仔细阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 系数化为，得．……第五步 任务： ①以上求解过程中，第一步变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________． ②从第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． ③该方程的正确解为__________． 【拓展训练三 有规律的方程的解】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）阅读下列材料． 问题：怎样将表示成分数？ 小明的探究过程如下： 设，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ ．⑦ 根据以上信息，回答下列问题： (1)从步骤①到步骤②，变形的依据是________；从步骤⑤到步骤⑥，变形的依据是________． (2)仿照上述探究过程，请你分别将和表示成分数的形式． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： ①； ②； ③； ④… （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息； （2）小明通过计算发现，第一个方程的解是，第二个方程的解为，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为，并写出了第四个方程．请你验证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理由； （3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为（为正整数，且）的方程吗？ 3．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）（1）如表，方程1，方程2，方程3，．．．是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的横线处； 序号 方程 方程的解 1 ﹣（x﹣2）＝1 x＝ 　 　　 2 ﹣（x﹣3）＝1 x＝ 3 x＝ ．．． ．．． ．．． （2）方程﹣（x﹣a）＝1的解是x＝，求a的值．该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？ 1．（24-25七年级上·河南焦作·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．（24-25七年级上·广东江门·期中）若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 3．（2025·江苏·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）代数式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的代数式的值，则关于的方程的解是（  ） 0 1 2 3 8 6 4 2 0 A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）求的值．可以采用下面的方法：令，由等式的基本性质二，等式两边都乘以．有，由等式的基本性质一，可将两个等式相减，有，所以，仿照上面的推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则 ． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若是方程的解，则 ． 8．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）整式（a、b为常数，）的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解是 ． 0 2 0 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； … 根据观察得到的规律，写出其解是的方程：__________． 10．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 11．（25-26七年级上·江苏无锡·课后作业）解方程． (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）是不是方程和的解？ 13．（2025七年级上·江苏无锡·模拟预测）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解． (1)； (2)． 14．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 15．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）天平右边托盘有3个一样的小铁块，每个铁块重，左边托盘有5个一样的砝码，每个砝码重，天平平衡表示．请你编一道实际生活情境的应用问题，满足等量关系，并和同学交流． 学科网（北京）股份有限公司 $