专题03 整式的加减重难点题型专训（3个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题03整式的加减重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 同类项的判断 题型二 去括号 题型三 添括号 题型四 合并同类项 题型五 整式的加减运算 题型六 整式的加减中的化简求值 题型七 整式加减中的无关型问题 题型八 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型九 带有字母的绝对值化简问题 题型十 整式加减的应用 拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题 拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合 拓展训练三 整式加减的图形类规律探索 拓展训练四 整式加减的数字类规律探索 拓展训练五 整式加减的新定义计算 知识点一：去括号、添括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列变形，错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）把算式放入前面带有“”的括号内： ． 知识点二：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）墨迹覆盖了等式中的多项式，则被覆盖的多项式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 知识点三：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）合并同类项的结果等于（   ） A． B． C．1 D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）一个单项式A与多项式的和为单项式，则 ．（写出一个即可） 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】（24-25七年级上·重庆·期中）下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（24-25七年级上·广东清远·期中）在下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）写出一个与是同类项的项： ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）请写出一个与为同类项的整式： ． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【经典例题二 去括号】 【例2】（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·江苏苏州·模拟预测）根据去括号法则，在“”中填上“+”或“−”，正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．+，+，−，− B．+，−，+，− C．−，−，−，+ D．+，−，−，− 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）去括号： ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）去括号法则： 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ； 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·随堂练习）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题三 添括号】 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列说法：①比小2的数是；②若，互为相反数，则；③若，，则；④若多项式的值为5，则多项式的值为，其中正确的为 （填序号） 4．（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【经典例题四 合并同类项】 【例4】（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）合并同类项＝ ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）江津市民广场摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型盆景．甲种盆景由15朵红花、20朵黄花和25朵紫花搭配成，乙种盆景由10朵红花和10朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、15朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2700朵红花，3500朵紫花，则黄花一共用了 朵． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【经典例题五 整式的加减运算】 【例5】（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）如图，已知四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如题图，已知油用去一半时，桶和油的质量一共是mkg．当再次装满油时，桶和油的质量一共是nkg，则桶的质量是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）长方形的一边长等于，另一边比它小，那么这个长方形的周长是 ． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）由于看错了符号，某学生把一个整式减去误认为加上，得到答案，则该计算正确的结果应为 ． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）整式加减综合题： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【经典例题六 整式的加减中的化简求值】 【例6】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，，，，．则下列说法正确的个数是（    ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数和正整数，使得； ④如果多项式中不含x一次项，那么多项式M的值一定不小于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于任何有理数，我们规定符号的意义是，如，当时，值为 ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）若m，n都是“英华数”，且，则 ． 4．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）计算或化简求值： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)先化简，再求值：，其中，． 【经典例题七 整式加减中的无关型问题】 【例7】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）多项式与多项式相加后，不含二次项，则常数m的值是（　　） A．2 B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）对于整数a，b，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（    ） ①当时，则； ②已知，，且的值与x的取值无关，则； ③已知x，y，z是非零的有理数，且时，则的值为m，则或14； ④已知关于x的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数m记为，最大的整数m记为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若关于x、y的多项式不含二次项，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    4．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【经典例题八 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例8】（24-25七年级上·云南昆明·期中）若与是同类项，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图所示的是嘉淇同学的答题情况，则她的得分应是（   ） 姓名嘉淇    得分？填空题（共5个小题、答对一个小题得20分） ①的绝对值是1 ②比较大小： ③将0.0954精确到百分位的近似数是0.1． ④的系数是 ⑤若与是同类项，则的值为5 A．40分 B．80分 C．60分 D．100分 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）单项式与是同类项，则代数式的值是 ． 3．（24-25七年级上·江苏·期中）已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 4．（25-26七年级上·浙江·期中）计算或化简求值： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中：与是同类项． 【经典例题九 带有字母的绝对值化简问题】 【例9】（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 1．（2025·重庆巴南·模拟预测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是或； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①若满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数，，满足，则， 其中正确的是有 （填序号）． 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程． 【提出问题】两个有理数a，b满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b两个有理数都为正数或都为负数． 分下列两种情况讨论： ①当a，b都是正数，即时，则； ②当a，b都是负数，即时，则． 综上所述，值为2或． 请根据上面的解题思路，解答下面的问题． (1)三个有理数a，b，c满足，求的值． (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【经典例题十 整式加减的应用】 【例10】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知三角形的底边长是，这条底边上的高是，长方形的长是，宽是．哪个图形的面积大？大多少？（其中） 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“和九数”．对于一个“和九数”m，将它的十位数字与个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“和九数”m，若能被4整除，则满足条件的“和九数”m的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）请仔细阅读并完成相应任务 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念……性质……判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）……猜想……推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)直接写出研究报告中“”处短缺的内容 ； (2)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）某地区有长方形水稻试验田，试验田的长为米，宽为米，试验田分两部分，一部分为新型水稻种植田（阴影部分），另一部分为水渠，水渠有两种图形（如图所示），型试验田如图，水渠为半径是米的扇形，型试验田如图，水渠是边长为米的正方形． (1)用含、、的式子表示，型试验田的水稻种植面积是______平方米，型试验田的水稻种植面积是______平方米．（保留） (2)若型水稻试验田有块，型水稻试验田有块，则用含、、的式子表示新型水稻种植田的总面积是多少平方米？（取） (3)在（）的条件下，若，，时，在“农民丰收节”到来之际，水稻成熟，计划由甲型收割机收割总面积的，其余面积由乙型收割机收割，甲型收割机收割每平方米水稻的费用为元，乙型收割机收割每平方米水稻的费用为元，则种植田全部收割完需要多少元钱？（取） 【拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 2．（24-25七年级上·山东滨州·期中）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则．请尝试解决： 若，，求的值． 3．（24-25七年级上·河北衡水·期中）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了． （1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； （2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式． 【拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合】 1．（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图1，是由两个圆柱体组成的瓶子，瓶内盛满水，两个圆柱体的底圆直径分别为2a和a，高分别为6和2．如图2的底圆直径分别为，高为8．如果将图1瓶子中的水全部倒入图2的杯子中（尽可能的装满）． (1)当时，试求一共需要多少个图2这样的杯子． (2)直接回答当时，一共需要多少个图2这样的杯子． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，的绝对值是，的相反数还是，是最小的正整数． (1)，，_． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数表示的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，用含的代数式分别表示秒钟过后，点与点之间的距离，点与点之间的距离，点与点之间的距离； (4)小明发现，在式子“”中，“”内填入一个数字，就能使式子的值不会随着的变化而改变．请你确定这个数字是什么，并说明理由． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项．具体解题过程如下： 原式． 代数式的值与的取值无关， ． 解得：． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【能力提升】 （3）8张如图1的长为，宽为的小长方形平铺在大长方形中（如图2），大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【拓展训练三 整式加减的图形类规律探索】 1．（2025七年级上·江苏镇江·模拟预测）如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）据统计，2023年，山西新增公路通车里程公里，年末公路通车里程万公里，其中高速公路公里．根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含________个C原子； （2）图的分子中含________个C原子； 【规律运用】 （3）若图和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存在怎样的数量关系．   小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（）时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中 ， ． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系． (2)请根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）时，写出探索过程，并归纳出m，t之间满足的等量关系． (3)当多边形的边数为n时，请直接写出时n，m，t之间满足的等量关系． 【拓展训练四 整式加减的数字类规律探索】 1．（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 2．（25-26七年级上·江西宜春·阶段练习）观察下列等式： ， ， ， … 试根据以上规律，解答下列问题： (1) （为正整数）； (2)计算：； (3)将2025减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到减去余下的，最后的结果是多少？ 3．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【拓展训练五 整式加减的新定义计算】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 3．（24-25七年级上·湖北·期中）［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）若的值为12，则的值为（    ） A．10 B．22 C．24 D．34 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）如果多项式减去的差为，那么多项式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·广东·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 5．（24-25七年级上·湖北·期中）把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 6．（2025·河南周口·模拟预测）请写出一个能与合并成一项的单项式： ． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）若一个多项式减去的差是，那么这个多项式是 ． 9．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）将自然数0，1，2，3，……，按第组含个数分组：，，，……，记表示第组中第个数，如．若，则 ， ． 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把4张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2所示长方形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为．记的长为x，若的值与x无关，则可表示为 ．（用含a的式子表示） 11．（2025七年级上·江苏苏州·模拟预测）合并同类项：． 12．（24-25七年级上·甘肃·期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求用手捂住的多项式； (2)若a，b满足：，请求出所捂住的多项式的值． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·课堂例题）分别按下列要求把多项式添上括号： (1)把前两项括到前面带有“”号的括号里，后两项括到前面带有“”号的括号里； (2)把后三项括到前面带有“”号的括号里； (3)把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里，把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里． 14．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 15．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 10 6 6 2 6 4 12 (1)观察图1，补全表格． (2)观察图1中的①、③、④可以发现，i每增加1时，面积增加_____；观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加 ．根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图2的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03整式的加减重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 同类项的判断 题型二 去括号 题型三 添括号 题型四 合并同类项 题型五 整式的加减运算 题型六 整式的加减中的化简求值 题型七 整式加减中的无关型问题 题型八 已知同类项求指数中字母或代数式的值 题型九 带有字母的绝对值化简问题 题型十 整式加减的应用 拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题 拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合 拓展训练三 整式加减的图形类规律探索 拓展训练四 整式加减的数字类规律探索 拓展训练五 整式加减的新定义计算 知识点一：去括号、添括号 1.去括号法则： 括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如； 括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如. （1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项； （2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号； （3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形. 2.添括号法则： 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列变形，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号及添括号法则，即可一一判定． 【详解】解：A、B、C都正确 添括号后，括号前是负号，括到括号里的各项都要变号，故， 故D不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了去括号及添括号法则，熟练掌握和运用去括号及添括号法则是解决本题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）把算式放入前面带有“”的括号内： ． 【答案】 【分析】利用添括号法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了添括号法则，解题的关键是熟练掌握添括号法则． 知识点二：整式的加减 1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项. 2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号. 3.整式加减的应用 （1）整式的化简求值 一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算. （2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法 若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0. （3）解决多项式能否被一个数整除类问题 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）墨迹覆盖了等式中的多项式，则被覆盖的多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据“被减数=减数+差”即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 被覆盖的多项式， 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·课后作业）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式加减运算等，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号，再合并同类项即可， （2）先去括号，再合并同类项即可， 【详解】（1）， 故答案为：. （2）， 故答案为：. 知识点三：合并同类项 同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项. 1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可； 2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项； 4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项. 6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变. 7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）： （1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记； （2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并； （3）利用合并同类项法则，合并同类项； （4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列. 8.易错点： （1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； （2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并； （3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； （4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0. 【即时训练】 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）合并同类项的结果等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）一个单项式A与多项式的和为单项式，则 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了合并同类项和单项式的定义，解决此题的关键是要读懂题意，多项式要消去一项，即为单项式，可得到结果； 【详解】解：∵一个单项式A与多项式的和为单项式， ∴， 故答案为：． 【经典例题一 同类项的判断】 【例1】（24-25七年级上·重庆·期中）下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项定义逐一判断，即得． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项． C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：B． 1．（24-25七年级上·广东清远·期中）在下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同，据此判断即可． 【详解】解：A、与所含的字母相同，相同字母指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、与所含的字母不同，不是同类项，故选项不符合题意； C、与所含的字母相同，相同字母指数也相同，是同类项，选项符合题意； D、与所含的字母不同，不是同类项，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义：字母相同，相同字母的指数也相同是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）写出一个与是同类项的项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类项，根据所含字母相同，相同字母的指数也相同的项为同类项，进行作答即可. 【详解】解：与是同类项的项可以是； 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）请写出一个与为同类项的整式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的知识．熟练掌握同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，是解题的关键． 根据同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，书写即可，注意同类项与字母的顺序无关． 【详解】解：如，答案不唯一． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与是同类项，与是同类项，1与是同类项． (2)与是同类项，与是同类项 【分析】本题考查多项式中的同类项，注意掌握多项式中同类项的特征是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，以及常数项也是同类项． （1）由题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可； （2）根据题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可． 【详解】（1）解：， 与是同类项，与是同类项，1与是同类项； （2）解：， 与是同类项，与是同类项． 【经典例题二 去括号】 【例2】（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号．根据去括号法则，进行计算后，判断即可．掌握去括号法则，是解题的关键． 【详解】解：； 故选：D． 1．（2025七年级上·江苏苏州·模拟预测）根据去括号法则，在“”中填上“+”或“−”，正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．+，+，−，− B．+，−，+，− C．−，−，−，+ D．+，−，−，− 【答案】D 【分析】本题考查整式的去括号．熟练掌握去括号法则，是解题的关键． 根据括号前的符号确定各项的符号变化，逐一分析每个小题的符号选择． 【详解】①； 左边填“+”，则展开为，与右边相等，故填“+”． ②； 左边填“−”，则展开为，与右边相等，故填“−”． ③； 左边填“−”，则展开为，与右边一致，故填“−”． ④； 左边填“−”，则展开为，与右边相等，故填“−”． 综上，符号依次为+，−，−，−． 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期中）去括号： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）去括号法则： 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ； 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都 ． 【答案】 不变 改变 【分析】本题考查去括号法则，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变． 【详解】括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不变； 括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变； 故答案为：不变；改变． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·随堂练习）去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查去括号的法则，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变．运用这一法则去掉括号．根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【经典例题三 添括号】 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据添加括号法则分析判断即可． 【详解】解：根据添括号法则，可得 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意，而C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了添加括号法则，理解并掌握添加括号法则是解题关键． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，理解“变括操作”的定义是解题关键．根据“变括操作”的定义，利用整式加减的运算法则逐个判断即可得． 【详解】解：由“变括操作”的定义可知，任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号， 所以不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；说法①正确； 要使其运算结果与原多项式之和为0， 则只有一种“变括操作”，即，说法②正确； 若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”有以下五种： ， ， ， ， ， 由此可知，若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：D． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值，运用整体思想把代入计算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）下列说法：①比小2的数是；②若，互为相反数，则；③若，，则；④若多项式的值为5，则多项式的值为，其中正确的为 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】①根据题意列式计算即可；②0的相反数为0，而没有意义；③即，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；④由，可得，而，整体代入即可求值． 【详解】解：①，即比小2的数是，故正确； ②0与0互为相反数，此时没有意义，故错误； ③由，得，故正确； ④由，可得，而，故正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题考查的是相反数、绝对值的概念及性质，列代数式以及代入求值，同时还考察了利用整体思想代入求值． 4．（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后将代入求值即可； （2）将变形为，然后将，代入求值即可； （3）将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，添括号等知识点，对原式进行适当变形并运用整体代入法求值是解题的关键． 【经典例题四 合并同类项】 【例4】（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减法则是解题的关键 根据直接利用整式的加减运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故该选项符合题意； B．，原式计算错误，故该选项不符合题意； C．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 【答案】C 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形，…… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江西上饶·期中）合并同类项＝ ． 【答案】x2﹣x+1 【分析】根据合并同类项的法则进行计算即可解答． 【详解】解：3x2﹣2x﹣2x2+x+1＝x2﹣x+1， 故答案为：x2﹣x+1． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）江津市民广场摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型盆景．甲种盆景由15朵红花、20朵黄花和25朵紫花搭配成，乙种盆景由10朵红花和10朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、15朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2700朵红花，3500朵紫花，则黄花一共用了 朵． 【答案】3400 【分析】假设甲种盆景有x盆，则可知丙种盆景有盆，乙种盆景有盆，所以黄花有朵． 【详解】解：设江津市民广场摆放了x盆甲种盆景， ∵这些盆景一共用3500朵紫花， ∴丙种盆景盆， ∵这些盆景一共用2700朵红花， ∴乙种盆景盆 ∴黄花有朵， 故答案为：3400． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲盆景有x盆，利用条件找出乙盆景和丙盆景的数量，并用含x的式子表达是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． （1）找出同类项，合并即可； （2）去括号，然后合并同类项计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【经典例题五 整式的加减运算】 【例5】（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）如图，已知四边形和四边形都是长方形，则它们的面积之和为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加法的应用，根据图示分别表示出两个长方形的面积，然后求它们的面积之和即可求解． 【详解】解：依题意，四边形和四边形的面积之和为 故选：C． 1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如题图，已知油用去一半时，桶和油的质量一共是mkg．当再次装满油时，桶和油的质量一共是nkg，则桶的质量是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列代数式，根据题意列代数式即可． 【详解】解：当再次装满油时，桶和油的质量一共是nkg，则油的质量为： ∴桶的重量是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）长方形的一边长等于，另一边比它小，那么这个长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，解题的关键是先求另一边长，再利用长方形的周长（长宽），代入化简即可． 【详解】解：由题意可得：另一边长：， 所以长方形的周长是：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·云南昆明·期中）由于看错了符号，某学生把一个整式减去误认为加上，得到答案，则该计算正确的结果应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算．先根据加式、加式及和的关系列式求得未知加式，然后再根据题意列式运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：设原来的整式为，则， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）整式加减综合题： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）先去小括号、再去中括号，然后合并同类项即可； （2）先化简，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题六 整式的加减中的化简求值】 【例6】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，先把变形为，再把所求的整式化简然后利用整体代入求值即可，熟练掌握运算法则及整体代入是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 原式 ， 故选：． 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知，，，，．则下列说法正确的个数是（    ） ①多项式的值与x的取值无关； ②当时，多项式的值为8； ③存在正整数和正整数，使得； ④如果多项式中不含x一次项，那么多项式M的值一定不小于4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的有关运算，整式的混合运算，多项式中不含某项，根据整式的运算法则计算即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：① ，故①选项符合题意； ② ， 当时， 原式，故②不符合题意； ③， ∴，即， 当和为时，，故③符合题意；     ④ ， ∵多项式中不含x一次项， ∴， ∴， ∴原式，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有3个， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于任何有理数，我们规定符号的意义是，如，当时，值为 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质先求解，，再把化简，再把，代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ∴ ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算的化简求值，理解新定义运算的含义是解本题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“英华数”，定义新运算：将一个“英华数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，，和与11的商，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）计算： ． （2）若m，n都是“英华数”，且，则 ． 【答案】 9 【分析】（1）根据的含义计算即可； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则可分别表示出原两位数及两个数位交换后的新两位数，从而求得及；再由，可得这两个两位数的个位之和为，十位之和为，则可求得结果的值． 【详解】（1）对调个位与十位后得，则； 故答案为：9； （2）设m的十位数字、个位数字分别为b、c，n的十位数字、个位数字分别为d、e，则，，两个数位交换后的新两位数分别为，， ∴，同理； ∵， ∴这两个两位数的个位之和为，十位之和为，即，； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题是新定义问题，考查了列代数式、求代数式的值，理解题中的概念、运用整体思想是解题的关键． 4．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）计算或化简求值： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式加减中的化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先去绝对值，进行乘除运算，再进行加减运算即可； （2）先进行括号内的计算，再进行除法运算； （3）带分数化为整数和真分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可； （4）根据混合运算的法则进行计算即可； （5）去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； 当，时，原式． 【经典例题七 整式加减中的无关型问题】 【例7】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）多项式与多项式相加后，不含二次项，则常数m的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相加之后不含二次项，可知合并后的二次项的系数为0，由合并同类项法则求解． 【详解】解：， ∵相加后不含二次项， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则以及合并同类项法则． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）对于整数a，b，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．则下列结论正确的有（    ） ①当时，则； ②已知，，且的值与x的取值无关，则； ③已知x，y，z是非零的有理数，且时，则的值为m，则或14； ④已知关于x的方程的解是正整数，满足条件的最小的整数m记为，最大的整数m记为，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①直接根据新定义运算即可；②先根据的值与x的取值无关求出a和b的值，然后根据新定义计算即可；③分两种情况求出m的值，然后根据新定义计算即可；④先求出，，然后根据新定义计算即可． 【详解】①∵，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵x，y，z是非零的有理数，且， ∴x，y，z三个数都是正数或一个正数两个负数． 当三个数都是正数时， ， ∵， ∴； 当一个正数两个负数时，不妨设， ， ∵， ∴．故③错误； ④解，得， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴， ∴， ∵最小的整数m记为，最大的整数m记为， ∴，， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的加减无关型问题，化简绝对值等知识，正确理解新定义规定的运算是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若关于x、y的多项式不含二次项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查并同类项、无关项等知识点，掌握无关项的系数为0成为解题的关键． 首先合并同类项，然后根据不含二次项可知项的系数是0，据此列方程计算即可． 【详解】解：， ∵该多项式不含二次项， ∴，解得． 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长发生变化时，的值始终保持不变，则a与b的等量关系为 ．    【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减中的无关型问题，理解题意是解题关键．设，分别表示出、，进而得到，再根据的长发生变化时，的值始终保持不变，得到，即可求解． 【详解】解：设， 则，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 4．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据，结合整式的加减计算法则求解即可； （2）根据，结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据题意的值与x的取值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴          ； （2）解： ，      ∵当x取任意有理数，的值是一个定值， ∴的值与x的取值无关， ∵， ∴， ∴． 【经典例题八 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 【例8】（24-25七年级上·云南昆明·期中）若与是同类项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义即可求出和的值，从而求出的值. 【详解】解：与是同类项， 则，， 则， 故选B． 【点睛】本题考查的整式同类项，解题的关键在于熟练掌握同类项的含义，同类项即所含字母相同并且相同字母的指数也相同． 1．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图所示的是嘉淇同学的答题情况，则她的得分应是（   ） 姓名嘉淇    得分？填空题（共5个小题、答对一个小题得20分） ①的绝对值是1 ②比较大小： ③将0.0954精确到百分位的近似数是0.1． ④的系数是 ⑤若与是同类项，则的值为5 A．40分 B．80分 C．60分 D．100分 【答案】C 【分析】分别根据有理数的绝对值、大小比较、近似数，单项式的系数、同类项的定义逐个判定即可解答． 【详解】解：①的绝对值是1，故①正确； ②，故②正确； ③0.0954精确到百分位的近似数是0.10，故③错误； ④的系数是，故④错误； ⑤若与是同类项，则，，则，故⑤正确． ∴嘉淇同学答对了3题，她的得分应是（分）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的绝对值，大小比较，近似数，单项式的系数，同类项，有理数乘法，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）单项式与是同类项，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项定义，理解同类项的定义要把握以下两点①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可；②所有常数项都是同类项． 先根据同类项的定义求得m、n的值，然后代入运用乘方计算即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，即， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏·期中）已知，为常数，且三个单项式，，的和仍然是单项式，则 ． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查同类项的定义，合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 根据题意可得或，进而求出与的值； 【详解】解：∵三个单项式，，的和仍然是单项式， ∴或， ∴，，或，， ∴或， 即或3， 故答案为：2或3． 4．（25-26七年级上·浙江·期中）计算或化简求值： (1)； (2)． (3)先化简，再求值：，其中：与是同类项． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的混合运算及求值： （1）利用乘法交换律和结合律进行简便计算； （2）先计算乘方，并把除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减； （3）先去括号，合并同类项，再根据同类项的定义确定a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ． （3）解： ， ∵与是同类项， ∴， ∴， 当时， 原式． 【经典例题九 带有字母的绝对值化简问题】 【例9】（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如果 ，那么 的值为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，绝对值的意义，利用，得出有一个正数，二个负数是解题关键．根据，得出中有1个正数，2个负数，设，，，化简绝对值即可求解．． 【详解】解：∵， ∴中有1个正数，2个负数． 不妨设，，，则 ． 故选：C． 1．（2025·重庆巴南·模拟预测）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是或； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，根据“运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 解得或，故①正确； ②由题意得，， 即， ∴，故②正确； ③对进行“运算”得，， 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，； ∴的“运算”化简后的结果可能存在种不同的表达式， 故③错误； ∴正确的个数是个， 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江·期中）将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，代入代数式中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求得50个值，则这 50个值的和的最大值是 ． 【答案】3775 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算，假设两个数中较大的数为，则：，得到50个值的和为50组数中较大的数的和，进而得到最大值为从51开始到100这50个数的和最大，进行计算即可． 【详解】解：设两个数中较大的数为，即：， ∴， ∴50个值的和为50组数中较大的数的和， ∴这 50个值的和的最大值是； 故答案为：3775． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①若满足，则； ②若，则； ③若，则是正数； ④若三个有理数，，满足，则， 其中正确的是有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了绝对值，关键是熟悉①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．如果用字母表示有理数，则数 绝对值要由字母本身的取值来确定：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零．依此即可求解． 【详解】解：①若满足，则， 则， 当时，， 故①的说法是错误的； ②若，则， ∴， 故②的说法是正确的； ③当时，分四种情况讨论： 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 当，且时，，则是正数， 故③的说法是正确的； ④当、、三个都是正数时，则，不符合题意； 当、、有两个正数，一个负数时，不妨设、为正，则， ； 当、、有两个负数，一个正数时，不妨设、为负，则，不符合题意； 当、、三个都是负数时，则，不符合题意； 当三个有理数，，满足，则， 故④的说法是错误的； 故答案为：②③ 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程． 【提出问题】两个有理数a，b满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b两个有理数都为正数或都为负数． 分下列两种情况讨论： ①当a，b都是正数，即时，则； ②当a，b都是负数，即时，则． 综上所述，值为2或． 请根据上面的解题思路，解答下面的问题． (1)三个有理数a，b，c满足，求的值． (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)3或 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由题意，得a，b，c都是正数或其中一个为正数，另两个为负数，分下列两种情况讨论求解； （2）由题意得a，b，c中正数有2个，负数有1个，则，再化简绝对值． 【详解】（1）解：由题意，得a，b，c都是正数或其中一个为正数，另两个为负数，分下列两种情况讨论： ①当a，b，c都是正数，即时， ； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， ． （2）解：因为a，b，c为三个不为0的有理数，且， 所以a，b，c中正数有2个，负数有1个， 所以， 所以. 【经典例题十 整式加减的应用】 【例10】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）已知三角形的底边长是，这条底边上的高是，长方形的长是，宽是．哪个图形的面积大？大多少？（其中） 【答案】三角形的面积大，大 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，先表示出三角形和长方形的面积，再利用作差法解答即可求解，正确表示出三角形和长方形的面积是解题的关键． 【详解】解：三角形的面积为：， 长方形的面积为：， ， ∵， ∴三角形的面积大，大． 1．（25-26七年级上·吉林长春·期中）把如图的两张大小相同的长方形卡片放置在图与图中的两个相同大长方形中，已知这两个大长方形的长比宽长，若记图中阴影部分的周长为，图中阴影部分的周长为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据实际意义列出相对应的代数式并化简是解题的关键．设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 分别求出两阴影部分的周长，再作差，根据整式的加减化简即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的长为，宽为， 由图可得，， 这两个大长方形的长比宽长 ， ， 由图可知：阴影部分的周长， 由图可知：阴影部分的周长， ， 故选：． 2．（24-25七年级上·重庆·期中）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0），若满足，则称这个三位正整数为“和九数”．对于一个“和九数”m，将它的十位数字与个位数字交换以后得到新数n；记，则 ，对于一个“和九数”m，若能被4整除，则满足条件的“和九数”m的最大值是 ． 【答案】 116 531 【分析】本题考查新定义运算，整式的运算，理解新定义是解题的关键．按照的定义计算即可；设，则，由题可得，由能被4整除，即是4的整数倍，得到，b最大时，“合九数”m最大，得到结果． 【详解】解：； 设，则， ∴， 又∵， ∴， 即 ， ∵能被4整除， ∴是4的整数倍， 又的整数， ∴， 即：， ∵b最大时，“合九数”m最大， 所以当时，m最大为． 故答案为：116；531． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）请仔细阅读并完成相应任务 关于“对称式”的研究报告 善思小组研究对象：对称式 研究思路：按“概念……性质……判定”的路径，由一般到特殊进行研究 研究方法：观察（测量、实验）……猜想……推理证明 【一般概念】一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫做对称式． 【特例研究】①式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，，，因为，所以是对称式． ②式子中字母a，b交换位置，得到式子，因为，所以___△___对称式． 问题： (1)直接写出研究报告中“”处短缺的内容 ； (2)已知，，求，并直接判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)不是 (2)，不是 【分析】本题考查了整式的加减，正确理解新定义和熟练进行整式运算是关键． （1）根据对称式的定义判断，即可求解； （2）将整式化简后，按照对称式定义进行验证即可． 【详解】（1）解：根据对称式的定义：因为，所以不是对称式． 故答案为：不是； （2）解： ； 根据对称式的定义，，结果不是对称式． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）某地区有长方形水稻试验田，试验田的长为米，宽为米，试验田分两部分，一部分为新型水稻种植田（阴影部分），另一部分为水渠，水渠有两种图形（如图所示），型试验田如图，水渠为半径是米的扇形，型试验田如图，水渠是边长为米的正方形． (1)用含、、的式子表示，型试验田的水稻种植面积是______平方米，型试验田的水稻种植面积是______平方米．（保留） (2)若型水稻试验田有块，型水稻试验田有块，则用含、、的式子表示新型水稻种植田的总面积是多少平方米？（取） (3)在（）的条件下，若，，时，在“农民丰收节”到来之际，水稻成熟，计划由甲型收割机收割总面积的，其余面积由乙型收割机收割，甲型收割机收割每平方米水稻的费用为元，乙型收割机收割每平方米水稻的费用为元，则种植田全部收割完需要多少元钱？（取） 【答案】(1)， (2)平方米 (3)元 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减的实际应用，代数式求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）根据整式的加减运算法则计算即可； （）把，，代入（）的结果求出总面积，进而分别求出甲型和乙型收割机的费用，再相加即可求解； 【详解】（1）解：型面积：平方米， 型面积：平方米， 故答案为：，； （2）解： 平方米， 答：新型试验田的水稻种植面积是平方米； （3）解：当，，时， （平方米）， 甲：（元）， 乙：（元）， 共计：（元）， 答：种植田全部收割完需要元． 【拓展训练一 整式加减的破损、遮盖问题】 1．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·山东滨州·期中）（1）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数轴上和3之间的数据，如图： 若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：的值； （2）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．我们知道，．类似的我们可以把看成一个整体．则．请尝试解决： 若，，求的值． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体思想的应用； （1）先根据题意求出x，y，再化简整式并代入求值即可； （2）把变形为，把变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：是和3之间的最大整数， ， 是和3之间的最小整数， ， 又， 当，时， 原式； （2）解：，， ． 3．（24-25七年级上·河北衡水·期中）老师设计了一个数学实验，给甲、乙、丙三名同学各一张写有已化为最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则实验成功．甲、乙、丙的卡片如下，丙的卡片有一部分被遮挡了． （1）计算出甲减乙的结果，并判断甲减乙能否使实验成功； （2）小亮发现丙减甲可以使实验成功，请求出丙的代数式． 【答案】（1）甲-乙，不成功；（2） 【分析】（1）化简甲-乙的整式，比较其常数项与丙的常数项即可做出判断； （2）由题意丙=甲+乙，化简整式即可解答． 【详解】解：（1）甲-乙， 因为常数项是-4，而乙的常数项为2，所以实验不成功； （2）由题意，丙-甲=乙，则丙=甲+乙=． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． 【拓展训练二 整式加减无关型问题与图形结合】 1．（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图1，是由两个圆柱体组成的瓶子，瓶内盛满水，两个圆柱体的底圆直径分别为2a和a，高分别为6和2．如图2的底圆直径分别为，高为8．如果将图1瓶子中的水全部倒入图2的杯子中（尽可能的装满）． (1)当时，试求一共需要多少个图2这样的杯子． (2)直接回答当时，一共需要多少个图2这样的杯子． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，，代数式求值； （1）利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果． （2）根据结果与的值无关，即可求解． 【详解】（1）解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个图2这样的杯子． （2）解：由（1）可得，结果与的值无关， ∴当时，一共需要13个图2这样的杯子． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，的绝对值是，的相反数还是，是最小的正整数． (1)，，_． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数表示的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，用含的代数式分别表示秒钟过后，点与点之间的距离，点与点之间的距离，点与点之间的距离； (4)小明发现，在式子“”中，“”内填入一个数字，就能使式子的值不会随着的变化而改变．请你确定这个数字是什么，并说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)，， (4)，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，列代数式，整式加减的应用； （1）根据绝对值、相反数和最小正整数的意义进行解答即可得； （2）根据折叠的性质进行解答即可得； （3）根据题意可得，秒钟后，点表示，点表示，点表示即可得到答案； （4）根据和的距离，列出式子；再根据式子的值不会随着的变化而改变，则的值为，即可求出结果． 【详解】（1）解：的相反数还是， ； 的绝对值是，在左边， ； 是最小的正整数， ． 故答案为：，，． （2）点与点重合， 长度为， 长度的一半为， 的中点表示的数为， 点表示数， 到中点距离为：， 即：与对应的点重合， 故答案为：． （3）秒钟后，点表示，点表示，点表示， ， ， ． （4）设“□”为． ， 式子的值不会随着的变化而改变， ， 故． 即“□”的值为． 3．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项．具体解题过程如下： 原式． 代数式的值与的取值无关， ． 解得：． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【能力提升】 （3）8张如图1的长为，宽为的小长方形平铺在大长方形中（如图2），大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）； （2），； （3）． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）因为多项式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得：，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得：，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：． 【详解】（1）解：多项式的值与的取值无关， ， 解得：； （2）解： ， 的值与的取值无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， ， ． 【拓展训练三 整式加减的图形类规律探索】 1．（2025七年级上·江苏镇江·模拟预测）如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 【答案】(1)，； (2)第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、用代数式表示图形的规律，能根据所给图形发现“”和“”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“”和“”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； …， 由此可知， 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 故答案为：，； （2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为； 由题意得，解得（舍），， 答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）据统计，2023年，山西新增公路通车里程公里，年末公路通车里程万公里，其中高速公路公里．根据山西交通建设规划目标，到2027年，全省高速公路通车里程将突破7000公里．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 【观察思考】观察结构简式的分子式回答下列问题： 【规律发现】 （1）图（4）的分子中含________个C原子； （2）图的分子中含________个C原子； 【规律运用】 （3）若图和图的分子中共含有242个C原子，求m的值． 【答案】（1）28；（2）；（3）19． 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现C原子的个数依次增加6是解题的关键； （1）根据所给结构简式，发现C原子个数的规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题； 【详解】解：（1）由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含C原子的个数为∶， 图（2）的分子中含C原子的个数为∶， 图（3）的分子中含C原子的个数为∶， 所以图的分子中含C原子的个数为个， 当时， (个)， 即图（4）的分子中含C原子的个数为28个， 故答案为：28． （2）由（1）知， 图的分子中含C原子的个数为个， 故答案为：． （3）根据规律可知， ， 解得：． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存在怎样的数量关系．   小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（）时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中 ， ． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系． (2)请根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）时，写出探索过程，并归纳出m，t之间满足的等量关系． (3)当多边形的边数为n时，请直接写出时n，m，t之间满足的等量关系． 【答案】(1)5；7； (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索： （1）直接根据图形数出对应图形内部的小三角形个数即可得到x、y的值，据此可得t的值等于2倍的m的值加1； （2）仿照（1）画出对应的图形并数出对应的三角形个数，类似可得t的值等于2倍的m的值加2； （3）仿照（2）画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，类似可得t的值等于2倍的m的值加3；据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； （2）解：如图所示，当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； （3）解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； 以此类推可知，． 【拓展训练四 整式加减的数字类规律探索】 1．（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数字的规律探索，解题的关键是根据“每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数”求出数列的前几项，进而找出循环规律． （1）根据从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，依次计算； （2）通过（1）的计算结果，找出数列的循环规律，再根据循环周期计算． 【详解】（1）解：已知， 则：， ， ， （2）解：由（1）可知，数列以、、这三个数为一个周期循环． 因为，其中余数为1． 所以． 2．（25-26七年级上·江西宜春·阶段练习）观察下列等式： ， ， ， … 试根据以上规律，解答下列问题： (1) （为正整数）； (2)计算：； (3)将2025减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到减去余下的，最后的结果是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数混合运算，理解题中规律，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据所给式子规律直接计算即可得到答案； （2）先计算各个括号里的式子得到，由有理数乘法运算符号规则，（奇数）个负号相乘结构为负，再由（1）中规律直接计算即可得到答案； （3）将题中文字表示转化为代数式，再由题中规律计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， … ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）“整体思想”是我们分析数学问题、解决数学问题常见的一种非常重要的数学思想，比如我们要计算的值，就可以采用这一思想，认真阅读理解下面例题，让我们感受“整体思想”在数学中妙用！计算的值． 分析：算式中后一个加数是前一个加数的3倍，因此，可以将原算式看作一个整体，记作S，整体扩大3倍后再解决问题． 解：设① 则② 得：， ∴， ∴， 即． 利用上述思想，解决下列问题： (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的乘方的应用，理解案例方法，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可设，则，作差即可求解； （2）根据题意可设，则，作差即可求解； 【详解】（1）解：①， 两边同时乘以2得 ②， 得： ， ∴， ∴； （2）解：①， 两边同时乘以得 ②， 得： ， ∴， ∴； 【拓展训练五 整式加减的新定义计算】 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． (1)2与______是关于6的实验数：代数式______与是关于6的实验数． (2)若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． (3)若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【答案】(1)4；； (2)a与b是关于6的实验数，理由见解析； (3) 【分析】本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【详解】（1）解：， ∴2与4是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：4；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：∵c与d是关于6的实验数，且 ∴， ． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）定义：对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．如果两个多项式恒等，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等． 已知关于x的多项式与多项式是恒等的． (1) ； (2)若数，数，则数m与数n是互为相反数吗？为什么？ 【答案】(1)3； (2)数m与数n互为相反数，见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据两个多项式恒等时，那么将这两个多项式分别合并同类项之后，其系数一定对应相等，则得到a，d的值； （2）由（1）得，计算，得到，即可判断数m与数n互为相反数． 【详解】（1）解：关于x的多项式与多项式是恒等， ∴，，， 故答案为：3，； （2）解：数m与数n互为相反数，理由如下： 由（1）得，即， ∵数，数， ∴ ， ∴数m与数n互为相反数． 3．（24-25七年级上·湖北·期中）［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)8 【分析】本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）读懂题意，利用新定义计算并判断； （2）利用新定义列等式求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 故不是； （2）解：由题意得，， 则， 解得：， ∴ 1．（24-25七年级上·湖南张家界·期中）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义以及合并同类项的法则，熟练掌握同类项的概念是解决本题的关键． 根据合并同类项的法则依次判断选项即可． 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能合并，故错误； B选项，与不是同类项，不能合并，故错误； C选项，与是同类项，即，故正确； D选项，与不是同类项，不能合并，故错误 ． 故选：C ． 2．（24-25七年级上·云南昆明·期中）若的值为12，则的值为（    ） A．10 B．22 C．24 D．34 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意先得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵的值为12， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）如果多项式减去的差为，那么多项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的加减，根据题意可得到，利用整式的加减运算的法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先把，代入化简，可得，再根据无论取何值时，恒成立，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵无论取何值时，恒成立， ∴， 解得：． 故选：D． 5．（24-25七年级上·湖北·期中）把四张形状完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，根据长方形的周长公式分别列出表示两个阴影周长的代数式，再利用整式加减的运算法则进行计算即可．先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案． 【详解】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 故选：B． 6．（2025·河南周口·模拟预测）请写出一个能与合并成一项的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了同类项，直接利用合并同类项法则判断得出答案．正确掌握同类项才可以合并是解题关键． 【详解】解：只有同类型才能合并， 故一个能与合并成一项的单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知m是有理数，则的最小值是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了化简绝对值，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分、、、、五种情况，分别化简绝对值，再结合m的取值范围确定最小值，最后综合五种情况即可解答． 【详解】解：当时， ，即最小值为24； 当时， ，即最小值为12； 当时， ，即最小值为12； 当时， ； 当时， ． 综上，的最小值是12． 故答案为：12． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）若一个多项式减去的差是，那么这个多项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． 用加上，即可求解． 【详解】解： ， 即这个多项式是． 故答案为： 9．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）将自然数0，1，2，3，……，按第组含个数分组：，，，……，记表示第组中第个数，如．若，则 ， ． 【答案】 63 8 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给分组方式得出第n组数的最后一个数的表示方式是解题的关键．根据所给分组方式，得出每组最后一个数的特征，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为第组含个数， 所以前组数的总个数可表示为：； 则第组的最后一个数可表示为：； 当时，． 又因为， 所以2022是第63组中的第8个数， 则，． 故答案为：63，8． 10．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把4张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2所示长方形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为．记的长为x，若的值与x无关，则可表示为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据，可求面积为的长方形的另一条边长为，面积为的长方形的另一条边长为，表示出，根据的值与无关，可得，依此用含的式子表示的值． 【详解】解：， ∴面积为的长方形的另一条边长为，面积为的长方形的另一条边长为， ∴ ， 的值与无关， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（2025七年级上·江苏苏州·模拟预测）合并同类项：． 【答案】 【分析】此题主要考查了合并同类项，正确把握合并同类项法则是解题关键．先去括号，再利用合并同类项法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 12．（24-25七年级上·甘肃·期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： (1)求用手捂住的多项式； (2)若a，b满足：，请求出所捂住的多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据手捂住的多项式为等式右边的整式减去左边的整式，再化简即可； （2）根据非负数的性质先求出a，b，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意， 用手捂住的多项式为． （2）解：， ， ， ， 所捂住的多项式的值为． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·课堂例题）分别按下列要求把多项式添上括号： (1)把前两项括到前面带有“”号的括号里，后两项括到前面带有“”号的括号里； (2)把后三项括到前面带有“”号的括号里； (3)把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里，把含有字母的项括到前面带有“”号的括号里． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查添括号法则，注意括号前为负号，括号内各项需变号． （1）根据添括号法则：“括号前为正号，括号内各项不用变号，括号前为负号，括号内各项变号”，即可求解； （2）根据添括号法则：“括号前为正号，括号内各项不用变号，括号前为负号，括号内各项变号”，即可求解； （3）利用交换律将同字母的移在一起，再根据添括号法则即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 14．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）阅读理解： 已知；若的值与字母的取值无关，则，解得． 当时，的值与字母的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： （2）小华用6张长为，宽为的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分未被覆盖，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为．当的长发生变化时，的值始终保持不变．请求出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）先去括号，合并同类项；再根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）设，分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1） ， 又的值与字母的取值无关， ， ； （2）设， 依题意，， ， 当的长发生变化时，的值始终保持不变， ．即． 15．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）奥地利数学家皮克（）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系． 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 10 6 6 2 6 4 12 (1)观察图1，补全表格． (2)观察图1中的①、③、④可以发现，i每增加1时，面积增加_____；观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加 ．根据上述发现，可得：______．（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图2的面积． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)20 【分析】本题考查图形类规律探究，解题的关键是由已知图形抽象概括出相应的规律： （1）观察图形，分割法求出图④的面积，数出图⑤中内部格点数和边界格点数，进行作答即可； （2）根据表格数据，得到i每增加1时，面积增加1，b每增加1时，面积增加，进而得到； （3）利用（2）中结论进行计算即可． 【详解】（1）解：观察图形， 图④的面积为：，图⑤中内部格点数为6，边界格点数为14， 补全表格，如下所示： 图形 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 2 6 6 6 10 6 6 14 2 6 4 8 12 （2）观察①、③、④可以发现，，， 故：i每增加1时，面积增加1． 观察②和③，④和⑤可以发现，，， 故：b每增加1时，面积增加． 根据上述发现，可得：． （3）解：观察可知，图中内部格点数和边界格点数分别为和， 故： 答：图形的面积是20． 学科网（北京）股份有限公司 $