精品解析：吉林省吉林市第七中学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学期中质量检测卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1. （2018•东台市一模）在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，不是轴对称图形，故此选项错误；B，不是轴对称图形，故此选项错误；C，不是轴对称图形，故此选项错误；D，是轴对称图形，故此选项正确， 故选D． 2. 如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形两边相等的性质，三角形三边关系，当已知等腰三角形的两边不确定底和腰时，要分情况讨论，避免出现错误． 【详解】①当为腰时，则三角形三边长分别为，，， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； ②当时，三角形三边长分别为，，， ∴三角形周长为， 故选：C． 3. 下列说法中不正确的是（　　） A. 三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形 B. 等腰三角形的内角可能是钝角、直角或锐角 C. 三角形外角一定是钝角 D. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、三角形中线的性质以及三角形的内角和定理，掌握定理的主要内容是解题的关键．根据三角形的分类、外角的性质以及三角形中线的性质进行选择即可． 【详解】解：A．三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形，正确，不符合题意； B、等腰三角形的内角可能是钝角或直角，正确，不符合题意； C、三角形外角可能是钝角、直角或锐角，故原说法不正确，符合题意； D、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，正确，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 根据现有条件无法证明，故C错误． 故选：C． 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线，， ， ． 故选：A． 6. 如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解． 【详解】解：补充条件， 在与中 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键；因此此题可直接根据题意进行求解． 【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性； 故答案为：稳定性． 8. 如图，，，垂足为点，若，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 根据，可得，再根据得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 9. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 10. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，找出全等三角形是解题关键．根据题意证明出即可求解． 【详解】解：每本书长，厚度为， ，， 是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ，， ， ∵， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案：24． 三、解答题（共11小题，共87分） 11. 如图，处在处的南偏西方向，即，处在处的南偏东方向，即，若．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了与方向角有关的计算、三角形的内角和定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识并正确计算是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可得的度数，再由平行线的性质可得的度数，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，ACBD，CF=DE．求证：ΔAEC≌ΔBFD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到∠C=∠D，然后再利用等式的性质得到CE=DF，再利用AAS证明ΔAEC≌ΔBFD即可． 【详解】证明：∵AC∥BD， ∴∠C=∠D， ∵CF=DE， ∴CF+EF=DE+EF， 即CE=DF， 在△AEC和△BFD中， ∴ΔAEC≌ΔBFD（AAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟记判定三角形全等的方法是解题的关键． 13. 如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形外角的性质等知识，根据成轴对称的图形，对应角相等，得出，，然后根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵与关于边所在的直线成轴对称，， ∴，， ∴， ∴． 14. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于轴对称的．并写出点的坐标　　　　． （2）在第（1）题的变换下，若点是线段上的任意一点，那么点的对应点的坐标为　　　　． （3）的面积是　　　　． 【答案】（1）作图见解析， （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）． （1）利用轴对称性质证出A、B、C关于y轴对称的点、、，然后连线即可，最后根据在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解； （3）结合网格特征，根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作，点坐标， ； 【小问2详解】 解：点关于轴对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：． 15. 如图，分别过点C，B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F． （1）求证：BF＝CE； （2）若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂线的性质得到∠CED=∠BFD=90°，根据中线的性质得到BD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△CED≌△BFD，进而根据全等三角形的性质进行证明即可； （2）根据三角形中线的性质得到S△ABD=S△ACD，再由全等三角形的性质得到S△BDF=S△CED，从而结合图形利用三角形面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 （1）∵CE⊥AD，BF⊥AF， ∴∠CED＝∠BFD＝90°， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△CED和△BFD中， ∴△CED≌△BFD（AAS）， ∴BF＝CE 【小问2详解】 （2）∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵S△ACE＝4，S△CED＝3， ∴S△ACD＝S△ABD＝7， ∵△BFD≌△CED， ∴S△BDF＝S△CED＝3， ∴S△ABF＝S△ABD＋S△BDF＝7＋3＝10 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，应熟练掌握全等三角形的判定定理及其相关性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找等量关系，与此同时结合三角形中线的性质进行求解． 16. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． （1）试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）点O在的垂直平分线上，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质可得，则，根据垂直平分线的判定可证明结论 （2）证明，又由及四边形内角为即可得到的度数． 【小问1详解】 点O在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴ 17. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1）与全等，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 18. 如图1，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线． （1）根据以上尺规作图可以得到结论是　　　　； （2）在图1中射线上取一点，过点作于点，交射线于点，过点作于点，在上取一点，使，如图2所示，求证：； （3）在（2）的条件下，若的面积等于5，则四边形的面积等于　　　　． 【答案】（1）平分（或） （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】（）由作图可知，，则可证明，从而求解； （）由角平分线的性质得，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； （）由（）得，则，同（）理得，然后可证明，据此即可求解． 本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：平分（或），理由， 如图，连接，， 由作图可知：，， ∵， ∴， ∴，即平分； 故答案为：平分（或）； 【小问2详解】 证明：由（）得平分， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（）得， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）或 （2）点Q的运动速度为或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，面积等于面积的一半； 【小问2详解】 解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 20. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”，是黄金角． （1）如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为　　　　； （2）图2中，在（1）的条件下，若，点到直线的距离是2，的面积是　　　　． （3）如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 【答案】（1） （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义、全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“共边黄金三角形”的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得点到直线的距离是2，再由三角形的面积公式解答即可； （3）证明，可得，再结合“共边黄金三角形”的定义可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，与是“共边黄金三角形”，， ∴， ∵， ∴， 即与的“黄金角”的度数为； 故答案为： 【小问2详解】 解：∵，点到直线的距离是2， ∴点到直线的距离是2， ∵， ∴的面积是； 故答案为：5 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵与是“共边黄金三角形”， ， ∴， ∴． 21. 已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中质量检测卷 一、选择题（每题3分，共18分） 1. （2018•东台市一模）在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个等腰三角形的两边长分别是和，那么此三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列说法中不正确的是（　　） A. 三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形 B. 等腰三角形的内角可能是钝角、直角或锐角 C. 三角形外角一定是钝角 D. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 4. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有______． 8. 如图，，，垂足为点，若，则__________． 9. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 10. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书之间竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧2本书籍的上方边沿，点、、、，在同一平面内．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为________． 三、解答题（共11小题，共87分） 11. 如图，处在处的南偏西方向，即，处在处的南偏东方向，即，若．求的度数． 12. 已知：如图，点E、F在CD上，且∠A=∠B，ACBD，CF=DE．求证：ΔAEC≌ΔBFD． 13. 如图，与关于边所在的直线成轴对称，的延长线交于点．若．求的度数． 14. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）作出关于轴对称．并写出点的坐标　　　　． （2）在第（1）题的变换下，若点是线段上的任意一点，那么点的对应点的坐标为　　　　． （3）的面积是　　　　． 15. 如图，分别过点C，B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F． （1）求证：BF＝CE； （2）若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积． 16. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点D、E，直线交于点O． （1）试判断点O是否在垂直平分线上，并说明理由； （2）若，求的度数． 17. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 18. 如图1，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线． （1）根据以上尺规作图可以得到的结论是　　　　； （2）在图1中射线上取一点，过点作于点，交射线于点，过点作于点，在上取一点，使，如图2所示，求证：； （3）在（2）的条件下，若的面积等于5，则四边形的面积等于　　　　． 19. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 20. 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，，则与是“共边黄金三角形”，是黄金角． （1）如图2，与是“共边黄金三角形”，，，则与的“黄金角”的度数为　　　　； （2）图2中，在（1）的条件下，若，点到直线的距离是2，的面积是　　　　． （3）如图3，已知平分，，与是“共边黄金三角形”，试说明． 21. 已知中，点D是延长线上一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $