精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年八年级数学上学期期中考试卷

2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系内点与点关于x轴对称，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 等腰三角形其中两条边的长度为5和11,则该等腰三角形的周长为（ ） A. 21 B. 27 C. 21或32 D. 21或27 6. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 7. 如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点．已知与的周长分别为和，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，的面积为9，则点D到的距离为（ ）． A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 9 9. 如图，已知为三边垂直平分线的交点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 12. 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”，需要添加的条件是_____． 13. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是___________． 14. 如图，的面积为，垂直的平分线于．则的面积是_____． 15. 如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为 _______． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 如图，，，点在上，且．求证：． 17. 如图，在中，． （1）在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 18. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标． 20. 如图，中，，点在上，点在外部，且，，点在上，且，连接． （1）求证： （2）若，且，求的长． 21. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=AC，CE⊥AD于E，且CE=5． （1）求BC的长； （2）求证：BD=CD． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． 【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且，点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． （1）的值为 ________ ；的度数为________ ； （2）如图1，若点C在线段上，过点C作交于点F，求证：； （3）如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点P，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中考试 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 数学中有许多精美的曲线．以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”，其中一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 3. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由三角形内角和定理可得，再由全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系内点与点关于x轴对称，则的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特点，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出a和b的值，再代入求和即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：A． 5. 等腰三角形其中两条边的长度为5和11,则该等腰三角形的周长为（ ） A. 21 B. 27 C. 21或32 D. 21或27 【答案】B 【解析】 【分析】分5为腰和11为腰两种情况，结合三角形三条边的关系解答即可. 【详解】当5为腰时， 5+5<11，不合题意，舍去； 当11为腰时， 11+11+5=27. 故选B. 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 7. 如图，在中，的垂直平分线与边分别交于点．已知与的周长分别为和，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是的垂直平分线得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线 ∴， ∵与的周长分别为和， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握性的垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 如图，在四边形中，，，，的面积为9，则点D到的距离为（ ）． A. 3 B. 4.5 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】作DH⊥BC于H，DE⊥BA交BA的延长线于E．首先证明DE＝DH，利用三角形的面积公式求出DH即可解决问题． 【详解】作DH⊥BC于H，DE⊥BA交BA的延长线于E． ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵DE⊥BE，DH⊥BC， ∴DE＝DH， ∵S△DBC＝•BC•DH＝6， ∴×6×DH＝9， ∴DH＝3， ∴DE＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，已知为三边垂直平分线的交点，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数． 【详解】延长AO交BC于D． ∵点O在AB的垂直平分线上． ∴AO=BO． 同理：AO=CO． ∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA． ∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA． ∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC． ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC． ∵∠A=50°． ∴∠BOC=100°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10. 如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边对等角等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． ①根据条件证明即可； ②根据等边对等角和对顶角以及①中全等三角形的性质进行求解即可； ③根据求证出来的条件，找出相等的角，利用等角对等边即可得出结论； ④过点作，交的延长线于点，证明和，得出相等线段，然后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】解：①∵为的角平分线， ∴， 又∵，， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， 故②正确，符合题意； ③∵，，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作，交的延长线于点， ∵为的角平分线，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由③得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④， 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 12. 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”，需要添加的条件是_____． 【答案】AB=AC 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出∠BAD=∠CAD，根据SAS推出两三角形全等即可． 【详解】解：AB=AC， 理由是：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为AB=AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 13. 如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点作轴于点，过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质易得，，进而可得，即可确定点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∵，轴，轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，的面积为，垂直的平分线于．则的面积是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，构造辅助线是解题的关键．延长交于点，先证，得到，然后过作于点，于，证是的中位线，再根据三角形的面积公式得出即可求解． 【详解】解：延长交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， 过作于点，于， ， ， 是的中位线， ， , 故答案为：2． 15. 如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：作，垂足为， ，， ，， ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 设，则，． ， ， ， 线段长为． 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型． 三．解答题（一）（共3小题，每小题7分，满分21分） 16. 如图，，，点在上，且．求证：． 【答案】 证明： 在和中 ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质可得，运用全等三角形的判定方法证得，根据全等三角形的性质得到即可． 【详解】略 17. 如图，在中，． （1）在边上找一点使得点到点A，B的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求作的点； （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，过点作直线，交于点，点即为所求作的点； （2）根据等边对等角，得到，再根据外角的性质即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 是的垂直平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，理解线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 四．解答题（二）（共3小题，每小题9分，满分27分） 19. 如图所示，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： ，，； （2） 如图所示，点即为所求： 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）作出点关于轴的对称点，连接，与轴相交于点，则，所以，由两点之间线段最短可知此时的值最小，再根据点的位置写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可得，，，； 【小问2详解】 解：由图可得，点的坐标为． 20. 如图，中，，点在上，点在外部，且，，点在上，且，连接． （1）求证： （2）若，且，求的长． 【答案】 （1）证明： 是等边三角形 ，即 在和中， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的判定与性质得出，再根据邻补角得出，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据线段的和差即可得证； （2）先根据三角形全等的性质、等边三角形的性质得出，从而有，再根据题（1）的结论可得，然后联立求解即可得． 【详解】（1）略 （2）由（1）已证：， 由（1）的结论可知： 联立，解得 故的长为6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、线段的和差等知识点，熟记各判定定理与性质是解题关键． 21. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=AC，CE⊥AD于E，且CE=5． （1）求BC的长； （2）求证：BD=CD． 【答案】（1）BC=10； （2）证明：过D作DF⊥BC于F， 在△ADC中，∠CAD=30°，AD=AC， ∴∠ACD=75°， ∵∠ACB=90°， ∴∠FCD=15°， 在△ACE中，∠CAE=30°，CE⊥AD， ∴∠ACE=60°， ∴∠ECD=∠ACD-∠ACE=15°， ∴∠ECD=∠FCD， ∴DF=DE． ∵在Rt△DCE与Rt△DCF中， ， ∴Rt△DCE≌Rt△DCF（HL）， ∴CF=CE=5， ∵BC=10， ∴BF=BC-CF=5， ∴BF=FC， ∵DF⊥BC， ∴BD=CD． 【解析】 【分析】（1）求出∠BAC，求出∠CAD=30°，求出AC=2CE=10，即可求出BC； （2）过D作DF⊥BC于F，求出∠ECD=∠DCF=15°，证CE=CF=5，推出BF=CF，根据线段垂直平分线的性质求出即可． 【详解】（1）解：在△ABC中， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=45°， ∵∠BAD=15°， ∴∠CAD=30°， ∵CE⊥AD，CE=5， ∴AC=10， ∴BC=10； （2） 略 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，线段垂直平分线性质等知识点的应用．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 五．解答题（三）（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． 【理解】（1）如图1，在中，，，请写出图中两对等角三角形．______；______． 【尝试】（2）如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． 【应用】（3）在中，，是的等角分割线，请直接写出的度数． 【答案】（1）与，与，与； （2）∵在中，，， ∴ ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）或或或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∴，同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）略 （3）当是等腰三角形， 如图，时，， ∴， ∴ 当是等腰三角形， 如图，时，， ， ∴， ∴ 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形， 如图，时， ， 当是等腰三角形， 如图，时， ， 设， 则， 则， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴∠ABC的度数为或或或． 23. 如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且，点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． （1）的值为 ________ ；的度数为________ ； （2）如图1，若点C在线段上，过点C作交于点F，求证：； （3）如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点P，求的值． 【答案】（1）1， （2） 证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） ①不变，，理由如下： 如图，作交的延长线于F， 同理（2）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的值为2 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）判断出是等腰直角三角形，从而得出结果； （2）由推出，进而证明，进一步得证； （3）①类比（2）作交的延长线于F，同理（2）证明，进一步得出结论； ②取的中点H，连接，可得，再推出，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故答案为：1，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②如图，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $