精品解析：浙江省温州市瑞安市六校联考（玉海、莘塍、滨江、安高、塘下等）2025-2026学年九年级上学期10月期中监测数学试卷

2025学年第一学期九年级期中监测数学试卷 一、选择题 1. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm， ∴线段OA的长度＜5cm． 故选：A． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内． 2. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用．由一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是：． 故选：A． 3. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，根据二次函数对称轴直线公式代入计算即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 故选：D． 4. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，求出，即可求得的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的函数表达式为：． 故选：D． 6. 若二次函数，当y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的解析式的二次项系数确定该函数图象的开口方向，再确定函数图象的对称轴，最后根据该二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 7. 如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、圆周角定理和三角形外角的性质，由平分可得，由得，由圆周角定理得，再由三角形外角性质可得结论． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∵所对圆心角是，圆周角是， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知一个不透明的袋子中装有9个只有颜色不同的球，其中3个白球，6个红球，若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，则袋中红球被换成黄球的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式应用．设把个红球换成黄球，根据由3个白球和个黄球得摸得“一白一黄”共有种，从9个球里摸2个球共有种情况，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设把个红球换成黄球， 由3个白球和个黄球得：摸得“一白一黄”共有种， 从9个球里摸2个球共有种情况， ∵随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为， ∴， 解得，即袋中红球被换成黄球的个数为4个， 故选：C． 9. 如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题 11. 二次函数的图象的顶点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握的图象与性质即可解题． 【详解】解：由可知其顶点为． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有7个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后再继续摸出一球……，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50002 根据列表，估计出n的值最有可能的是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，通过大量重复试验，摸到黑球的频率逐渐稳定于一个常数，该常数可近似作为摸到黑球的概率，从而利用概率公式求解． 【详解】解：由模拟数据可知，当试验次数增加时，摸出黑球的频率逐渐稳定于0.5附近， 摸到黑球的概率为， 因此， 解得， 故答案为：14． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，先利用网格特点，作和的垂直平分线，它们的交点为E点，利用垂径定理的推论可判断点E为该圆弧所在圆的圆心，连接，利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：作和的垂直平分线，它们的交点为E点，则点E为该圆弧所在圆的圆心， 连接， 由勾股定理得，， 即圆弧所在圆的半径是， 故答案为：． 14. 现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙大的结果数有7种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 15. 已知点，为二次函数（）图象上两点，若，则t的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而根据，可得，解不等式，即可求解． 【详解】解：二次函数 （）的对称轴为 ，开口向上，点 到对称轴的距离为 ， 由 ，可知点 到对称轴的距离应小于 ，即 ， 解得 ， 故答案为：． 16. 如图，矩形的外接圆为，E是弧上一点，交于点F，且．若，，则的直径为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据圆周角定理得出，证明为等腰三角形，判定出，得到，假设圆的半径为，则，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 假设圆半径为，则， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得（负值已舍）， ∴的直径为， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 三、解答题 17. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从A、B两类书籍中随机选择一种，乙同学从A、B、C、D四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）运用画树状图法可得出所有等可能的结果数以及甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：乙同学恰好选中B的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 有8种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， 所以甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 18. 已知：如图，在中，． 求证： 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据在同圆中相同的弦所对的弧相等得出，进而可得出，最后由圆周角定理即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半）及圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解答此题的关键． 19. 已知二次函数图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 20. 九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目的概率； （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×部分相应概率． （1）根据画出的树状图得出所有等情况数和两个数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式即可得出答案； （2）表演即兴节目的同学数=学生总数×相应概率． 【小问1详解】 解：根据题意画图如下： 由表可知，共有12种等可能结果，其中两个数字之和大于5的有4种， 小朱同学表演节目的概率 【小问2详解】 解：根据题意得： （名） 答：估计本次联欢会上大概有16个同学表演节目． 21. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）降价10元时，书店可获得最大利润，最大利润为800元 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数求最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据总利润=每套利润×数量，即可得到y关于x的函数表达式； （2）将二次函数配方后求最值即可． 【小问1详解】 解：设书店一天可获利润y元，每套书降价x元时， 则， ∴． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，y有最大值为800， 即当每套书降价10元时，书店一天可获得最大利润，最大利润为800元． 22. 如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， （1）求证：． （2）若的半径为，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意得，由圆周角定理得；根据平行线性质得，可得 （2）连结，求得，设，则，由勾股定理得，求出，可得，最后根据四边形的面积的面积的面积解答即可． 【小问1详解】 证明：∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∴，又， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∵，，， ∴，， ∴四边形的面积的面积的面积=． 23. 已知抛物线（b为常数）经过点， （1）求b的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于点B，点C（B在C的左边），求的值． （3）点，是抛物线上的两点，且，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），求图象G上任意两点纵坐标之差的最大值． 【答案】（1） （2）6 （3）60 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，得，从而可求出的值； （3）分点Q在点P左边和右边两种情况，分别求出各种情况的最大值，再进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得或， 如图所示， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当点Q在点P左边时，图象G不含抛物线的顶点，并且图象G在对称轴的左边， ∴Q为图象G上的最高点，P为图象G上的最低点， ∴图象G上的最大值为，最小值为， ∵， ∴，，， ∵， ∴时，的最大值， 当点Q在点P右边时，图象G含抛物线的顶点， ∴Q为图象G上的最高点，顶点为图象G上的最低点， ∴图象G上的最大值为，最小值为， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴时，的最大值， ∵， ∴图象G上任意两点纵坐标之差的最大值为60． 24. 如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． （1）如图，若，为直径，求的度数． （2）如图，当经过圆心O，求证：． （3）如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得的度数，据此由直角三角形两锐角互余可得答案； （2）可证明为的中垂线，则可推出，由圆内接四边形对角互补可得，则，据此可证明； （3）如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N，可证明，则是等边三角形，同理是等边三角形，即可得到，进而得到；如图3-2所示，取的中点H，连接，由三角形中位线定理可得；求出，可推出，则可证明当为直径时，有最大值，即此时的值最大，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，且经过圆心O， ∴，即为的中垂线 ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵点C为的中点，， ∴； 如图3-1所示，过点O作交BC于点M，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴ ∴， ∴； 如图3-2所示，取的中点H，连接， ∵点C为的中点， ∴为的中位线 ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴当为直径时，有最大值，即此时的值最大 ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中监测数学试卷 一、选择题 1. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中2个红球，5个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的对称轴为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图，绕点O逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数，当y随x的增大而减小，则自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，弦，连接交半径于点E，平分，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 已知一个不透明的袋子中装有9个只有颜色不同的球，其中3个白球，6个红球，若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，则袋中红球被换成黄球的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，，，以为直径交于点D，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 二次函数图象的顶点坐标为__________． 12. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有7个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后再继续摸出一球……，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表： 摸球试验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑球次数 46 487 2506 5008 24996 50002 根据列表，估计出n的值最有可能的是__________． 13. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，过格点A、B、C作一圆弧，则圆弧所在圆的半径是__________． 14. 现有七张分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的卡片，其中标有数字1，4，5，7的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是__________． 15. 已知点，为二次函数（）图象上两点，若，则t的取值范围为__________． 16. 如图，矩形的外接圆为，E是弧上一点，交于点F，且．若，，则的直径为__________． 三、解答题 17. 每年的4月23日是“世界读书日”，今年4月，某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：其他类），甲同学从A、B两类书籍中随机选择一种，乙同学从A、B、C、D四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是 ； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 18. 已知：如图，在中，． 求证： 19. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 20. 九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有四个完全相同的乒乓球，乒乓球上分别标有数字1，2，3，4，游戏规则是：参加联欢会的48名同学，每人同时从盒子里一次摸出两个乒乓球，若两球上数字之和大于5就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至48名同学都摸完， （1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演节目概率； （2）若参加联欢会的同学每人都有一次摸球的机会，请估计本次联欢会上大概有多少个同学表演节目？ 21. 某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套盈利30元．了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． （1）求y关于x的函数表达式． （2）当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少元？ 22. 如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， （1）求证：． （2）若的半径为，，求四边形的面积． 23. 已知抛物线（b为常数）经过点， （1）求b的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于点B，点C（B在C的左边），求的值． （3）点，是抛物线上的两点，且，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，Q两点），求图象G上任意两点纵坐标之差的最大值． 24. 如图，线段为内一条弦，点A为弦上方圆弧上一点，延长到D，连接交于点F，过点D作，交直线于点E． （1）如图，若，为直径，求的度数． （2）如图，当经过圆心O，求证：． （3）如图，若的半径等于2，，且点C为的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $