精品解析：甘肃省兰州市第三十五中学2025-2026学年上学期期中九年级数学试卷

2025-2026-1九年级期中考试试卷 数学 （满分：120分；答题时间：120分钟） 一、选择题（共11题，每小题3分，共计33分，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下面四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 4. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　） A. 13 B. 11 C. 11 或13 D. 12或15 6. 如图，菱形对角线，，则菱形高的长为（ ） A. B. C. D. 7. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 8. 若，，，则的值是（ ） A. －2 B. 2 C. －5 D. 5 9. 如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形 10. 如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共4题，每小题3分，共计12分） 12. 如果，那么______． 13. 在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有______个绿球． 14. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 15. 如图，平面直角坐标系中，已知和B点，点C是的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与相似，那么点P的坐标是_________. 三、解答题（共11题，计75分，解答应写出过程） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 18. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19. 九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 小明和小丽想用所学知识测量一棵树的高度，如图，小丽先站在点E处观测树的顶端A，视线与水平线的夹角为；然后，小丽继续站在E处，小明在小丽与树之间的线段上放一平面镜，经过不断调整，当平面镜放置在C处时，小丽刚好能在镜子中看到树的顶部A的像，这时测得．已知小丽同学的眼睛到地面的距离，点B、C、E在一条直线上，，，求这棵树的高度．（平面镜大小忽略不计） 23. 为弘扬敦煌文化，甘肃某文旅公司推出了系列文创产品．一款“飞天”书签成本是元，根据销售经验，每个书签定价为元时，平均每天可售出个．若每个书签的售价每降低元，平均每天可多售出个，设每个书签降价元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书签______个（用含的代数式表示）； （2）若该文旅公司想通过售出这批书签每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每个书签应降价多少元？ 24. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）若PC=2，求CD的长． 25. 阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 26. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） （2）如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-1九年级期中考试试卷 数学 （满分：120分；答题时间：120分钟） 一、选择题（共11题，每小题3分，共计33分，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误； B、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误； C、2x-x2=3，是一元二次方程，故此选项正确； D、x+=4，是分式方程，故此选项错误； 故选C． 2. 下面四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，若果两条线段长的比值与另外两条线段长的比值相等，即，则为成比例线段． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项符合题意； C. ，故该选项不符合题意； D.，故该选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键． 3. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定； C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 5. 已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　） A. 13 B. 11 C. 11 或13 D. 12或15 【答案】A 【解析】 【详解】解：解方程x2-6x＋8 ＝0得x=2，x=4， 当x=2时，因为2+3＜6，所以2,3,6不能组成三角形， 所以第三边是4， 所以周长=3+4+6=13， 故选：A． 6. 如图，菱形对角线，，则菱形高的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直平分求出，然后利用勾股定理求出，再根据菱形的面积，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 根据勾股定理，， ∵菱形的面积， ∴， ∴， 故选：． 7. 根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ） x … … … … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 8. 若，，，则的值是（ ） A. －2 B. 2 C. －5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知等式得到x，y为一元二次方程a2﹣4a+3＝0的两根，利用根与系数的关系求出x+y与xy的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，， ∴x，y为方程a2﹣4a+3＝0的两根， ∴x+y＝4，xy＝3， 则 ＝4﹣2×3 ＝4﹣6 ＝﹣2． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是基础，构造一元二次方程a2﹣4a+3＝0是解决此题的关键． 9. 如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故选：D. 10. 如图，在四边形中，，与相交于点O，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：D． 11. 如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴∠EAG=∠BAD=90° 又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD ∴①正确 ②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形 ∴AD=DC，AG=FG ∴AC=AD，AF=AG ∴， 即 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC ∴∠DAG=∠CAF ∴ ∴②正确 ③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线 ∴∠AFH=∠ACF=45° 又∵∠FAH=∠CAF ∴△HAF∽△FAC ∴ 即 又∵AF=AE ∴ ∴③正确 ④由②知 又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线 ∴∠ADG=∠ACF=45° ∴DG在正方形另外一条对角线上 ∴DG⊥AC ∴④正确 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明． 二、填空题（共4题，每小题3分，共计12分） 12. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴， 设，（），则 ∴， 故答案为：． 13. 在一个不透明的箱子中装有10个红球和若干个绿球，这些球除颜色外全一样，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了400次，发现有80次摸到红球，由此可估计箱子中有______个绿球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，概率公式求概率，解题的关键是要计算出红球所占的比例．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．先根据频率求出摸到红球的概率，再设绿球个数为个，根据红球的概率,即可求解． 【详解】解：摸了次，发现有次摸到红球， 估计摸到红球的概率为， 设绿球个数为个， ， 解得：， 经检验：是分式方程的解， 估计箱子中有个绿球． 故答案为：． 14. 黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，两点都是线段的黄金分割点．若，则的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，设，则，利用黄金分割点可以得到成比例线段，即有，然后解方程即可求解，掌握黄金分割点是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵两点都是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，已知和B点，点C是的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与相似，那么点P的坐标是_________. 【答案】或 【解析】 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程即可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（8，0），B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6， ∴AB＝10， ∵C是AB的中点， ∴AC＝5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP＝8−x， 分情况讨论： ①当△APC∽△AOB时，则 ，即， 解得x＝4， ∴P（4，0）； ②当△ACP∽△AOB时，则，即， 解得x＝， ∴P（，0）； 故答案为（4，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 三、解答题（共11题，计75分，解答应写出过程） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）根据因式分解法解方程； （2）根据公式法解方程； （3）根据因式分解法解方程 【小问1详解】 解： ∴或 ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 或 17. 如图，在平面直角坐标系中，方格图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出一个，使它与位似，且相似比为． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作的三角形； （2） 解：如图，即为所求作的三角形； 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图和位似作图，熟练掌握轴对称的性质和位似的性质，是解题的关键． （1）先作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）先作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在和中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19. 九江中学实验兴趣社团的老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有、，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫作物理变化（、）；生成其他物质的变化叫作化学变化（、、）． （1）若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是_____； （2）从两个口袋中分别随机抽取张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式计算即可； （）列出表格，根据表格解答即可； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，从乙口袋中随机抽取张卡片，共有种等可能的结果，其中抽到物理变化的结果有种， ∴从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到物理变化的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 乙 甲 由表可知，共有种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是化学变化的结果有，共种， ∴抽出的两张卡片均是化学变化的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个根分别为，且，若，求m的值． 【答案】（1） 证明： ∴ ． ∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得证； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的两个根分别为，且， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 解得：或 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， (为常数)的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，交延长线于E，交延长线于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，结合，利用勾股定理得，继而得到，再次使用勾股定理即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 小明和小丽想用所学知识测量一棵树的高度，如图，小丽先站在点E处观测树的顶端A，视线与水平线的夹角为；然后，小丽继续站在E处，小明在小丽与树之间的线段上放一平面镜，经过不断调整，当平面镜放置在C处时，小丽刚好能在镜子中看到树的顶部A的像，这时测得．已知小丽同学的眼睛到地面的距离，点B、C、E在一条直线上，，，求这棵树的高度．（平面镜大小忽略不计） 【答案】这棵树的高度为为6米． 【解析】 【分析】过点D作于F，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】过点D作于F，则m，， ∵， ∴． 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴这棵树的高度为为6米． 【点睛】本题考查的是利用相似三角形测高，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质与判定． 23. 为弘扬敦煌文化，甘肃某文旅公司推出了系列文创产品．一款“飞天”书签成本是元，根据销售经验，每个书签定价为元时，平均每天可售出个．若每个书签的售价每降低元，平均每天可多售出个，设每个书签降价元．请解答以下问题： （1）填空：每天可售出书签______个（用含的代数式表示）； （2）若该文旅公司想通过售出这批书签每天获得元的利润，又想尽可能地减少库存，每个书签应降价多少元？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设每个书签降价元，根据题意列出代数式即可； （）根据题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每个书签降价元， 根据题意可得，每天可售出书签个， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能地减少库存， ∴， 答：每个书签应降价元． 24. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）若PC=2，求CD的长． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形ABC， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠APD=60°， ∴∠APB+∠CPD=120°， 在△APB中，∠APB+∠BAP=120°， ∴∠BAP=∠CPD， ∴△ABP∽△PCD； （2）CD的长为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD； （2）由（1）的结论△ABP∽△PCD 可得，从而可以求出线段CD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：等边三角形边长为3，PC=2， 由（1）得△ABP∽△PCD， ， ∴， ∴CD=． 答：CD的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD． 25. 阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”． （1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ①；②；③ （2）关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程（）同时满足和，且与互为“同伴方程”，求n的值． 【答案】（1）①③ （2） 或 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【小问1详解】 解：解方程， 可得：，； 解方程， 可得：； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同伴方程”； 【小问2详解】 解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； 【小问3详解】 解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同伴方程”， 或， 或． 26. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为______，位置关系为______；（直接写出答案） （2）如图，把背景中的正方形分别改成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）在（）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 【答案】（1），； （2） 解：，，理由如下： 如图，设与交于，与交于点， ∵，，， ∴，， ∵四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）延长交于，交于，由四边形、四边形为正方形，则，，，然后证明，再通过性质即可求解； （）设与交于，与交于点，由四边形和四边形为矩形，则，所以，证明，然后通过相似三角形性质即可求解； （）连接，，由（）知，，，，由勾股定理得，，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于，交于， ∵四边形、四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案是：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（）知，，，， ∴，， 由（）知， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $