精品解析：吉林省通化市实验中学2025-2026学年 上学期八年级数学期中试题

实验中学教育集团八年级数学期中试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，4cm B. 2cm，2cm，4cm C. 2cm，3cm，5cm D. 5cm，6cm，7cm 3. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 7. 点关于轴的对称点的坐标为 __________． 8. 如图，的度数是_______． 9. 如图，在中．边的垂直平分线交于点，且，则的度数是________． 10. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 11. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是___________cm． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 如图，，．求证：． 13. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 14. 如图，已知． （1）求证：． （2）若，，连接，求的长． 15. 如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． （1）求证： （2）若，，求的长度． 16. 如图，点在上，于点，交于点，，．若． （1）求证：； （2）求的度数． 17. 如图，在中，，，，是的平分线，求的长． 18. 如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 19. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，且测得到点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中点和的高度差的长． （3）若测得细绳为，刚好小球摆动到时，为等边三角形．求与的夹角． 20. 项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 21. 在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. （1）如图，于，于，求证：； （2）如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； （3）如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 22. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）___________（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． （4）当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学教育集团八年级数学期中试卷 时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，4cm B. 2cm，2cm，4cm C. 2cm，3cm，5cm D. 5cm，6cm，7cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系， 根据“三角形的两边之和大于第三边”逐项判断即可. 【详解】解：因为，不能摆成三角形，所以A不符合题意； 因为，不能摆成三角形，所以B不符合题意； 因为，不能摆成三角形，所以C不符合题意； 因为，能摆成三角形，所以D符合题意. 故选：D. 3. 如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 4. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 5. 如图，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 7. 点关于轴的对称点的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标和轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握坐标和轴对称的性质，从而完成求解． 根据坐标和轴对称的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵点关于轴的对称点， ∴点的横坐标不变，为．纵坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 8. 如图，的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，对顶角相等，平角的定义，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，平角，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 由， 故 ； 故答案为：． 9. 如图，在中．边的垂直平分线交于点，且，则的度数是________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，得到，再根据，，得，则，得到，然后根据三角形内角和定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则它的“优美比”k为___________ 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．分两种情况讨论：当为腰长时，当为底边长时，由等腰三角形的“优美比”的定义，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的腰长是时， 等腰三角形底边长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ； 当等腰三角形的底边长是时， 等腰三角形腰长是， ，满足三角形三边关系， 此时等腰三角形的“优美比” ， 等腰三角形的“优美比” 或． 故答案为 或 ． 11. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是___________cm． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的垂直平分线，所以，则，连接交于点，连接，此时值最小，即周长最小，最小值为，根据等腰三角形三线合一可知是的高，利用三角形面积可求出长，则题目可解． 【详解】解：∵，为边的中点， ∴， 若周长最小，只需最小， 是的垂直平分线， ， ， ∴连接交于点，连接，此时值最小等于， 为边的中点，， ， ，面积是， ， 周长最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题（共11小题，共87分） 12. 如图，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】略 13. 如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数． 【详解】解：设， ， ， 又， ， 根据三角形内角和定理，， ，解得， ， 是边上的高， ， ． 14. 如图，已知． （1）求证：． （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 即； （2）2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由，可得，则，题目得证； （2）由，可得，而，则为等边三角形，则题目可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 15. 如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． （1）求证： （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）6 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ． 16. 如图，点在上，于点，交于点，，．若． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据证明，即可证明； （2）因为，所以，由，可得，进而可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， ． 17. 如图，在中，，，，是的平分线，求的长． 【答案】的长为． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，直角三角形所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质．由角平分线的定义以及三角形内角和定理可求出，再根据直角三角形的性质可得，根据等角对等边可得，然后利用可求得． 【详解】解：，， ． 是的平分线， ． ，． ． ． 的长为． 18. 如图，在中，以为边作等边，以为边作等边，连并延长交于点． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． （2）是等腰三角形， 理由：由（1）得：，， 是直角三角形，且， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质： （1）根据等边三角形的性质得，，，进而可得，再利用可证得，进而可求证结论； （2）由（1）得：，，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，且测得到点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中点和的高度差的长． （3）若测得细绳为，刚好小球摆动到时，为等边三角形．求与的夹角． 【答案】（1） 解：，理由如下： ，， ， ， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ， ∴； （2）的长 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，等边三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）易证，且可证明，由题意得，则，即可得出； （2）由可知，即可求出； （3）延长至，使，连接，可证明为等边三角形，故与重合，由等腰三角形三线合一可求与的夹角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 答：的长为； 【小问3详解】 解：延长至，使，连接， 由题意知， 则， ， ， ， ∴为等边三角形，故与重合， ． 20. 项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 用纸竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为（如图2），测得．下面结论错误的是___________（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 将制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良． （1）若，则风筝的面积是___________． （2）为了使风筝更美观，需要在风筝上画上蝴蝶图案，若以所在直线为x轴，所在直线为y轴，两轴交点O为原点建立平面直角坐标系，在的左侧选一点画上蝴蝶的一只眼睛，在（___________）上画另一只眼睛，才能使图案更美观． 项目小结 为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结、用到的数学知识为：对应点所连线段被对称轴___________． 【答案】任务一：图形如图所示： 任务二：C ； 任务三：（1）（2） ；项目小结：垂直平分 【解析】 【分析】本题考查轴利用方格纸作图，轴对称性质，四边形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：根据轴对称变换的性质作出图形； 任务二：利用轴对称图形的性质判断即可； 任务三：（1）四边形的面积，可证得四边形的面积等于四边形两对角线乘积的一半，据此求解即可；（2）关于轴对称，利用轴对称图形的性质确定位置 项目小结：根据轴对称性质补全问题即可． 【详解】任务一：略 任务二：∵ ∴在的垂直平分线上， ∴，故D正确； ∵，， ∴， ∴， 即平分， 故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故B正确， 但无法推出， 故选：； 任务三：（1）四边形的面积 ． 故答案为：； （2）关于轴对称，∵， ∴， 故答案为：； 项目小结：对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：垂直平分． 21. 在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. （1）如图，于，于，求证：； （2）如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； （3）如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， ，， ； （2） 解：， 理由如下： 如下图所示，过点作，， ， ， ， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， 又，， ， 在和中 ，. ； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、对应角之间的关系． 连接根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证结论成立； 过点作，，根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接，过点作，，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可知、，从而可得，可得：． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，连接，过点作， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形，为底边， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）___________（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，若的面积为S，请你写出用来表示S的式子，并表示出的取值范围． （4）当点在边上运动时，出发___________秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质和判定，两变量之间的关系式，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）根据写出关系式，当点在边上运动时，用时秒，据此写出的取值范围； （4）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即， 解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 解：当点在边上运动时，用时秒， ； 【小问4详解】 解：①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， 秒； 综上所述：为秒或秒． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $