精品解析：江苏省镇江第一中学2025-2026学年高一上学期适应性测试数学试题

高一数学适应性测试 一、单选题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可． 【详解】命题“，”为全称量词命题，其否定为：，． 故选：C． 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再根据并集运算即可求解. 【详解】， ， 所以. 故选:A. 3. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由参变量分离法可得，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】命题“，不等式恒成立”是真命题，则， 令，则，则，可得， 因为函数、在区间上均为减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 故当时，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 4. 若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解 【详解】， 当且仅当，时取到最小值. 故选：B 5. 已知：，：．若是的既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得当是的充分条件和当是的必要条件时的范围，即可得出是的既不充分也不必要条件时的范围． 【详解】由题可知，，， 当是的充分条件时，，解得； 当是的必要条件时，，解得； 所以当是的既不充分也不必要条件时，， 故选：B． 6. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，判断的单调性，然后对不等式进行变形化简，进而得出结果. 【详解】设函数，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增. 不等式，即不等式. 因为，所以，所以， 则不等式等价于不等式， 所以，解得. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期. 【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，； 由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称； 结合条件关于直线对称，， 可以得出. 对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误； 对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确； 对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误； 对于D选项，，D选项错误. 故选：B 8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论. 【详解】函数的图象如图所示： ， 当时，， 由于关于的不等式恰有一个整数解， 因此其整数解必为3，又，， 结合图象可知，解得， 因为要求的最大值，所以不必考虑. 综上所述，的最大值为. 故选：D 【点睛】方法点睛： 数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键． 二、多选题 9. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】原不等式等价于，分类讨论即可得出选项 【详解】原不等式等价于， 根据的正负讨论，当时，解集为，则成立； 当时解集中没有0，不合题意， 时，解集不可能为不合题意. 故. 故选:AD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 若函数，则函数 C. 若，则函数中满足的函数共有9个 D. 若定义在上的函数满足，且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据单调性判断A，根据换元法求选项B，根据映射定义判断C，根据赋值法判断D. 【详解】对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故A错误； 对于B，令，则，所以，即，故B错误； 对于C，，满足，则集合中剩2个元素， 但集合中仍有3个元素，集合中每一个元素在集合中都有3个相对应，即个，故C正确； 对于D，，令，则， 则，所以，故D正确； 故选：CD. 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则 B. 函数存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 【答案】ACD 【解析】 【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值； B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断； C，先设跟随区间为，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围， D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解． 【详解】选项：由已知可得函数在区间,上单调递增，则有 ， 解得或1（舍，所以，正确； 选项：若存在跟随区间， 又因为函数在单调区间上递减，图象如图示， 则区间一定是函数的单调区间，即 或, 则有，解得，此时异号， 故函数不存在跟随区间，不正确； 选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减， 若存在跟随区间， 则有，即， 两式作差得：， 即， 又，所以，得， 所以，设，则， 即在区间上有一个实数根， 只需：，解得，正确； 选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，值域为， 当时，函数在定义域上单调递增， 则，是方程的两个不相等的实数根，解得或， 故存在定义域为使得值域为，正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强. 三、填空题 12. 已知，且，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知式子拼凑出，将乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 由可得， 则 当且仅当，即时取等， 所以的最小值是， 故答案为：. 13. 定义在上的函数，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数之间的关系得到函数在其他区间上的表达式，结合函数图像可得到的最大值. 【详解】因为，且当时，，此时最大值小于1； 当时，， 所以， 此时最大值小于1； 当时，， ， 此时最大值小于1； 当时，， ； 将展开得， 当时，此时取得最大值为， 由图可得，令，解得， 因为对任意，都有， 所以的最大值是， 故答案为：. 14. 设常数，若存在且，使得，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先去绝对值讨论的值，再讨论与两种情况满足的不等式，再求解不等式即可. 【详解】由题意，若成立，则： 当时有解，或当时有解. 即当时有解，或当时有解. ①当时，无解，此时，，不满足； ②当时，无解，此时，，不满足； 故，则当时有解，或当时有解. 故或，即或， 即或. 求解可得或； 求解可得或； 综上有的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛： （1）观察到等式两边有相似的式子，考虑分情况讨论去绝对值； （2）先根据分式的值域考虑参数的特殊取值，再分析一般情况并根据题意列出不等式求解范围. 四、解答题 15. 已知集合，集合，集合. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由反比例函数值域可求得集合，根据交集、并集和补集定义可直接求得结果； （2）根据集合包含关系，结合二次函数图象分析可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 ，， ；. 【小问2详解】 ，， 令，则，解得：， 即的取值范围为. 16. 常数，函数 （1）若，解关于的不等式； （2）若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 【答案】（1） 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，分类讨论两根大小，结合二次不等式的解法可得所求解集； （2）分析可知存在，对恒成立，可得，根据函数单调性以及恒成立问题运算求解. 【小问1详解】 若，则， 令，解得或， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问2详解】 因为时，恒成立， 等价于对恒成立， 即存在实数m，使得对恒成立， 可知， 当时，由在内单调递减， 当时，，当时，， 则，解得， 所以的最小值为. 17. 据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人； （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合，可解得的范围，即可得出结论； （2）根据题意可得出，化简后可得，然后结合基本不等式及为正整数可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题可得：， 化简后可得：，结合，可得. 故调整后的技术人员的人数x最多为65人； 【小问2详解】 由（1），研发人员的年总投入为：， 技术人员的年总投入为：. 由题可得：， 化简后可得：， 为使恒成立， 则，由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号，则. 结合为正整数，可得正整数m的最大值为5. 18. 已知，函数． （1）当时，求使成立的的集合； （2）若在区间上的最大值为2，求实数的值； （3）求函数在区间上的最小值（用表示）． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分段求解不等式即可； （2）分在三种情况处取最大值即可； （3）讨论对称轴的位置即可. 【小问1详解】 当时， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上，所求解集为 【小问2详解】 （ⅰ）当时，或3， ，在区间的最大值，舍去； ，在区间的最大值，舍去； （ⅱ）当时，或（舍） 在区间的最大值，成立 （ⅲ）时， 此时在区间的最大值，成立 或 【小问3详解】 ①当时，在区间上， ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是， ，， ②当时，在区间[1，2]上 ③当时，在区间上， ，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是， 1°当即时，． 2°当即时， 19. 定义． （1）写出函数的表达式； （2）已知函数，求的最小值； （3）已知函数，当时，的最小值为8，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新函数的定义，写出表达式． （2）由题意可知，再分类求出的最小值； （3）由（2）知可能是两函数的取大或取小型，利用假设法求出，再用新定义求解． 【小问1详解】 根据已知． 可得． 化简得． 【小问2详解】 由题可知． 因为，当过时， 作出函数的大致图象， 当时，由可得， 所以． 当时， ． 综上，． 【小问3详解】 因为， 令，解得， 所以， 因为，所以． 因为，恒过定点， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学适应性测试 一、单选题 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知：，：．若是的既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 二、多选题 9. 若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间是 B. 若函数，则函数 C. 若，则函数中满足的函数共有9个 D. 若定义在上的函数满足，且，则 11. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（ ） A. 若为的跟随区间，则 B. 函数存在跟随区间 C. 若函数存在跟随区间，则 D. 二次函数存在“3倍跟随区间” 三、填空题 12. 已知，且，则的最小值是__________. 13. 定义在上的函数，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值是_________． 14. 设常数，若存在且，使得，则的取值范围是______. 四、解答题 15. 已知集合，集合，集合. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 16. 常数，函数 （1）若，解关于的不等式； （2）若，存在，对任意，恒成立，求的最小值. 17. 据了解，某企业研发部原有100名技术人员，年人均投入50万元，现将这100名技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名，调整后研发人员的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前的100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数x最多为多少人； （2）若技术人员在已知范围内调整后，必须要求研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，求正整数m的最大值. 18. 已知，函数． （1）当时，求使成立的的集合； （2）若在区间上的最大值为2，求实数的值； （3）求函数在区间上的最小值（用表示）． 19. 定义． （1）写出函数的表达式； （2）已知函数，求的最小值； （3）已知函数，当时，的最小值为8，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $