精品解析：重庆市第一中学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

数学试题卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后， 将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，若为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若两条直线与圆的四个交点能构成长方形，其中较长边长度为4，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为:若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（是在处的导数值），其中称为函数在闭区间上的中值点.现在有这样的问题:若函数在区间上的“中值点”个数为，函数（其中为自然对数的底数）在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 7. 某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有链错的得0分） 9. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，且，则 B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列. C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则 D. 若数列为等比数列，且，则 10. 已知抛物线，点、、为抛物线上三点，且的重心为抛物线的焦点，记直线的斜率分别为.若，则（ ） A. B. 的三个顶点到轴的距离之和为3 C. 若点坐标为，则 D. 当点的横坐标为4时， 11. 已知不是直角三角形，内角所对边分别为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则的值为______. 13. 已知，且，则的最小值为______ 14. 设为数列的前项和，，则______ 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在信号处理中，形如（其中是自然对数的底数）的函数称为“衰减多项式包络”，常用于电磁波、声波在介质中的能量衰减模型以及神经元膜电位的发放后电位衰减等领域.某学习小组对的情况开展研究，请回答下列问题. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当且时，恒成立，求正实数的取值范围. 16. 把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. （1）写出数列的前2项；并求其通项公式； （2）求. 17. 在锐角中，所对边分别为，满足且. （1）求； （2）若点为的垂心，，，则求线段的长度. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点. （1）求的方程； （2）（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由； （ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2. 19. 某珍稀植物保育点设有4个独立苗床.初始时，1个苗床定植成功，3个为空置.每季度，保育员随机巡查1个苗床（4个等概率）:若该苗床为空置，则补种，成活概率为50%；若该苗床已成功，则仅进行养护（状态不变）.记第季度后成功苗床数为随机变量为的期望. （1）求； （2）（i）对，请用，和这三个量表示； （ii）证明点在一条直线上，并求出该直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后， 将答题卡交回. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集的定义求解. 【详解】由，得，解得，则， 解不等式，得，解得，则， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特点分焦点在轴或轴两种情况进行讨论分析，可得到正确答案. 【详解】当表示双曲线时，均不为0. 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以 当时，若则表示焦点在轴上的双曲线， 若则表示焦点在轴上的双曲线. 所以“”是“为双曲线方程”的充要条件． 故选：C. 4. 已知函数，若为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，根据函数的奇偶性得到关于的等式，结合的范围即可判断选项.. 【详解】由可得， 为偶函数，故，即， 又，故当时，满足要求，C正确；其他选项均不正确. 故选：C 5. 若两条直线与圆的四个交点能构成长方形，其中较长边长度为4，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】圆心到两直线的距离相等，由点到直线距离公式得到方程，求出，故，分和两种情况，结合点到直线距离公式求出答案. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形， 故圆心到两直线的距离相等，的圆心为原点，半径为， 故，又，所以，故， 假设，设原点到直线的距离为， 则，解得，故，解得， 所以 假设，则原点到直线的距离为， 即，解得，所以， 综上，或. 故选：D 6. 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为:若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（是在处的导数值），其中称为函数在闭区间上的中值点.现在有这样的问题:若函数在区间上的“中值点”个数为，函数（其中为自然对数的底数）在区间上的“中值点”的个数为，则有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用拉格朗日中值定理建立方程，再结合导数求出方程解的个数即可. 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，求导得， 则，因此，而，则方程有唯一解，即； 设函数在上的“中值点”为，求导得， 于是，即，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 因此函数在上有唯一零点，即方程在上有唯一解，则， 所以. 故选：B 7. 某学校随机将16名学生平均分成两个小组，分别参加数学和物理兴趣小组，学生学号为1，2，3，..，16，设数学小组里的学生最小学号为，最大学号为，物理小组里的学生最小学号为，最大学号为，则“”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出将这16个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组的方法数，再假设1号参加数学兴趣小组，推出学号为1到5的学生，11号在数学兴趣小组，数学兴趣小组另外2个学生情况数为，数学兴趣小组与物理兴趣小组互换，同样有6种情况，共有12种满足要求，从而计算出概率. 【详解】将这16个学生随机分为两组参加数学和物理两个兴趣小组，共有种方法， 假设1号参加数学兴趣小组，则数学兴趣小组中学生最大学号为11， 故16号学生参加物理兴趣小组，则物理兴趣小组中学生的最小学号为6， 从而学号为1到5的学生均参加数学兴趣小组， 学号为7、8、9、10的学生有任意2个参加数学兴趣小组， 满足要求的情况数为； 假设1号参加物理兴趣小组，同样有6种情况， 综上，共有种，满足要求，所以“”的概率为， 故选： C. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，，求导，得到单调性，求出，故，构造，，二次求导，得到单调性，求出，，得到答案. 【详解】，，设，， 则，故在上单调递增， 又，故，所以，； ，，设，，其中， 则，，其中， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，故， 所以在上单调递增，故， 即，所以，. 综上，. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有链错的得0分） 9. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，且，则 B. 若数列的前项和为，且，则是等差数列. C. 若数列为等比数列，为前项和，，，则 D. 若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 10. 已知抛物线，点、、为抛物线上三点，且的重心为抛物线的焦点，记直线的斜率分别为.若，则（ ） A. B. 的三个顶点到轴的距离之和为3 C. 若点坐标为，则 D. 当点的横坐标为4时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，根据重心得到方程，求出，，由焦半径公式和得到方程，求出；B选项，，B错误；C选项，表达出，，，从而；D选项，求出，又，故，所以，求出，故，且，根据弦长公式得到，D正确. 【详解】A选项，设，显然，，， 的重心为，故，， 故，， 由焦半径公式可得，，， 故， 又，则，解得或0（舍去），A正确； B选项，，故的三个顶点到轴的距离之和为6，B错误； C选项，抛物线方程为，故， 故，同理可得，， 所以，C正确； D选项，因为，点的横坐标为4，所以， 又，故，所以， 平方可得，故， 故，且， 所以，D正确. 故选：ACD 11. 已知不是直角三角形，内角所对边分别为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，再由正弦定理和余弦定理得到，A错误；B选项，结合得到，由基本不等式求出最值，结合余弦函数单调性得到；C选项，利用同角三角函数关系及可变形得到；D选项，根据和正弦定理，同角三角函数关系得，并计算出，其中，故，D正确. 【详解】A选项，， 即， ， ， ，化简得， 由正弦定理得，由余弦定理得， 所以，，A错误； B选项，，又在上单调递减， 所以，的最大值为，B正确； C选项，， 因为，所以，代入上式可得 ，C正确； D选项，，由正弦定理得， 即，即， 其中， 而， 所以 ， 不是直角三角形，故，故，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示求出，再利用坐标求出向量的模. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以，故，所以. 故答案为： 13. 已知，且，则的最小值为______ 【答案】6 【解析】 【分析】先求出，利用基本不等式“1”的代换求出最小值. 【详解】， 又，故，， 所以， ，，故， 所以由基本不等式得， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故答案为：6 14. 设为数列的前项和，，则______ 【答案】15 【解析】 【分析】利用及给定递推公式变形，构造常数数列求出，再利用对数运算法则及等差数列前项和公式求解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 因此数列是常数列，，则， 由，得，当时，， 令，则， 因此，所以. 故答案为：15 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在信号处理中，形如（其中是自然对数的底数）的函数称为“衰减多项式包络”，常用于电磁波、声波在介质中的能量衰减模型以及神经元膜电位的发放后电位衰减等领域.某学习小组对的情况开展研究，请回答下列问题. （1）当时，求在处的切线方程； （2）当且时，恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由给定不等式变形并构造函数，利用导数求出最大值，再建立不等式求解. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数，当且时，不等式恒成立， 令函数，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 依题意，，解得， 所以正实数的取值范围是. 16. 把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. （1）写出数列的前2项；并求其通项公式； （2）求. 【答案】（1），，． （2） 【解析】 【分析】（1）先求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求得，然后写出数列的前2项即可； （2）利用错位相减法即可求出. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为，， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为． 所以，. 【小问2详解】 ， 则， ， 两式相减得 ， 则. 17. 在锐角中，所对边分别为，满足且. （1）求； （2）若点为的垂心，，，则求线段的长度. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先将进行角化边，整理得到，再利用余弦定理求出的值，从而得到； （2）由点为的垂心，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，由得到，在中，由的长度和的大小得到的长度，在中，由和的长度得到的长度，在中，由的大小得到的长度，从而得到的长度. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是锐角三角形， . 【小问2详解】 点为的垂心， 连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于， ，， 在中，，， ， 在中，，，， 在中，，， . 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为8，椭圆的一条弦的中点为，满足:在直线上且不为坐标原点，点分别为椭圆的左、右焦点. （1）求的方程； （2）（i）记椭圆右顶点为，线段上是否存在点，使得?若存在，请求点横坐标的范围；若不存在，请说明理由； （ii）若点均在轴上方，且点在点上方，证明四边形的面积小于2. 【答案】（1）； （2）（i）不存在，理由如下： 若存在上的点，使得，则， 由题意，设， 由，得， 则， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 即，令，则， 由，得， 因此，， 当点在线段上时，，又， 所以线段上不存在点，使得. （ii）由（i）知，， 直线的方程， 由消去得， 由，得， ，由在轴上方，得， 因此，设直线与交于点， 所以四边形的面积 . 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）（i）利用中点弦问题求出直线的斜率，进而求出线段中垂线方程，并求出与轴交点的横坐标即可判断得解；（ii）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出四边形面积关系，借助基本不等式求出范围即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆长轴长与短轴长之积为8，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 某珍稀植物保育点设有4个独立苗床.初始时，1个苗床定植成功，3个为空置.每季度，保育员随机巡查1个苗床（4个等概率）:若该苗床为空置，则补种，成活概率为50%；若该苗床已成功，则仅进行养护（状态不变）.记第季度后成功苗床数为随机变量为的期望. （1）求； （2）（i）对，请用，和这三个量表示； （ii）证明点在一条直线上，并求出该直线的方程. 【答案】（1）； （2）（i）； （ii）证明：由（1）得，， ， 由（i）得 ， 故点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. （2）（i）利用全概率公式求出表达式；（ii）利用数学期望公式，结合（i）的结论计算得证，进而求得直线方程. 【小问1详解】 依题意，， ， 由全概率公式： . 【小问2详解】 （i）， 所以 . （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $