精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高三上学期10月阶段性考试数学试卷

江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高三年级阶段性考试 数学试卷 命题人：高三数学备课组 2025.10 说明： 1．请将答案填写在答卷上． 2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】由有意义，得，解得或， 则或，，而， 所以. 故选：A 2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行得到方程，求出或，从而得到答案. 【详解】因为，所以，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用化切为弦将化成，利用和角公式将化成，两者联立求出，，代入公式计算即得. 【详解】由可得，① ， 由可得，② ， 联立①，② ，解得，， 故. 故选：A. 5. 在直三棱柱中，是棱的中点，则C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等体积法，即通过转换三棱锥的顶点，利用体积相等来求解点到平面的距离。 【详解】如图所示： 由条件得为等腰直角三角形，且， 故 因为是棱的中点，所以，所以， 则，， 设到直线的距离为，由， 可知，， 且，设C到平面的距离为， 因为，所以，解得. 故选：C 6. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数在上单调递增，再根据奇偶性可判断各选项. 【详解】由当时，， 得， 设，则， 所以在上单调递增， 又函数为偶函数， 所以为偶函数， 所以在在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以，A选项错误； ，即，所以，B选项错误； ，即，所以，C选项错误； ，即，所以，D选项正确； 故选：D. 7. 如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解 【详解】方法一： 因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 方法二： 以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，. 则，，，. 所以. 又因为，，所以有 两式作差得.故. 故选：D 8. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根 【答案】AC 【解析】 【分析】对复数进行化简可得，再逐一分析选项即可． 【详解】对于A，，所以，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程左边， 即，也即不是该方程的根，故D错误． 故选：AC． 10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作出相应的图象，利用线面平行可得平面即可对A判断求解；利用线面垂直证明平面，从而可证即可对B判断求解；.过的截面为梯形，利用几何知识即可求出其周长，即可对C判断求解；截面将正方体分成三棱台和剩余的部分，先求出三棱台的体积，即可对D判断求解. 【详解】对于A，连接AC，则，，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，，平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 对于C，过的截面为梯形， ，，， 所以其周长为，故C错误； 对于D，截面将正方体分成三棱台和剩余的部分， 三棱台的体积为， 剩余部分的体积为，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数恰有4个零点，则 B. 关于x的方程有10个不同的实数解 C. 当时，不等式恒成立 D. 函数的图象与直线及x轴所围成图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题作出函数图象，利用数形结合，对于A，将题意转化为与有4个交点，结合图象分析判断；对于B，将题意转化为与的交点个数，分析判断；对于C，转化为恒成立，即可判断；对于D：根据图象结合题意运算求解． 【详解】当时，， 当时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 当时，即时，， 当时，即时，，且， 依次类推，作出函数的大致图象， 对于A，若函数恰有5个零点，即与有5个交点，如图所示， 此时直线过点，所以，解得， 同理，若函数恰有3个零点，即与有3个交点， 此时直线过点，所以，解得， 则函数恰有4个零点时，有，故A错误； 对于B，由图象规律可知与的交点个数是10，故B正确； 对于C，由，，，，，， 任意实数，不等式恒成立，等价于恒成立， 由图知函数在的每一个上顶点的纵坐标为，且， 即恒成立，故C正确； 对于D，函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】设为的中点，连接，结合题设分析易得，（或其补角）为直线与所成的角，（或其补角）为直线与所成的角，进而求解即可. 【详解】如图，设为的中点，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，， 而，则， 则（或其补角）为直线与所成的角，即或， 而（或其补角）为直线与所成的角， 当时，， 当时，， 故答案为：或. 13. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，则的最小值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】由正弦定理得，化简可得，然后设，，表示出，所以，构造函数求最值即可得出答案． 【详解】由正弦定理， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，得 ∴， ∴， 即． 设，则， 因为三角形为锐角三角形，所以，， 此时，即． 所以． 三角形为锐角三角形，则，又，可得． 令，． 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以， 则的最小值是6． 故答案为：6． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，，结合辅助角公式对函数进行化简，再根据正弦函数的图象和性质得出的对称轴方程； （2）求出在内的值域，结合题给方程求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为的对称轴为， 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. 【小问2详解】 当时，，当，即时，取最大值1， 当，即时，取最小值，则， 因为，使得成立，则有解， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 15. 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率； （2）记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 ，数学期望：【解析】 【分析】（1）设出事件，利用条件概率的公式可得答案； （2）求出的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案. 【小问1详解】 设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学连胜两局”， 若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况， 所以， ， 则， 则该同学在以获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为. 【小问2详解】 由题意的所有取值为. 则， ， 所以变量的分布列为 0 1 2 则的期望为. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点. （1）证明：； （2）设点，，，均在球的球面上. ①证明：点O在平面内； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面平面，且平面平面， 且是等腰直角三角形，，点是的中点， 所以，所以平面，且平面， 所以； （2）①因为是等边三角形，且点是的中点， 所以， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，， 设， 由条件可知，， 所以， 解得：，即， 所以点在平面内； ② 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）①首先根据（1）的结果建立空间直角坐标系，利用坐标法求点的坐标，即可证明； ②求平面的法向量，利用坐标法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②，，， 设平面的一个法向量， ，令，则， 所以平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以. 17. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量运算可得，然后由正弦定理边角互化可得答案； （2）由题及余弦定理可得，然后由（1）结合可得答案； （3）解法一：设，，然后在，中利用正弦定理可得 ，然后由三角函数性质可得答案；解法二：由题，又可得，然后由正弦定理边角互化可得，据此可得答案. 【小问1详解】 且 ，即. . 又，则，结合，； 【小问2详解】 而 为角的角平分线 . 即，； 【小问3详解】 设，则； 设，则. 在中即 在中 即， 则. 又，，而， ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 18. 已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 【答案】（1）最小值为，无最大值 （2） （3） 由， 令， 即， 因为函数有两个不同的极值点， 所以①，②， 令③，则，代入②得： 由①得：，两式相减：， 所以， 又，得， 则，要证，即证， 即证，化简得， 即证，即, 即证， 令，， ，所以， 即，所以在上单调递增， 所以，所以，得证. 【解析】 【分析】(1)通过求导找函数单调性的分界点，进而确定极值（也是最值）。 (2)分别分析与的极值存在性（结合a的取值分类讨论），再根据“极值相等”列方程求解a. (3)先通过求导确定的极值点满足的关系，再构造函数结合单调性证明不等式. 【小问1详解】 当时，函数，定义域为，求导得， 令，解得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，也是最小值， 最小值为，无最大值. 【小问2详解】 对求导得， 因为存在极值，所以在上有解，解得（）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值，， 对，求导得， 因为存在极值，所以有解，解得（）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，在处取得极小值， ，因为和极值相等，所以， 即， 因为，所以，即，因此，实数a的值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高三年级阶段性考试 数学试卷 命题人：高三数学备课组 2025.10 说明： 1．请将答案填写在答卷上． 2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在直三棱柱中，是棱的中点，则C到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　） A. B. C. D. 7. 如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根 10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数恰有4个零点，则 B. 关于x的方程有10个不同的实数解 C. 当时，不等式恒成立 D. 函数的图象与直线及x轴所围成图形的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________. 13. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知函数. （1）求图象的对称轴方程； （2）若，使得成立，求实数的取值范围. 15. 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局. （1）该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率； （2）记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望. 16. 如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点. （1）证明：； （2）设点，，，均在球的球面上. ①证明：点O在平面内； ②求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，求函数的最值； （2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值； （3）若函数有两个不同的极值点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $