第10讲 二次函数与幂函数 讲义-2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第10讲 二次函数与幂函数 【基础回顾】 知识点1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 知识点2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 题型一 幂函数的定义域与值域 1. 将化为分数，判断奇偶性与定义域． 2. 结合图像求值域（注意定义域限制）． 【例题精讲】 1．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1的定义域为R，则m＝（　　） A．0 B．2 C．3 D．1 2．已知函数，若f（x）的值域为[2，6]，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，0） D． （多选）3．已知函数f（x）＝（m2﹣6m+6）xm﹣3是幂函数，则（　　） A．m＝5 B．f（﹣1）＝1 C．f（x）的图象关于y轴对称 D．若f（2）＞1，则f（x）＝x2 （多选）4．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x3 （多选）5．下列关于幂函数的说法正确的有（　　） A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．f（x）为偶函数 D．不等式f（x）＞1的解集为（0，1） 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 比较大小方法： 同底数不同指数：利用单调性（如与）． 同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）． 中间值法：借助 0, 1 等中间值比较（如与，前者，后者）． 【例题精讲】 1．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（　　） A． B．y C． D． 3．若a＝0.990.5，b＝1.010.5，c＝1，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c 4．已知，，c＝23，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a （多选）5．已知函数f（x）＝xa的图象经过点，则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的图象经过点 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）在定义域上为减函数 D．当x＜0时，f（x）≤﹣x﹣2恒成立 题型三 幂函数的奇偶性与单调性综合 1. 由奇偶性确定的分数形式中 p, q 的奇偶性． 2. 结合单调性判断的正负． 3. 利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）． 【例题精讲】 1．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1） 2．若幂函数y＝f（x）的图像经过点（18，），则函数f（x﹣6）+[f（x）]2的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 3．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+3为偶函数，则2m+log2m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 （多选）4．已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　） A．f（1）＝1 B．函数f（x）为奇函数 C．函数f（x）的值域为R D．当x2＞x1＞0时， 5．已知幂函数在（0，+∞）单调递增，则关于x的不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为　 　 ． 题型四 二次函数的解析式图像性质及最值问题 1.求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 2.二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“轴定区间动”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”． 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝x2+ax﹣11在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞） 2．已知二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[1，+∞），则的最小值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 3．已知二次函数y＝﹣x2+2ax+1﹣a． （1）若函数在0≤x≤1上最大值是2，求实数a的值； （2）求二次函数在0≤x≤1上的最小值． 4．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝4x． （1）求f（x）的解析式； （2）直接写出f（x）的单调区间； （3）求f（x）在区间[﹣1，t]上的最大值和最小值． 5．已知函数f（x）＝x2+ax+3﹣a，a∈R． （1）若f（x）过点P（2，6），求f（x）解析式； （2）若y＝f（x）． （ⅰ）当x∈[﹣1，3]函数f（x）不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当x∈[0，2]函数f（x）的最小值是关于a的函数m（a），求m（a）表达式． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）＝mx2+x﹣1在区间（﹣1，+∞）上单调递增，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且 3．已知x＞1，y＞0，x+y＝3，则（x﹣1）•y的最大值是（　　） A． B． C． D．1 4．已知偶函数的图象过点（1，1），则m＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 5．已知点（m，9）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xα的图象上，设，b＝f（ln2），，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 6．已知a，b∈R，则“a＞b”是“a2024＞b2024”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知幂函数f（x）的图象经过点A（3，27）与点B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 8．若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，，的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则|AC|＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（　　） A．p＝3，m＝2，，n＝﹣3 B．p＝4，m＝3，，n＝﹣2 C．p＝2，m＝3，，n＝﹣3 D．，，q＝﹣2， （多选）10．已知幂函数，则（　　） A． B．f（x）的定义域为R C．f（x）为非奇非偶函数 D．不等式f（2x+1）＞f（5﹣x）的解集为 （多选）11．已知函数f（x）＝24ax2+4x﹣1，a∈R，则下列说法正确的是（　　） A．若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，则 B．若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，则或 C．若f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则 D．若f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则 三．填空题（共3小题） 12．已知幂函数f（x）＝（2m+3）xm，写出一个使得不等式成立的自然数x的值 　 　 ． 13．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则m＝ 　 　 ． 14．已知幂函数f（x）＝mxn的图象过点（，2），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln2），则a、b、c的大小用小于号连接为 　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），且f（x）＜0的解集为（1，3）． （1）若f（x）在区间（m﹣1，m+1）上单调，求实数m的取值范围； （2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值g（t）． 16．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5， （1）若f（x）＜0在R上有解，求实数a的取值范围； （2）若f（x）在区间[﹣1，2]的最小值为3，求实数a的取值； （3）若a＝2，是否存在实数m，n（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上单调递减，且在[m，n]上的值域为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 17．已知幂函数为奇函数． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围． 18．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且f（﹣1）＝4，f（0）＝1，f（3）＝4． （1）求f（x）的解析式； （2）若x∈[﹣1，5]，求函数f（x）的值域； （3）解关于x的不等式mx2+（1﹣m）x﹣1＜0（m≥0）． 19．已知幂函数f（x）＝x（2﹣k）（1+k）（k∈Z）满足f（2）＜f（3）． （1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式； （2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1﹣mf（x）+（2m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第10讲 二次函数与幂函数 【基础回顾】 知识点1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 知识点2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 题型一 幂函数的定义域与值域 1. 将化为分数，判断奇偶性与定义域． 2. 结合图像求值域（注意定义域限制）． 【例题精讲】 1．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+1）xm﹣1的定义域为R，则m＝（　　） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解答】解：函数f（x）为幂函数，则m2﹣3m+1＝1，解得m＝3或m＝0， 当m＝0时，f（x）＝x﹣1的定义域不为R，不符合题意， 当m＝3时，f（x）＝x2的定义域为R，符合题意， 综上，m＝3． 故选：C． 2．已知函数，若f（x）的值域为[2，6]，则实数c的取值范围是（　　） A． B． C．[﹣1，0） D． 【答案】A 【解答】解：因为当x＜c时，y2，在定义域内单调递增， 且有22≤6，解得x，即c； 又因为当c≤x≤3时，f（x）＝x2﹣2x+3， 当x＝3时，y＝6； 当x＝1时，y＝2； 当x＝﹣1时，y＝6； 又因为函数的值域为[2，6]， 又因为当x＜0时，2＞2， 所以﹣1≤c． 故选：A． （多选）3．已知函数f（x）＝（m2﹣6m+6）xm﹣3是幂函数，则（　　） A．m＝5 B．f（﹣1）＝1 C．f（x）的图象关于y轴对称 D．若f（2）＞1，则f（x）＝x2 【答案】BCD 【解答】解：由题可得：m2﹣6m+6＝1⇒m2﹣6m+5＝（m﹣1）（m﹣5）＝0， 所以m＝1或m＝5，故f（x）＝x﹣2或f（x）＝x2，A错； 所以f（﹣1）＝（﹣1）﹣2＝1或f（﹣1）＝（﹣1）2＝1，B对； 显然f（x）＝x﹣2、f（x）＝x2都是偶函数，C对； 由，而f（2）＝22＝4＞1，故f（x）＝x2，D对． 故选：BCD． （多选）4．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（　　） A． B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x3 【答案】ACD 【解答】解：A．y，当x∈（0，+∞）时，y∈（0，+∞），故正确； B．y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，当x∈（0，+∞）时，y∈[0，+∞），故错误； C．y，反比例函数，当x∈（0，+∞）时，y∈（0，+∞），故正确； D．y＝x3，单调递增的幂函数，当x∈（0，+∞）时，y∈（0，+∞），故正确； 故选：ACD． （多选）5．下列关于幂函数的说法正确的有（　　） A．f（x）的定义域为R B．f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．f（x）为偶函数 D．不等式f（x）＞1的解集为（0，1） 【答案】BD 【解答】解：幂函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故A错误， f（x）的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B正确； 函数f（x）的定义域关于原点对称， f（﹣x）， 所以f（x）为奇函数，故C错误； f（x）＞1， 则，解得0＜x＜1，故D正确． 故选：BD． 题型二 幂函数的图像识别与比较大小 比较大小方法： 同底数不同指数：利用单调性（如与）． 同指数不同底数：利用幂函数在第一象限的图像（如与，底数大的函数值大）． 中间值法：借助 0, 1 等中间值比较（如与，前者，后者）． 【例题精讲】 1．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，①②③④对应四个幂函数的图像， 由图可知，①对应的幂函数， 函数的定义域为[0，+∞），在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数α的值满足0＜α＜1，故排除选项AD； ∵的定义域为R，∴不符合题意，故排除选项B； 的定义域为[0，+∞），符合题意，故C正确． 故选：C． 2．如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（　　） A． B．y C． D． 【答案】C 【解答】解：由图象可知，函数y为偶函数，且在[0，+∞）上单调递减， 对于A，函数y为奇函数，故A错误； 对于B，y在[0，+∞）上单调递增，故B错误； 对于C，函数y为偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，符合题意，故C正确； 对于D，在[0，+∞）上单调递增，故D错误． 故选：C． 3．若a＝0.990.5，b＝1.010.5，c＝1，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c 【答案】A 【解答】解：由题意得函数y＝x0.5在[0，+∞）上单调递增， 因为0.99＜1＜1.01，所以得：b＞c＞a． 故选：A． 4．已知，，c＝23，则（　　） A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 【答案】A 【解答】解：由幂函数y＝x3为R上的增函数， 且2， 所以23，即b＜a＜c． 故选：A． （多选）5．已知函数f（x）＝xa的图象经过点，则下列结论错误的是（　　） A．f（x）的图象经过点 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）在定义域上为减函数 D．当x＜0时，f（x）≤﹣x﹣2恒成立 【答案】BC 【解答】解：因为函数f（x）＝xa经过点（，3），即3，解得a＝﹣1，所以函数解析式为f（x）， 当x＝2时，f（2），所以函数f（x）过点（2，），选项A正确； f（x）为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，选项B错误； f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递减，选项C错误； 当x＜0时，f（x）+x+2x+20， 所以f（x）≤﹣x﹣2恒成立，选项D正确． 故选：BC． 题型三 幂函数的奇偶性与单调性综合 1. 由奇偶性确定的分数形式中 p, q 的奇偶性． 2. 结合单调性判断的正负． 3. 利用奇偶性将不等式转化为正数区间上的问题（如奇函数中，可转化为在正数区间比较）． 【例题精讲】 1．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1） 【答案】A 【解答】解：幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减， 所以a2+a﹣1＝1且a2﹣2a﹣3＜0， 解得，a＝1． 故选：A． 2．若幂函数y＝f（x）的图像经过点（18，），则函数f（x﹣6）+[f（x）]2的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】C 【解答】解：设函数f（x）＝xα， 由题意可知，解得a， ∴f（x）， f（x﹣6）+[f（x）]2，x≥6， 令t，则x＝t2+6，且t≥0， ∴f（x﹣6）+[f（x）]2， ∴函数y＝t2+t+6在[0，+∞）上单调递增， ∴当t＝0，即x＝6时，函数取得最小值6． 故选：C． 3．已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+3为偶函数，则2m+log2m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解答】解：因为函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+3为幂函数， 所以m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2， 又因为f（x）为偶函数，所以m＝1， 所以． 故选：B． （多选）4．已知幂函数f（x）的图象经过点，则（　　） A．f（1）＝1 B．函数f（x）为奇函数 C．函数f（x）的值域为R D．当x2＞x1＞0时， 【答案】ABD 【解答】解：设f（x）＝xα，由题意可得2α， 所以α＝﹣3，f（x）＝x﹣3，f（1）＝1，A正确； 定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，B正确； f（x）≠0，C错误； x2＞x1＞0时，任取A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），AB的中点（，）， 则AB的连线在f（x）图像的上方， 所以f（），D正确． 故选：ABD． 5．已知幂函数在（0，+∞）单调递增，则关于x的不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为　（0，2）　 ． 【答案】（0，2）． 【解答】解：因为函数f（x）是幂函数，所以m2﹣m﹣1＝1，即m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1， 又因为f（x）在（0，+∞）单调递增，所以0， 综上，m＝2，f（x）， 因为f（﹣x）f（x），所以f（x）为定义域R上的偶函数， 因为f（x+1）＞f（2x﹣1），所以f（|x+1|）＞f（|2x﹣1|）， 所以|x+1|＞|2x﹣1|，所以|x+1|2＞|2x﹣1|2， 化简得3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2， 所以不等式的解集为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 题型四 二次函数的解析式图像性质及最值问题 1.求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 2.二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论： (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“轴定区间动”． (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”． 【例题精讲】 1．已知函数f（x）＝x2+ax﹣11在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4] B．[﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞） 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝x2+ax﹣11在上单调递增， 又已知函数f（x）＝x2+ax﹣11在（2，+∞）上单调递增， 故可得，解得a≥﹣4． 故选：B． 2．已知二次函数f（x）＝ax2+2x+c（x∈R）的值域为[1，+∞），则的最小值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4 【答案】B 【解答】解：∵f（x）＝ax2+2x+c的值域为[1，+∞）． ∴a＞0，且f（x）min＝1． ∴，即ac＝a+1 （c＞0，且c≠1）． 整理得：①． 将①式代入，得到． ∵c＞0． ∴，当且仅当c＝2时，取得最小值． ∴最小值为3． 故选：B． 3．已知二次函数y＝﹣x2+2ax+1﹣a． （1）若函数在0≤x≤1上最大值是2，求实数a的值； （2）求二次函数在0≤x≤1上的最小值． 【答案】（1）﹣1或2； （2）二次函数在0≤x≤1上的最小值为． 【解答】解：（1）由题意可得函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a，对称轴为x＝a，且二次函数开口向下， 当a≤0时，当0≤x≤1时函数f（x）单调递减，此时最大值为f（0）＝1﹣a＝2，解得a＝﹣1； 当a≥1时，当0≤x≤1时函数f（x）单调递增，此时最大值为f（1）＝﹣1+2a+1﹣a＝2，解得a＝2； 当0＜a＜1时，此时最大值为f（a）＝﹣a2+2a2+1﹣a＝2，解得（舍）， 综上所述：实数a的值为﹣1或2． （2）由题意可得函数f（x）＝﹣x2+2ax+1﹣a为开口向下的二次函数，其在闭区间[0，1]上的最小值必在区间端点处取得． 且f（0）＝1﹣a，f（1）＝﹣1+2a+1﹣a＝a． 当f（0）≤f（1），即1﹣a≤a，解得时，函数在[0，1]上的最小值为f（0）＝1﹣a； 当f（0）＞f（1），即1﹣a＞a，解得时，函数在[0，1]上的最小值为f（1）＝a． 综上所述，二次函数在0≤x≤1上的最小值为． 4．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝4x． （1）求f（x）的解析式； （2）直接写出f（x）的单调区间； （3）求f（x）在区间[﹣1，t]上的最大值和最小值． 【答案】（1）f（x）＝2x2﹣2x+1； （2）f（x）在上单调递减，在上单调递增； （3）当时，f（x）的最大值为5，最小值为2t2﹣2t+1； 当时，f（x）的最大值为5，最小值为； 当t＞2时，f（x）的最大值为2t2﹣2t+1，最小值为． 【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）， ∴f（x+1）＝a（x+1）2+b（x+1）+c，f（x+1）﹣f（x）＝2ax+a+b， ∵f（x+1）﹣f（x）＝4x，即2ax+a+b＝4x， ∴，即a＝2，b＝﹣2， 又∵f（0）＝c＝1， ∴f（x）＝2x2﹣2x+1； （2）由（1）知，f（x）＝2x2﹣2x+1， ∵，函数图象开口向上，且对称轴为， ∴f（x）在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）知，当时，f（x）在区间[﹣1，t]上单调递减， ∴， ； 当时，f（x）在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， ； 当t＞2时，f（x）在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ， 综上，当时，f（x）的最大值为5，最小值为2t2﹣2t+1； 当时，f（x）的最大值为5，最小值为； 当t＞2时，f（x）的最大值为2t2﹣2t+1，最小值为． 5．已知函数f（x）＝x2+ax+3﹣a，a∈R． （1）若f（x）过点P（2，6），求f（x）解析式； （2）若y＝f（x）． （ⅰ）当x∈[﹣1，3]函数f（x）不单调，求a的取值范围； （ⅱ）当x∈[0，2]函数f（x）的最小值是关于a的函数m（a），求m（a）表达式． 【答案】（1）f（x）＝x2﹣x+4； （2）（ⅰ）（﹣6，2）； （ⅱ）． 【解答】解：（1）∵P（2，6）在函数f（x）＝x2+ax+3﹣a的图象上， ∴4+2a+3﹣a＝6，解得a＝﹣1， ∴f（x）＝x2﹣x+4． （2）（ⅰ）由函数f（x）＝x2+ax+3﹣a， 可得其图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为， ∵x∈[﹣1，3]函数f（x）不单调， ∴﹣13，解得﹣6＜a＜2， ∴实数a的取值范围（﹣6，2）； （ⅱ）由（ⅰ）知，函数f（x）的图象对应的抛物线开口向上，且对称轴为x， 当0时，即a＞0时，f（x）在[0，2]单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝3﹣a； 当02，即﹣4≤a≤0时，f（x）在[0，）单调递减，在（，2]单调递增， ∴f（x）min＝f（）a2﹣a+3； 当2，即a＜﹣4时，f（x）在[0，2]单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝a+7， ∴m（a）表达式为． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知函数f（x）＝mx2+x﹣1在区间（﹣1，+∞）上单调递增，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当m＝0时，f（x）＝x﹣1在（﹣1，+∞）上单调递增，所以满足题意； 当a≠0时，由题意m＞0，函数f（x）的图象开口向上， 对称轴为直线，因为函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递增， 则，所以； 综上所述：m的取值范围是． 故选：D． 2．如图所示是函数（m，n均为正整数且m，n互质）的图象，则（　　） A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且 C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是奇数，且 【答案】B 【解答】解：由幂函数性质可知：与y＝x恒过点（1，1），即在第一象限的交点为（1，1）， 当0＜x＜1时，，则， 又图象关于y轴对称， ∴为偶函数， ∴， 又m，n互质， ∴m为偶数，n为奇数． 故选：B． 3．已知x＞1，y＞0，x+y＝3，则（x﹣1）•y的最大值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【解答】解：∵x＞1，y＞0，x+y＝3， ∴y＝3﹣x＞0， ∴1＜x＜3， ∴（x﹣1）•y＝（x﹣1）（3﹣x）1（当且仅当x﹣1＝3﹣x，即x＝2时取等号）， ∴（x﹣1）•y的最大值是1． 故选：D． 4．已知偶函数的图象过点（1，1），则m＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：由函数的图象过点（1，1）， 得m2﹣3＝1，解得m＝±2， 当m＝﹣2时，f（x）＝x，为奇函数，不合题意， 当m＝2时，f（x）＝x2，为偶函数，符合题意． 所以m＝2． 故选：C． 5．已知点（m，9）在幂函数f（x）＝（m﹣2）xα的图象上，设，b＝f（ln2），，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【答案】C 【解答】解：因为f（x）＝（m﹣2）xα为幂函数，所以m﹣2＝1，解得m＝3， 把点（3，9）代入f（x）＝xα中，得3α＝9，解得α＝2，所以f（x）＝x2， 因为a＝f（）＝f（1），b＝f（ln2），c＝f（）， 且f（x）在（0，+∞）上为增函数， 又因为0＜ln2＜1，则f（ln2）＜f（1）＜f（）， 所以b＜a＜c． 故选：C． 6．已知a，b∈R，则“a＞b”是“a2024＞b2024”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解答】解：令a＝2，b＝﹣3，满足a＞b，但a2024＜b2024，故充分性不成立， （﹣2）2024＞12024，但﹣2＜1，必要性不成立， 故“a＞b”是“a2024＞b2024”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 7．已知幂函数f（x）的图象经过点A（3，27）与点B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，则（　　） A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【答案】B 【解答】解：设幂函数的解析式为 f（x）＝xα， 把点P（3，27）代入函数的解析式可得， 3α＝27，解得 α＝3， ∴这个函数的解析式是 f（x）＝x3， ∴t3＝64，解得t＝4， ∴a＝log0.14＜0，0＜b＝0.24＜1，c＝40.1＞1， 故a＜b＜c， 故选：B． 8．若直线y＝t（0＜t＜1）与幂函数y＝x3，，的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则|AC|＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：当y＝t时，由，得．由y＝x3，得；由，得x＝t2； 因为0＜t＜1，所以y＝tx是关于x的减函数． 又，所以，所以． 故选：A． 二．多选题（共3小题） （多选）9．现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（　　） A．p＝3，m＝2，，n＝﹣3 B．p＝4，m＝3，，n＝﹣2 C．p＝2，m＝3，，n＝﹣3 D．，，q＝﹣2， 【答案】AB 【解答】解：对于幂函数y＝xα，若函数在（0，+∞）上单调递增，则α＞0，若函数在（0，+∞）上单调递减，则α＜0，所以n＜0，D选项错误； 当x＞1时，若y＝xα的图象在y＝x的上方，则α＞1，若y＝xα的图象在y＝x的下方，则α＜1， 所以p＞1，m＞1，0＜q＜1，C选项错误； 因为当x＞1时，指数越大，图象越高，所以p＞m， 综上，p＞m＞1＞q＞0＞n，AB选项正确． 故选：AB． （多选）10．已知幂函数，则（　　） A． B．f（x）的定义域为R C．f（x）为非奇非偶函数 D．不等式f（2x+1）＞f（5﹣x）的解集为 【答案】AC 【解答】解：因为f（x）＝（8m2﹣5）是幂函数， 所以8m2﹣5＝1，m2，所以m＝±，选项A正确； 所以f（x），定义域为[0，+∞），选项B错误； f（x）的定义域关于原点不对称，所以f（x）是非奇非偶的函数，选项C正确； 函数f（x）是定义域[0，+∞）上的单调增函数， 所以不等式f（2x+1）＞f（5﹣x）可化为，解得x≤5， 所以不等式的解集为（，5]，选项D错误． 故选：AC． （多选）11．已知函数f（x）＝24ax2+4x﹣1，a∈R，则下列说法正确的是（　　） A．若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，则 B．若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，则或 C．若f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则 D．若f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则 【答案】BD 【解答】解：若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，分以下三种情况讨论： ①a＝0时，f（x）＝4x﹣1，f（x）唯一零点为x，符合题意； ②a＞0时，f（x）开口向上，对称轴为x0，且f（0）＝﹣1＜0，为使f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，作出简图如下： 则需，解得0＜a； ③a＜0时，f（x）开口向下，对称轴为x0，且f（0）＝﹣1＜0，为使f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，有以下两种情形： 即或f（1）≥0，分别解得a或a＜0； 综上，若f（x）在区间（﹣1，1）内恰有一个零点，a或a，故B正确，A错误； 若f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，分以下两种情形： ①f（x）在区间（﹣1，1）内有1个零点，如上所述，a或a； ②f（x）在区间（﹣1，1）内有2个零点，则或，解得a或a； 综上，若f（x）在区间（﹣1，1）内有零点，则，故D正确，C错误． 故选：BD． 三．填空题（共3小题） 12．已知幂函数f（x）＝（2m+3）xm，写出一个使得不等式成立的自然数x的值 　3或4（写对一个即可）　 ． 【答案】3或4（写对一个即可）． 【解答】解：因为f（x）＝（2m+3）xm为幂函数， 所以2m+3＝1， 解得m＝﹣1， 则， 不等式可化为， 即， 解得， 所以符合条件的自然数x可以是3或4． 故答案为：3或4（写对一个即可）． 13．已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增，则m＝ 　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：因为函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递增， 所以，解得m＝3． 故答案为：3． 14．已知幂函数f（x）＝mxn的图象过点（，2），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln2），则a、b、c的大小用小于号连接为 c＜a＜b ． 【答案】c＜a＜b． 【解答】解：因为幂函数f（x）＝mxn的图象过点（，2）， 所以m＝1，2，即n＝3， 所以f（x）＝x3， 则a＝f（m）＝f（1）＝1，b＝f（n）＝f（3）＝27，c＝f（ln2）＝（ln2）3＜1， 故c＜a＜b． 故答案为：c＜a＜b． 四．解答题（共5小题） 15．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），且f（x）＜0的解集为（1，3）． （1）若f（x）在区间（m﹣1，m+1）上单调，求实数m的取值范围； （2）求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）上的最小值g（t）． 【答案】（1）（﹣∞，1]∪[3，+∞）； （2）． 【解答】解：（1）因为f（x）＜0的解集为（1，3），则1，3为关于x的方程x2+ax+b＝0的两根， 所以，解得，所以f（x）＝x2﹣4x+3； 由于f（x）＝x2﹣4x+3的对称轴为x＝2， 因此若f（x）在区间（m﹣1，m+1）上单调，则m+1≤2或m﹣1≥2， 解得m≤1或m≥3， 即实数m的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）； （2）因为f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增， 所以当t≤2≤t+2，即0≤t≤2时，f（x）min＝g（t）＝f（2）＝﹣1； 当t＞2时，f（x）在区间[t，t+2]上单调递增， 此时； 当2＞t+2，即t＜0时，f（x）在区间[t，t+2]上单调递减， 此时； 综上所述：． 16．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5， （1）若f（x）＜0在R上有解，求实数a的取值范围； （2）若f（x）在区间[﹣1，2]的最小值为3，求实数a的取值； （3）若a＝2，是否存在实数m，n（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上单调递减，且在[m，n]上的值域为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在；m＝1，n＝2． 【解答】解：（1）因为f（x）＝x2﹣2ax+5＜0在R上有解， 则Δ＝（﹣2a）2﹣4×5＞0，解得或， 所以实数a的取值范围是． （2）因为f（x）在区间[﹣1，2]的最小值为3，且函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝a， ①当﹣1＜a＜2时，f（x）在区间[﹣1，a]上单调递减，f（x）在区间[a，2]上单调递增， 则，解得或（舍去）， 所以； ②当a≤﹣1时，f（x）在区间[﹣1，2]上单调递增， 则f（x）min＝f（﹣1）＝2a+6＝3，解得； ③当a≥2时，f（x）在区间[﹣1，2]上单调递减， 则f（x）min＝f（2）＝﹣4a+9＝3，解得（舍去）； 综上所述：或． （3）若a＝2，则f（x）＝x2﹣4x+5的图象开口向上，对称轴为x＝2， 因为f（x）在区间[m，n]上单调递减，且f（x）在[m，n]上值域为[m，n]， 则m＜n≤2，且， 可得m+n＝3，解得m＝1，n＝2， 所以存在实数m，n满足题意，m＝1，n＝2． 17．已知幂函数为奇函数． （1）求函数f（x）的解析式； （2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得m2﹣3m+3＝1且为奇数， 解得m＝1或m＝2， 经检验m＝1符合题意， 所以f（x）＝x3； （2）由（1）得f（x）在R上单调递增， 由f（a+1）＜f（3﹣2a）得a+1＜3﹣2a， 解得a， 故a的取值范围为{a|a}． 18．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且f（﹣1）＝4，f（0）＝1，f（3）＝4． （1）求f（x）的解析式； （2）若x∈[﹣1，5]，求函数f（x）的值域； （3）解关于x的不等式mx2+（1﹣m）x﹣1＜0（m≥0）． 【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x+1； （2）[0，16]； （3）当m＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}； 当m＞0时，不等式的解集为． 【解答】解：（1）因为二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），且f（﹣1）＝4，f（0）＝1，f（3）＝4， 所以，解得a＝1，b＝﹣2，c＝1， 因此f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x+1． （2）对于二次函数f（x）＝x2﹣2x+1，其图象开口向上，对称轴为x＝1， 在区间[﹣1，1]上，函数单调递减；在区间[1，5]上，函数单调递增． 当x＝5时，函数取得最大值f（5）＝52﹣2×5+1＝16， 当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝12﹣2×1+1＝0， 因此，函数f（x）的值域为[0，16]； （3）关于x的不等式mx2+（1﹣m）x﹣1＜0（m≥0）． 当m＞0时，不等式可化为（mx+1）（x﹣1）＜0，即， 由于m＞0时，，解得； 当m＝0时，不等式可化为x﹣1＜0，解得x＜1， 因此，当m＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}； 当m＞0时，不等式的解集为． 19．已知幂函数f（x）＝x（2﹣k）（1+k）（k∈Z）满足f（2）＜f（3）． （1）求实数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式； （2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数m，使函数g（x）＝1﹣mf（x）+（2m﹣1）x，在区间[0，1]上的最大值为5．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）对于幂函数f（x）＝x（2﹣k）（1+k）满足f（2）＜f（3）， 因此（2﹣k）（1+k）＞0， 解得﹣1＜k＜2， 因为k∈Z， 所以k＝0，或k＝1， 当k＝0时，f（x）＝x2， 当k＝1时，f（x）＝x2， 综上所述，k的值为0或1，f（x）＝x2． （2）函数g（x）＝1﹣mf（x）+（2m﹣1）x ＝﹣mx2+（2m﹣1）x+1， 因为要求m＞0，因此抛物线开口向下， 对称轴x， 当m＞0时，11， 因为在区间[0，1]上的最大值为5， 所以或 解得m满足题意． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $