精品解析：河南省许昌市长葛市2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

河南许昌市长葛市2025-2026学年初二上学期10月月考 数学试卷 一、单选题 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　） A. y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B. y1＝和y2＝x+1 C. y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D. y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 10. 设，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 因式分解的结果是______． 12. 分解因式：____________． 13. 分解因式： ______． 14. 对于正数，规定，例如，则的值是___________． 15. 如图，已知四边形中，对角线交于点，，点在边上，且，连接交于点F．下列结论：①：②：③；④．其中结论正确的序号有____________： 三、解答题 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 18. 随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时． （1）求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩； （2）现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩? 19. （1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 20. 如图，在中，，，于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，的中线，求的长． 21. 先化简后，再求值：，其中． 22. 如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． （1）若平分，求证：； （2）若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 23. 先化简，再求值：，其中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南许昌市长葛市2025-2026学年初二上学期10月月考 数学试卷 一、单选题 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据分母不为0，被开方数大于等于0进行计算即可． 【详解】解：由题意得： x+3≥0且x-2≠0， ∴x≥-3且x≠2， 故选：B． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握此函数关系式中分母不为0，被开方数大于等于0是解题的关键． 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式，直接根据积的乘方运算和单项式乘以单项式运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，涉及积的乘方运算、单项式乘以单项式等知识，先由积的平方运算化简，再由单项式乘以单项式运算法则计算即可得到答案．熟练掌握乘方运算、单项式乘以单项式等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项，单项式乘以单项式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．根据合并同类项计算法则可判断A；根据积的乘方计算法则可判断B；根据幂的乘方和同底数幂除法计算法则可判断C；根据单项式乘以单项式的计算法则可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 7. 如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ， 是的一个外角， ， ， 故选：A． 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在Rt中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长． 【详解】如图，过点F作于Q． ∵AB＝8，BC＝6， ∴． 根据题意可知BE为的平分线，， ∴，． ∴． 设，则． ∵在Rt中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键． 9. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　） A. y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B. y1＝和y2＝x+1 C. y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D. y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 【详解】A、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x+1＝1， 整理得：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意； B、令y1+y2＝1， 则+x+1＝1， 整理得：x2+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意； C、令y1+y2＝1， 则﹣﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+2x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意； D、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键． 10. 设，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，根据已知求出，代入 化简即可解答 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 二、填空题 11. 因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式进行分解即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 分解因式： ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 14. 对于正数，规定，例如，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现的规律成为解题的关键． 先发现，然后代入化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，已知四边形中，对角线交于点，，点在边上，且，连接交于点F．下列结论：①：②：③；④．其中结论正确的序号有____________： 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先证明是等边三角形得，，进而可依据“”判定和全等，根据全等三角形性质即可对结论①进行判断；延长到M，使，连接，根据已知得，则是等边三角形，进而得，，则，由此可依据“”判定和全等得，，再根据和全等得，再根据平行线的判定可对结论②进行判断；根据，得，由此可对结论③进行判断；根据已知条件无法找出与之间的数量关系，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②延长到M，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵， ∴， 由②可知：， ∴，故结论③正确； ④根据已知条件无法找出与之间的数量关系，故结论④不正确， 综上所述：结论正确的序号有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方公式即可完成分解； （2）采用十字相乘法即可完成因式分解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ， ， 故． 17. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 18. 随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时． （1）求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩； （2）现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩? 【答案】（1）亩； （2）无人机至少喷洒农药亩． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是关键． （1）设一个人每小时喷洒农药亩，一架无人机平均每小时喷洒农药亩，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时．据此列方程，解方程并检验即可； （2）设无人机喷洒农药亩，则人工喷洒农药亩，要求最多6小时完成喷洒工作，据此列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设一个人每小时喷洒农药亩，一架无人机平均每小时喷洒农药亩， 则， 解得, 经检验，是分式方程的解且符合题意； ， 答：一架无人机平均每小时喷洒农药亩； 【小问2详解】 解：设无人机喷洒农药亩，则人工喷洒农药亩， 则， 解得， 答：无人机至少喷洒农药亩． 19. （1）解方程组：； （2）如图，，求证：． 【答案】 （1） （2）证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，全等三角形的判定和性质，掌握加减消元法，全等三角形的判定和性质是关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】解：（1）； 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）略 20. 如图，在中，，，于点E，与相交于点F． （1）求证：； （2）若，的中线，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质等知识，利用证明是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 在中，中线， ， ，， ， ， ， ． 21. 先化简后，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，代数式求值，零指数幂，化简分式是解决本题的关键． 先通分计算括号内加减运算，再计算括号外除法，化为最简分式后，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， 原式 ． 22. 如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． （1）若平分，求证：； （2）若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接，延长，交的延长线于 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）解：不变，， 理由：如图，过点作于，作于， 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，而， ， ，， 平分， ， 即：不变化． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键. （1）利用等角的余角相等判断出，证明，判断出，再证明，进而判断出，即可得出结论； （2）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出，即可得出是的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用完全平方公式，平方差公式化简，再把代入求解即可，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $