精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市三江区域联合体学校 2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

三江区域联合体学校2025-2026学年度上学期期中综合测试卷 九年级数学 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A. B. C. D. 无法确定 7. 某商品原价为元，经过两次降价后售价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则可列方程为（  ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A. B. C. D. 9. 若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A. B. C. D. 以上都正确 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11. 方程的实数解是___________． 12. 二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ___． 13. 若关于的方程有实数根，则的最大整数值是__________． 14. 抛物线与轴的交点坐标是____________． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值是______． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 19. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3． （1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标； （2）当x取何值时，函数值最大？ （3）当y＞0时，请你写出x的取值范围． 20. 某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． （1）求月销售量（件）与的函数关系式； （2）求月利润（元）与的函数关系式． 21. 如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为、，且，求的值． 23. 某公园要建造一个矩形花坛，一面靠墙（墙长20米），另三面用篱笆围成，篱笆总长为40米． （1）设垂直于墙的一边长为米，求花坛面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求花坛面积的最大值． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三江区域联合体学校2025-2026学年度上学期期中综合测试卷 九年级数学 （时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如，（，，均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据形如，（ ，，均为常数）的整式方程判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故不符合题意； B、中分母有未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、是二元二次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可． 【详解】解：x2-6x=-1， x2-6x+9=8， （x-3）2=8． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由， 根据y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）， 可知顶点坐标为（-1，3）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 4. 若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m≥1 B. m≤1 C. m＞1 D. m＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相同的实数根， ∴ 解得：m＜1． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 5. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是， 故选：C． 6. 已知点、 在抛物线上，则与的大小关系是（  ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点代入解析式，然后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、 在抛物线上， ∴，， ， ∴， 故选：A． 7. 某商品原价为元，经过两次降价后售价为元，若每次降价的百分率相同，设为，则可列方程为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得， 故选：． 8. 二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象可得出的正负，结合二次函数与轴的交点情况即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线交轴于正半轴， ， 抛物线与轴有两个交点， ， 只有选项B符合题意， 故选：B． 9. 若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键． 直接根据根与系数的关系，，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 10. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，则下列说法正确的是（  ） A. B. C. D. 以上都正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵、两点在抛物线上， ∴当时，，原选项错误，不符合题意； 、∵在抛物线上， ∴当时，，原选项正确，符合题意； 、当时，，原选项错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 12. 二次函数y＝2x2﹣4x+1的最小值是 ___． 【答案】﹣1 【解析】 【分析】把解析式配方化成顶点式，顶点的纵坐标即为最值． 【详解】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴对称轴为x＝1， ∴x＝﹣1时，有最小值，y最小值＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，找到对称轴是解题的关键． 13. 若关于的方程有实数根，则的最大整数值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程有两个实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．本题考查了一元二次方程，，，为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了不等式的特殊解． 【详解】解：方程 有实数根，则判别式 ， 其中 ， 由 ，得 ，解得 ， 因此，k的最大整数值为1， 故答案为：1． 14. 抛物线与轴的交点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 15. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 16. 已知二次函数，当时，函数的最大值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的对称性，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴当时，y取得最小值， 当时， 当时，． ∴函数最大值为 0， 故答案为：0． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）根据配方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 配方： ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：∵中，，，， ∴ ， ∴ 无论取何实数，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，得出，根据判别式的意义即可证明； （2）将代入方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将 代入方程， 得 ，即 ， 解得． 19. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3． （1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标； （2）当x取何值时，函数值最大？ （3）当y＞0时，请你写出x的取值范围． 【答案】(1)、交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；顶点坐标为（1，4）；(2)、x=1；(3)、﹣1＜x＜3． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、把二次函数化为顶点式，则可得出二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)、(3)、利用二次函数图象性质作答． 试题解析：(1)、∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴图象顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，有﹣x2+2x+3=0 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； (2)、由（1）知，抛物线顶点坐标为（1，4），且抛物线开口方向向下，当x=1时，函数值最大；(3)、因为图象与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），且抛物线开口方向向下，所以当y＞0时，﹣1＜x＜3． 考点：(1)、抛物线与x轴的交点；(2)、二次函数的最值． 20. 某商场销售一种商品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．市场调查发现：售价每上涨元，月销售量减少件．设售价上涨元． （1）求月销售量（件）与的函数关系式； （2）求月利润（元）与的函数关系式． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确得出函数解析式是解题的关键． （）根据售价上涨 元，则销售量减少件，直接求解即可； （）根据题意求函数关系式即可． 【小问1详解】 解：∵售价上涨 元，则销售量减少件， ∴ ； 【小问2详解】 解：根据题意得总利润． 21. 如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，，分别代入进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， ∴抛物线的顶点坐标为． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根为、，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记定理的含义是解本题的关键； （1）证明即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由韦达定理： ∴ 解得：． 23. 某公园要建造一个矩形花坛，一面靠墙（墙长20米），另三面用篱笆围成，篱笆总长为40米． （1）设垂直于墙的一边长为米，求花坛面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求花坛面积的最大值． 【答案】（1） （2）平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米，根据矩形面积公式建立函数关系式即可，再根据线段长度非负以及题干即可求解自变量的取值范围； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为米，则平行于墙的一边为米， 则面积， 由题意得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为200， 答：花坛面积的最大值为200平方米． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． （1）求、两点的坐标； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】（1）点，点 （2）①（）， ②当时，四边形为平行四边形，理由： ∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③当或时，为直角三角形 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． 【小问1详解】 解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． 【小问2详解】 ①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②略 ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $