精品解析：黑龙江省鹤岗市绥滨县2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

绥滨县2025—2026学年度上学期九年级期中阶段测试 数学试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母填入括号内． 1. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 2. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 3. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时， 随的增大而减小 4. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 5. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交AC于点D，若，则的度数（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程 的根是（  ） A. B. C. D. 8. 若是方程 的一个根，则代数式 的值是（  ） A. 2022 B. 2020 C. 2018 D. 2016 9. 下列说法正确的是（  ） A. 直径是弦，但弦不一定是直径 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 三点确定一个圆 10. 如图，半径为1的半圆 上有两个动点，若 ，则四边形 的面积最大值为（  ） A. B. C. D. 2 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知，则的值是 _____． 12. 已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 ______．（从小到大排列） 13. 若点与点关于原点成中心对称，则__________． 14. 一条排水管的截面为圆形，半径，下雨前水面宽，下雨后水面宽度变为8，则水面上升了 ______． 15. 将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为_____． 16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC=5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为___________． 17. 如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是____．（结果保留π） 18. 在直角 中， ，斜边， ，分别在 上取点，使为正三角形，则边长的最小值是 ______． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 已知关于 的方程有实数根，求的取值范围． 21. 已知是方程 的一个根，求代数式 的值． 22. 如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 23. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，且最小值为1． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点，在图象上，比较与的大小． 24. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 25. 某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个．若这两天的销量相对于前一天的增长率均为，求的值． 26. 如图，以为直径的圆经过原点，点分别在轴、轴上（）， 是弧的中点，连接． 判断下列结论是否正确，并说明理由： ①； ②若，则面积为5． 27. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 28. 如图，直角中，，，，在上分别取点，使得为正三角形． （1）求的度数； （2）求边长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥滨县2025—2026学年度上学期九年级期中阶段测试 数学试卷 （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的字母填入括号内． 1. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法的步骤，进行配方后再进行判断即可． 【详解】解：， 移项，得： 配方，得：， 即：； 故选A． 【点睛】本题考查配方法．熟练掌握配方法的步骤：1化，2移，3配，是解题的关键． 2. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 3. 关于二次函数 ，下列说法正确的是（  ） A. 图象的开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 图象顶点坐标为 D. 当时， 随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． 根据二次函数顶点式性质逐项分析即可． 【详解】解：∵关于二次函数，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 故A，B，C错误，D正确． 故选：D． 4. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线的开口向上， 与轴的交点为在轴的负半轴上， 对称轴为， 同号，即， 故①错误； ②当时，函数值为2， 故②正确； ④当时，， 又， 故④正确； ③对称轴， 解得：， 由④得 故③错误； 综上所述，其中正确的结论是②④； 故选：D． 5. 如图，把绕C点顺时针旋转，得到，交AC于点D，若，则的度数（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，新利用旋转的性质得出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵绕C点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 故选∶C． 6. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵如图：， ∴， 故选：D． 7. 一元二次方程 的根是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，通过因式分解求解方程，根据零乘积性质得出根． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 或 ， 即． 故选：C． 8. 若是方程 的一个根，则代数式 的值是（  ） A. 2022 B. 2020 C. 2018 D. 2016 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，整体代入法求代数式的值． 由一元二次方程的根的定义得，然后将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴， 即 ． ∴． 故选A． 9. 下列说法正确的是（  ） A. 直径是弦，但弦不一定是直径 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 三点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、直径、等弧和确定圆的条件，熟练掌握是解题关键． 根据定义和定理逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：直径是经过圆心的弦，直径是弦；但弦不一定经过圆心，故弦不一定是直径， 故A正确，符合题意； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径，则平分弦的直径不一定垂直于弦，故B错误，不符合题意； 等弧是能完全重合的弧，长度相等的弧不一定能重合（如在不同半径的圆中），故C错误，不符合题意； 不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线时不能确定圆，故D错误，不符合题意； 故选A． 10. 如图，半径为1的半圆 上有两个动点，若 ，则四边形 的面积最大值为（  ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，解直角三角形．过点O作于点H，连接，分别过点A、H、B作、，于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知，再由梯形的中位线定理可知，，进而可得出结论． 【详解】解：过点O作于点H，连接，分别过点A、H、B作、，于点E、F、G， ∵，的半径为1， ∴， ∵垂线段最短， ∴， ∴， ∴ ， ， 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知，则的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 12. 已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 ______．（从小到大排列） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 由于二次函数开口向下（），点和点纵坐标相同，故它们关于对称轴对称，可求对称轴为直线．点在对称轴上，故为最大值．点到对称轴的距离大于点或到对称轴的距离，故．因此大小关系为． 【详解】由二次函数可知，抛物线开口向下． ∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． ∴点在对称轴上，故为函数的最大值． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，由于抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴． 综上，． 故答案为：． 13. 若点与点关于原点成中心对称，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到，据此求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 一条排水管的截面为圆形，半径，下雨前水面宽，下雨后水面宽度变为8，则水面上升了 ______． 【答案】或7 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用和垂径定理的实际应用，通过计算下雨前后弦心距的变化，得到水面上升的高度即可． 【详解】解：如下图，过点O作于E，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当水面没过圆心时， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了1或7． 故答案为∶1或7． 15. 将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,得到阴影部分的面积恰好是扇形的面积，根据半径为，圆心角为，代入公式求解即可． 【详解】如图，则， 所以阴影面积为扇形的面积，即 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握面积分割法，扇形面积公式是解题的关键． 16. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC=5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为___________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据切线长定理得到CN=CM=5.5，EN=EQ，DQ=DM，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】解：∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴CN=CM=5.5， ∵DE为⊙O的切线，切点为Q， ∴EN=EQ，DQ=DM， ∴△CDE的周长=CE+CD+DE=CE+EQ+DQ+CD=CE+EN+CD+DM=CN+CM=11， 故答案为：11． 【点睛】此题主要是考查了切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键． 17. 如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是____．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：过点O作OD⊥BC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°， ∴∠AOC=60°，∴S阴影=S扇形AOC=． 考点：扇形面积的计算． 18. 在直角 中， ，斜边， ，分别在 上取点，使为正三角形，则边长的最小值是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 过E作，根据全等条件得出，设，用x表示出，即可表示出，根据勾股定理得出关于x的表达式，采用配方法求解最小值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 过E作，如图： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴当时，有最小值， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共66分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法和因式分解法求解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解决本题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：=0 ， 解得 【小问2详解】 ， ， 配方： ， ∴， ∴ 20. 已知关于 的方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方程的根的情况，一元二次方程根的判别式，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据题意，分两种情况分析，当时，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到，当时，方程为一元一次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得当时，， 解得 且， 当时，方程为：为一元一次方程，有实数根， 综上可得： ． 21. 已知是方程 的一个根，求代数式 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，正确掌握代入法是解决本题的关键． 先由一元二次方程的解得到，然后变形为，再整体代入求值． 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴ ， ． 22. 如图， 中， ，，点 在 上，且，将 沿折叠得到，连接，求 的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，证明是等边三角形，得出，由折叠的性质可得：，，求出，再由含角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再求出，最后由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，作于， ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线，且最小值为1． （1）求该二次函数的解析式； （2）若点，在图象上，比较与的大小． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出二次函数解析式，并使用差减法比较两个函数值的大小． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出、，并计算的值，再根据的结果来判断与的大小． 【小问1详解】 解：∵对称轴为直线，且最小值为1， ∴顶点坐标为， ∴设该二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴设该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，． 24. 如图，绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．利用旋转的性质结合平行线的性质证明是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转得，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴． 25. 某电商平台某商品7月24日销量为5000个，7月25日和26日的总销量为30000个．若这两天的销量相对于前一天的增长率均为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的实际应用．直接利用已知分别表示出7月25日和7月26日的销量，进而列出方程，求解即可． 【详解】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为，则可列方程为：． 令， 则， 即， 解得：或（舍）， 故． 26. 如图，以为直径的圆经过原点，点分别在轴、轴上（）， 是弧的中点，连接． 判断下列结论是否正确，并说明理由： ①； ②若，则面积为5． 【答案】 解：∵是直径， ∴，故①说法正确； ∵是弧的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴的面积为，故②说法正确． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，等腰直角三角形，勾股定理． 根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断②． 【详解】略 27. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 28. 如图，直角中，，，，在上分别取点，使得为正三角形． （1）求的度数； （2）求边长的最小值． 【答案】（1） （2）边长的最小值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形以及二次函数的性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）过E作，根据全等条件得出，设，用x表示出，即可表示出，根据勾股定理得出关于x的表达式，采用配方法求解最小值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过E作，如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴当时，有最小值， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $