第3章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材七年级上册数学课时通（鲁教版五四学制2024）

本章综合提升（答案P20) 71111111 本章知识归纳· ///1/ 内容 直角三角形两直角边的 等于斜边的 探索勾股定理 验证方法 割补法、拼接法 如果三角形的三边长a,b,c满足 勾股定理的逆定理 那么这个三角形是直角三角形 一定是直角 三角形吗 勾股数 满足a2+b=c2的三个 数，称为勾股数 股定 在直角三角形中，已知两条边的长， 求直角三角形的边长 可以根据勾股定理求出第三边的长 若a+b2=c2(c为最长边)，则三角形为直角三角形 判断三角形的形状 若a+b2>c2(c为最长边)，则三角形为锐角三角形 勾股定理 若a2+b<c2(c为最长边)，则三角形为钝角三角形 的应用举例 求圆柱上的两点之间的最短距离 立体图形上两点之间的最短距离问题 求长方体上两点之间的最短距离 生活中的实际应用 思想方法归纳 IIIIIIIIIIIIIIIL 3cm,一只蚂蚁如果要沿着长 3cm 方体的表面从点A爬到点B, 1.转化思想 12 cm 需要爬行的最短路程是 Q链接本章 cm. 在利用勾股定理进行计算时，常常利用 9cm 6cm 【变式训练1】如图所示， 转化思想，如求立体图形上两点间的最短距 透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度 离问题时，通常先将立体图形展开，把空间 忽略不计)的高为16cm,在容器内 中的距离问题转化为一个平面上的两点间 的距离问题，然后构造直角三角形，应用勾 壁离容器底部4cm的点B处有一 股定理进行求解. 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容 器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜 【例1】如图所示，长方体的长为9cm, 需爬行的最短路径为20cm,则该圆柱底面周 宽为6cm,高为12cm,点B与点C的距离是 长为 △七年级·上册·数学.鲁教版 69 2.方程思想 【变式训练2】如图所示，在Rt△ABC中， 链接本章 ∠ACB=90°，AB=20cm,AC=16cm,点P从 在直角三角形中，利用勾股定理列方程 点A出发，以每秒1cm的速度向点C运动，连接 PB,设运动时间为t秒(t>0): 求有关线段的长。 (1)BC= cm. (2)当PA=PB时，求t的值. 【例2】如图所示，笔直的河流一侧有一旅 游地C,河边有两个漂流点A,B,其中AB= AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不 通，为方便游客，决定在河边新建一个漂流点H (A,H,B在一条直线上)，并新修一条路CH.测 得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米， (1)CH是否为从旅游地C到河的最近的路 线？请通过计算加以说明， (2)求原来路线AC的长. H B 通模拟 LKK1H111411141 1.(烟台莱州期中)下列几组数中，为勾股数的 是() A有 B.-3,-4,-5 C.5,12,13 D.0.9,1.2,1.5 2.(青岛莱西期中)已知Rt△ABC,AC=3,BC=4, ∠C=90°，则斜边上的高为() A.6 B.12 C.5 D.2.4 3.(威海文登期中)如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=4cm,AD=2cm,BC= CD,E是AB上的一点.若沿CE折叠，使B, D两点重合，则△AED的面积为 D(B) 70 41431111w 4.(烟台莱州期中)如图所示，一圆柱高20cm,底 (1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B 面周长是12cm,一只螳螂在AB的中点E处， 再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员 一只昆虫在CD的某处，螳螂以最快的速度， 打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小 最短的爬行距离捕捉到了昆虫，螳螂共爬行了 路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A 10cm,那么昆虫所在位置离点C的距离 到点C将少走多少米？ 为 (2)这片绿地的面积是多少？ 住宅 街 道 B 街道 5.(烟台莱州期中)滑梯的示意图如图所示，左边 是楼梯，右边是滑道，立柱BC,DE垂直于地 面AF,滑道AC的长度与点A到点E的距离 相等，滑梯高BC=1.5m,且BE=0.5m,求 滑道AC的长度. 通中考wu 7.(日照中考)已知直角三角形的三边a,b,c满 足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形， 把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如 图所示，设三个正方形无重叠部分的面积为 S1,均重叠部分的面积为S2,则( ) A.S>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.S1,S2大小无法确定 B S2 S 第7题图 第8题图 8.(济宁中考)如图所示，三角形纸片ABC中， ∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直 6.(青岛莱西期中)某小区在社区管理人员及社 线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D 区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了 处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕 一块绿化地（阴影部分）.如图所示，已知AB= 与AC的交点为E,则AE的长是( ) 9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,技术 C.6 7 6 人员通过测量确定了∠ABC=90°. 6 △七年级·上册·数学.鲁教版n 71DC-DF=8-x. 11.2912.m2+113.7.5 在Rt△BCF中，BF2=BC2+CF2, 本章综合提升 即(2+x)2=62+(8-x)2. 所以工即AP- 【本章知识归纳】 5 平方和平方a2十b2=c2正整 5.解：因为四边形ABCD为长方形， 【思想方法归纳】 所以AB=CD=3,AD∥BC, 【例1】15 所以∠BFE=∠DEF, 【变式训练1】24cm 因为∠BFE=∠EFD,所以∠EFD=∠DEF,所以 【例2】解：(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线. DE=DF. 在△CHB中，因为CH2+BH=42+32=25, 设DE=x,则DF=BF=x,FC=9-x. BC2=25, 在Rt△DFC中，FC2+DC2=DF2, 所以CH2+BH2=BC2 所以(9-x)2+32=x2, 所以△CHB是直角三角形，且∠CHB=90°. 解得x=5,所以DE=5. 所以CH⊥AB. 6.解：因为AC2+BC2=62+82=102,AB2=102, 所以CH是从旅游地C到河的最近的路线. 所以AC2+BC2=AB2, (2)设AC=AB=x千米，则AH=(x-3)千米， 所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2=AH+CH, 因为折叠△ABC使AB落在直线AC上，所以 即x2=(x-3)2+42. AB'=AB=10,B'D=BD, 所以B'C=AB'-AC=10-6=4. 解得号 设CD=x, 则B'D=BD=BC-CD=8-x. 答：原米的路线AC的长为日干米。 在Rt△B'CD中，由勾股定理，得B'C2+CD2= 【变式训练2】解：(1)12 B'D2, (2)由题意，得PA=PB=t,则PC=16-t. 即42+x2=(8-x)2, 在Rt△PCB中，因为∠PCB=90°， 解得x=3,即CD=3. 由勾股定理，得PC2+BC2=PB2,即(16一t)2+ 所以阴影部分的面积=AC×CD=号×6X3=9. 12=t2. 解得t=12.5. 7.解：操作一： 所以当PA=PB时，t的值为12.5. (1)14 【通模拟】 (2)40 3 操作二：在Rt△ABC中，AC=9cm,AB=15cm, 1.C2.D3.2cm 根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2=152-92=144. 4.2cm或18cm 所以BC=12cm. 5.解：设AC=xm,因为BE=0.5m,则AE=AC= 由折叠知AE=AC=9cm.因为AB=15cm,所以 BE=AB-AE=6 cm. x m,AB=AE-BE=(x-0.5)m. 设CD=x,则BD=(12-x),DE=CD=x. 由题意得∠ABC=90°. 在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE2十BE2= 在Rt△ABC中，AB+BC2=AC2,即(x-0.5)2+ BD2, 1.52=x2. 即x2+62=(12-x)2.解得x=4.5. 解得x=2.5. 所以CD=4.5cm. 故滑道AC的长度为2.5m. 8.解：因为点D为BC的中点，BC=6,所以BD= 6.解：(1)如图所示，连接AC. CD-BC-3. 因为∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, 所以AC2=AB2+BC2=225.所以AC=15m. 由题意，知AN=DN, 所以AB+BC-AC=9+12-15=6(m), 设AN=DN=x, 答：居民从点A到点C将少走6m. 因为AB=9,所以BN=9-x. 在Rt△BND中， 由勾股定理，得BN2+BD2=DN2, 即(9-x)2十32=x2,解得x=5. 住宅 所以BN=9-5=4,即BN的长为4. 街 道 特色素养专题（二）传统文化专题 街道 1.A2.A3.B4.D5.D6.C7.D8.C 9.410.(11,60,61) (2)因为CD=17m,AD=8m,AC=15m,所以 20 AD2+AC2=DC2. 8.D9.3 所以△ADC是直角三角形，∠DAC=90°. 10.解：因为2= d 所以Sae=2AD·AC=号×8X15=60(m), g00,所以t=√900 1 9381 又S△ACB= AB·BC=7×9X12=54(m). 将d=9代入，得t=√900-√00 =0.9. 所以S四边形ABcD=60十54=114(m2). 所以这场雷雨大约能持续0.9h. 答：这片绿地的面积是114m2. 11.解：不可能.设长方形纸片的长为3xcm,宽为 【通中考】 2x cm. 7.C8.A 依题意，得3x×2x=300,解得x2=50,所以x= 第四章实数 √50，所以长方形纸片的长为3√50cm. 1无理数 因为50>49，所以√50>7， 1.D 所以350>21. 2.解：AD2=11,AC2=15.AD,AC都不可能是整数， 又因为正方形纸片的边长为√400=20(cm),所以 不可能是分数，不可能是有理数。 不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形 3.B4.D5.36 纸片. 6.C 7解：1)-至-1.428.1416号0,4，(-1Dm 第2课时平方根 为正整数)为有理数. 1.A2.C3.D4.±5 3 5.C (2)π，一1.424224222…（相邻两个4之间2的个数 逐次加1)是无理数. 8解：1号 6解：w因为±》广-所以±、得=士号 (2)因为（士2）2=(-2)2=4，所以士√(-2)2=士2. (2)设0.73=x,由0.73=0.73737373…可知， 8)因为2-安石所以士-士 100x-x=73.7373…-0.7373…=73,所以100x 73 7.解：因为3(2x-1)2-27=0,所以3(2x-1)2=27, x=73,解得x=99 所以(2x-1)2=9,所以2x-1=士3，解得x=2或 2573 所以0.73=99 x=-1. 2平方根与立方根 8解：（√）广-8 第1课时算术平方根 (2)√-1.3)7=√1.32=1.3. 1.A2A3B4号 5解：①因为》-云所以先亏 42 e-- (2)因为(-10)4=(102)2， 10.C 所以√/(-10)=102=100. 11.7或-1 (③因为2=}（分》月， 12.解：因为2m一4与3m一1是一个正数的两个不同 的平方根， 所以v-、日- 所以2m-4+3m-1=0,解得m=1. (4)因为√（-2)=√/16=4=22， 因为-46与36+是同类项， 所以2x-3=7,5+y=8, 所以√（一2）的算术平方根是2. 解得x=5,y=3. 所以m+x十y=1+5+3=9, 所以m十x十y的平方根为土3. (3)√（-2)2=√22=2. 13.解：由数轴，知c<b<0<a, (4)-√/0.09=-0.3. 所以原式=|a|+|b|-|c|-|a-b|+|a-cl= 7.C a-b+c-a+b+a-c=a. 21